В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При наличии же хотя бы одного точечного заряда полная энергия электростатического поли, вычисляаиая по йорыула (10.6), обращаатся в бесконечность. Лействительно, так как н этом случаа (ч =~~(~-Р),<рЯ- †~ †. 6)~-~о~ то интеграл в (10.6) очевщдным образом разойдатся. Вместе с тек иэ опыта хорово известно, что любая ааряженная частица имеет конечную собстванную энергию.
Зта противоречие между предсказаниями классичаской электродинамики и опытными данными в научнса литература получило нааванне проблемы собстванной анаргии (или собстванной иаооы гтс =8/са ) элактростатическогс поля эламантарной чаотицы. Поскольку эта проблама имеат бГльи~э значаннс для микроскопической электродинамики, то здесь иы еа не рассказ риваам. Отматим только, что в макроскопической алактродинамике выражание (10.6) при наличии точечных зарядов нспольауют для вычисленин энергии их взаимодействия, отбрасывая басконачныа собственныа вклады каждой точачной частицы. В данном случаа плотность ааряда и создаваемый этой системой потенциал можно ааписать в виде -47- Подставляя соотношения (10.7) в выражение (10.6), получим з Я/р~1~~ ~з~ — 'Я /р гс1т о1~к а=1 а,б 1 ашб Вполне очевидяо, что первая сумма етого равенства в силу соотвошекий (10.8) оодеркит расходящиеся интегралы; интегралы ие второй суммы конечны, причем каждый иа них предотевляет половииу энергии звактростатического вавимодействия частиц о комарами св.
и б . Повтому полную анергию ваакмодейотвия можно определить ив выражения И и — р.жт,~>л. 1 /шючс'1~~- (с- Г а„6=4 а,б 1 ач~б аьб (10.9) й а8 Виаргия взаимодействия играет важцуш роль при реочете омл и моментов сил, действующих па ааряжеякые частицы и зеряжеввые тела. Из теоретической мехеники известно, что в случае статики Функция Лагранжа равна ( = — О . Так как в электростатике ~! Я , то обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Е,может быть найдеза иа соотношения йе' (10,10) е= ае Поатому, выбирав в качестве обобщенной координаты Е компоменты рйдиус-вектора а-й частицы Р и испольауя боотношекие (10.9), вы пажем определить силу, действующую ка дапкую чаотицу оо стораны полн, создаваемого другими честицами; выбирая в качестве углы ориентации ааряжеппого тела или ыультипольпого момента системы частиц, мы определим проекции момента сил, действующих ис них.
— 48- 5 11. Элакт остатика и ово иков В случае проводыиков, помещенных в диэлектрическую ораду, уравлаыия и ооотношания Электростатики приобретают ряд характаф ных черт, поэволяющих выделить эти явлекия в самостоятельный раздел. Ословным отличием проводников от диэлектриков лак иэ веотво, является величие в них.свободных алактроноэ, которме поддпйИвией выеиыего электрического поля могут перемещаться в проврдымке ва экачителькыа расстояния. В результата такого перемещевия в проводнике начинается перераспределение заряда, и оыо проиоходит до тех пор, пока поле иядуцировакыых поверхностных зарядов, ве скомпенсирует действие внешнего поля.
Посто му напряженность электрического поля, так же как и электоическай иыдукция, внутри проводыика всегда равны нулю. Так как Е=-ь<р, то отсюда вепосредственно следует, что потенциал всех точек проводккка должен быть одинаковым. Следует отметить, что ка поверхности раздела проводлика и дивлактрвка первое гравичное условие (10.4) электростатилы ~р1= у = сон.эЫ сохраняет свой статус граничного условия, в то времй как второе служит для определения поверхностноМ ю-;тности свободных зарядов, индуцированных на проводнике, Е У 9 В=- ( П.1) гг ~к где Е - диэлектричеокая провицаемость среды.
Поэтому, эмая нормальную ооставляющую градиента потенциала среды в точках не поверхнооти проводника, можно вычислить полиый заряд проводника - ар Ч, = (ЕР Вд~ =- — Р~ б~З (11.г) У~к 7 Вл Определив полный заряд, ыы можем найти емкость уединенного про- водника (П.З) 'Р 4х 7 'Р Ъп. Вычислим тепарь энергию электростатического поля, ссадаваемога системой иа Я ааряженяых проводников, находящихся в диэяектри ке.
Будам счятать, что линейные размеры каждого проводнике ко- -49- нечны и все они расположены в некоторой области проотренства, островного типа (см.рис.5). Так кек электрическое поле выутрн проводников ревью нулю, то энергию поля нам сладуат вычислить, выбрав в качес*ве объема интегрирования М л выражении (9.5) объем всего пространства У ээ вычетом объемов, аанкмеемнх проводниками. В этом случае поверхность 5 , ограничквающан объем К будет сос- Ч ч' ~ 5л тонть из поверхности 5 л К л сйеры радиуса к сю и )а ры суммы поверхностей провод- о. а Л ников, причем вектор внеи- ней порвали к поверхности 0 х ъ будет направлен по радиб усу на 5, и внутрь каждого проводника на нх поверхнос- тях. Обозначая через Ч, рнс.
