В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Лля этого воаьмем дввергенцию от правой и.левой частей-первого уравнения системы (4.6). В результате получим а . - 4ж„,. -. — — Д~ ~~ В + — от и~ = О . са1 С Используя четвер*ос уравнение системы с/ЛыЛ) = 4х9, приходим к соотношению, которое евтометичаски выполняется в силу дифференциального закона сохранения ааряда: 3(~ ° — +Ам~ =О. М Поэтому денные уравнения не являются неэависииымм.
Совершенно аналогично можно убедиться з зенисимостк и другой пары уравнений Максвелле. $ 5. Петен калы влект омагнитного поля и их калиб вкв в мак оскопической элект инамыке Таким образом, система (4.6) фактически содержит лишь две-' кпдцать линейно независимых уравнений относительно двенадцати неизвестных и, следовательно, при соответствующих граничных и печальных условиях имеет единственное решение. Однако решать сястеыу уравнений (4.6) з представленном ниде, когда в нее входит двенадцать неизвес*них, не совсем удобно.
Поэтощу з мекроскспической электродинаынке, кек и з микроскопической, очень исто вводят вспомогательные величины - потенциалы электромагнитного пспя, с помощью которых система (4.6) сводится всего лишь к четырем уравнениям относительыо четыршх неиазестных Лля введения потенциалов рассмотрим второе и третье уравнения системы (4.6).
Первое из них хуцгВ О утверждает, что контор индукции магнитного поля имеет соленоидальный характер, к результате чего он всегда может быть представлен в виде -29- (й~Ц и (5.2) задаются неоднозначно. Как и в микроскопической алайтйодинамика калибровочноа-прнобраэованиэ цотанциалов (5.5) нда У = У (Ф; 1 ) — произвольная калибровочная функция, на иэуяат векторов 8 и Е , а сладовательно, и векторов Й и . Этот произвол в опрадалании потанциалов широко используетоя в классической и квантовой злектродинамике для упрощения встречающихся соотношанкй.
З 6. У авнения ля потан алов Установим теперь уравнения, которым должны удовлетворять йвтанцналы в макроскопичаской электродинэмике в случае напройсдящнх сред. Лля этого подставим сначала соотношения (5.2) в йервое уравнение системы (4.6). Учитывая, что й и р — посЭоянныа величины, получим Ь'А ч' ) (Е)ы.ар ЛьА — = — —; ч. (У + сми/А ' а~.' ' 1с а~ (6. 1) гда Ль - оператор Лапласе. Совершенно аналогично, подставляя выражание (5.2) в чатварыа уравнение системы (4.6) и проводя тождественноа преобразование, найдаы Еу.Ьр 4х т Э (с ~Р д ~~г Е ъ Ся~е сэп (6,2) 1йссыатривая структуру уравнений (6.1) и (6.2) легко заметить, н ьно упрощаются в лучае когда выражения, с ль.
Поэтому воаникаа ьэсвэзшмсь нвсдяс я ( ) рд ци , добиться существенного упрощения уравнений (6.1) и (6.2)? Ответ нэ этот вопрос, аэк ыы увидим далее, положительный. Чтобы убедитьоя в атом, заманим сначала, что калибровочное преобразования-(3 йт-ма ызмеыяат виде уравнаный (6. 1) и (6.2). )(айотвытально, подставляя соотношении (5.3) в урвжейия (б. 1) и (6,2), получим Е Ъ у( ух ) Е)О. ЗЧ» — +""~ Г г ~~г с ~ ~с И (6.5) т гдлл е т сзх'(с ЭФ.
Таким образом, калибровочная Функция у(т';ю) в ати уравнения нв воилв и единственное изманениа по сравнвнию с уравнанияии (6.1) и (6.2) состоит В наличии штрихов у векторного и скалнрнсгс пстанциалсВ Предположкы теперь, что в первоначальной калибровке потенциалов величиыв Е)и ЪЧ» — — + й А=НЮЫо с Зт. (6,4) не равна нулю, Выясним, можно ли так подобрать калибровсчнтш Функцию ~ (т, Ф.) , чтобы откелиброванные потенциалы уке удовлатворяли условвю ар — — + дыА' = О. (6.5) с дй Для втого подставки соотновения (5.3) в вырекенна (6.4). В розудьтате получим Е)с.
ЗЧ»~ . г Ер4. З у — — 61 А + ьУ вЂ” — — = Е(т,й. с М с' З~ Отсюда сладуат ° что длЯ ВылслнаниЯ услоВЯЯ (6,5) калиброВОчнаЯ ФУнкция ~ (т ът ) долина удовлетворять уравнению хь~ — = Г(т.>п). Е И сл МЯ Так как зто уравнение всегда имеет реюение, а иных ограниченна на выбор Функции у (1, х) нет, то в результате калибровочного лраобразованин условна (6.5) будет обеспечено. Прн таком выбсрс калибровки уравнения (6.3) значительно упрощаются. Опуская ча- чущяотвенные для дальнейшего штрихи, получим следующие уравна- яия длн потенциалов: 6) Ь'~ ьА сл д1л ыр — — —, с дФ Ф~сра —..
с /' (6 6) н исполнительным условием 6)" ~Š— — +дыА =О, с а~ ~6.7) иот»роз -по аналогии с соответствующим условием минроскопмчесной внонтродинамини называется условием Лоренца. Следует отметить, что условие Лоренца (6.7) не фиксирует чнноаначно налибровку потенциалов, позволяя проводить калибровочные преобразования ~5.5) с фущнцией у ~т;ь) , удовлетво- 6)ы. ф $ еющеи уравнению ьу — — = О . Эти преобразования с~ дх р агве испольауются для того, чтобы вне источника излучения шоловить на потенциалы условие Кулона ~з = О, с~йь'Х=.
0 (ку«оновская калибровка). Таким обрааом, многие вопросы в макроскопнческой алектродинэмике решаются аналогично случаю микроскопической элеятродиЭнмини. Поэтому полезно сравнить вид некоторых уравнений и соотношений для готенциалов в этих двух случаях (см.табл.1). Таноо сравненле показывает, что характерной скоростью распространения электромагнитного излучения в однородных и яаотропных средах является не с , а с/м'6)ц < с, эффективным источником для нек арного потенциала в макроскопической злектродинамике является не у , а ул.) 6 6 и для скалярного потенциала не р , а р 6 6 /6 .
Эта аналогия позволяет ораву ааписеть решение уравнений (6.6) для запаздывающих потенциалов в макроснопической электродинэымне. действительно, в случае островного источника электромагнитного поля, помещенного в безграничную однородную и изотропную среду с диэлектрической и магнитной йроницоеыостями Е и яь соответственно, нэм следует в вырашэниях для запаэдывающнх потенциалов микроскопической электродинамики сделать лишь следующие изменения: земенить С на - 52- е)ы в выраиении для запавдывающего времени и произвести ф замены ) - )о ) , Π— ~)/П . В реаультате получим )~ - г ')й~ о г',1- »рЖ~) =— (б. 8) В том случае, когде 6 и у» не являются постоянными во всем пространстве, полученные Формулы (6.8) становятся неприменимыми и для определения потенциалов необходиыо использовать иные методы.
В частности, в простейшем случае кусочно-непрерывных сред большую роль играет учет граничных условий. Для получени последних нам потребуются уравнения Максвелла в интегральном виде. Таблице Т Сравнение уравнений и соотношении для потенциалов в микроскопической н макроскопической злектродннамике з 7. У вяения иак око ческе эле о ва и в иятег льном в Уравыения Максвелла (ав 1н С М Фтп . Ф / эв э~ 1 (7. Х) 3~~=0, Йлг Р = 4тсд (7,2) Воспользовавшись теореыой Стокса, соотношение (7.2) приведем к вкду: йс. 2. Ориевтзция кривой ( и вектора внешней коркели к поверхлости 5 представляют собой систеку диКюренциальных уравнеквй в частных проиаводкых.
Однако в ряде приложений полезно использовать уравнения ыекроскопической электродинамики, записаниые ке в дврреренциальнои, а з интегральном виде. Лля их получения поступим следующиы образом. Рассиотриы некоторый неподвижный относительно наблюдателя замкнутый контур ( , не имеющий саиопересечений, и выберем какую-либо гладкую двустороннюю поверхность з , опирающуюся ка этот коктур (си.рис.2). Положительное наярзвленве обхода контура 1 (покааано на ркс.2 стрелкой) и вектор вневыей кориали гь к проваволькой точке поверхности выберем в соответствии с принятыыи в иатеыатическоы зкалиае празилаыи.
умножил скалярно второе иэ уравнений (7.1) на сВ и проинтегрируем его по поверхности Б . В реаультете получим Едй =- — — /В д~ . с~~у 5 ~ дар~~мру ~ » р ~ ь» ° ЮИВ поля Е по произвольному замкнутому контуру ( пропорциональна умень ению (с влечением времени) потока векторе иегнитнод индукцви, через любую поверхность $ , опиравшуюся на контур ?. умыслим теперь скалярно первое из уравнений (7.1) на д5 и проинтегрируем по поверхности 5 . В результате получкм (7 З) Г, 5 где 1= ~ ) с(5 - ток свободных аарядов чарва яозерхность 5. Из выракения (7.5) следует, что циркуляция вектпра налрякенности магнитного поля Н по аамкнутому контуру определяется не только измененл~ем с течением времени потока вектора электрической индунции 1) чарва поверхность 8 , но и величиной тока свободных зарядов через агу поверхность.
рассмотрим теперь некоторый объем и , ограккченный,замкнутой гладкой поверхностью 3 . Проинтегрируем по атому объему третье уравнение системы (7. 1): сй/ дЫ В = 0 . | ф Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим 8д$ = О. 8 Отсюда следует, что поток вектора магнитной индукции через любую аамквутую поверхность равен нулю. Совершенно аналогично, интегрируя оставшееся уравнение системы (7.1) по объему ч , найдем, что поток вектора злектрической индукции черна любую аамкнутую поверхность Я пропор- -Зб- щестнувт некоторый переходный слой, ноторый сглаиивеет скачок электрических и магнитных свойств. Поатоыу в тех случаюс, когда толщмна переходного слон оказывается аначытельно большей, чем величине Г, , хврантериаующая линейные размеры биэически бесконечно малого объема, полученные здесь соотношения теряют слою силу и испольаовать нх при решении нраевых задач нельзя.
Если ие толщина переходного слоя составляет насколько меиатомных расстояний и оназывается значительно меньшей, чем величина , то такую границу раадела двух сред в рамках ыанроскопической элвктродинеыини мы обяааны считать резной, иначе у нас опять произошел бы переход к микроскопическому описанию. Рассмотрим достеточно малый участок поверхности раздэла двух сред', такой, что его мошно считать плоским (ом.рис.З). Рис. 3. Выбор цилиндрического обьеме на граница раадела.дэух сред Обоанвчыы диэлектрическую и магнытную проницаемости первой среды через В и у~., в второй среды — чарва В и )ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