5. Система ааряженных провод позе ность эа и по ников в .электрической поверхнсстье заряд и петен среде пиал а.-го проводника со- „ ответствеыно, мы менем накисать: ~/ )/ ~~, ')/ 5 5 + ~) 5 а-1 в результате для энергии электростатического поля получим ~l б= ~ (ЕЭЖ=- — ЭРЧЕР Н)Г=- — Йф144ф)-РАыЪ~, т У Поскольку внутри объена интегрировании 'т' по постановке зедачи свободные заряды отсутствуют, то с/Ы2> ~ 0 и в правой чаотм этого выражения остается только одыо олагаемое. Используя теорему Остроградского-Гаусса, преобравуем интеграл по объему Ч в интеграл по поверхности 5 , ограничивающей данный объем.
В результате получим я- — р у~5ът ~) ~нурЪ Ъл а.=1 5 Так как и случае островной системы зарвхенных проводников потенциал и индукция электрического поля пры Й ъ убыввит не медленнее~ чеи 'То й ~~~ л сь~~) ь1 )~ ьйе.11 ~всу~р 'го очвяндно, что прн Й- э первый интеграл в правой части данного аоотномения обратится в нуль. учтем такие, что потенциал немного проводнмка у один и тот хв для всех точек его поверхыости; это поаволявт вынести его из-под анака интеграла. Тогда будем имать Расомотряы теперь поверхностный интеграл 1 = Э с~5 РЕТЬ 5 ай где вектор и.
направлен внутрь а.-го проводника и, следовательно, отличаетсн янеком от вектора внешней лориали й н атоиу проводнику: и =- ~~ . Поэтоиу т =ЖБАН дя (а1 Г а с 8 Птовда непосредственно следует, что 1~, >= -4тсс~ , поскольку поток вектора индукции электрического поля черен повврхыооть, огренмчиваицую объем а-го проводника, ранен 4сх <~ . таким обрааом, имеем окончательно (и с) я. 1 В оилу линвйноотм алектродиыемики потенциал электрического поля лиывйно аависыт от величины овободнмх зарядов. Понтону м,потеыцнал, приобретенный а-и проводником, является линейной (и одмородной) Функцией, аависяией от величины аарядов воех происдНИКОВ1 а-1 Ноыррициенты пропорциональности 5 й , нааываемые потенциальными, можно представкть в виде квадратной матрицы И ж Я , причем первый индекс Я й нумерует строки, а второй - столбцы данной матрицы.
Потанцйельные коаФфицианты зависят от геометрических размеров, Формы и вааиыного расположения проводников, а также от диэлектрических свойств окрущввщей среды и не зависят ст величины зарядов проводников и их потенциалоз. Численно потемциалъный коаФФициент 5 й совпадеет с по*енциалом, приобретеныым сх-и проводником в том случае, когда заряд 8-го проводника равен едийица, а все остальные проводники неэеряжены. Совершенно анеяогично, в силу яинейности электродинамики и эарнд, которым обладает а.-й проводник з электростатике, должен быть линейной и однородной Функцией приобретаемых всеми проводмиками потенциалоз: (П.б) Величины (.
й называются амкостнымн коэФФициентами, причем при я. = 6 — это собственные еикости проводников, а при а.Ф 6 взаимные емкости. Так же, кан и потенциелъные коз4фициенты, емкостные козф$ицианты определяется форыой, геометрическими равмераыи, взаимным расположением проводников к диэлектрическими свойстваыи окружающей среды: они не зевмсят от величины зарядов проводников и их потенциалов. Числекно величина С„П при а. 8 совпадает с зарядом, который необходимо сообщить съ-щу проводнику при ааэеыленных остальных проводниках (~р = О, с Ф а.) дяя того, чтобы он приобрел положительный потайциах ф = 1 Так как проводник приобретает положительный потенциал (еслы считать, что на бесконечности потенциал резвы нули) только в том случае, когда его заряд положителен, то отсюда следует, что С й >О при а = Б .
При а.-,а 6 С а совпадает с величиной заряде, приобретаемого сх-м проводниыом, когда потенциаж 6-го проводника равен едиыице, а вса осталъные проводники зааамнеыы (у = 0 с Ф Ю ). Поэтому легко в казать, что при юы6 вас 1 С а 0 ° Действителько, тек кок и т нциал б-го проводнике а.Ь положителен, то и его заряд положитслон. Положительный же заряд 8-го проводника может индуцирознть не каждом заземленном проводкиие только отрицательный или разный нулю заряд.
Так кзк а-й проводник авземлен, то сь а 0 , е поатоиу и С Ь а О. О. з 12, е ст е не ле т к о н и алакт остатическом поле При помещении диэлектрических тел во внешние электростатические поля они поляриэуются — внутри объема диэлектрика и не ограыичивеющих его поверхностях может возникнуть в общем случае не равная нулю плотность связанных зарядов. Поэтому в результате вваиыодействия свяаанных зарядов неллу собой к с внешним алектростатическим полем зоаникает объемнан электростатическая сила, которая стремится кек деФормировать диэлектрическое тело, так и вызвать паремещание его з пространстве„ Если, кроме того, с веществом диэлектрика жестко связана и некоторая избыточная плотность объемных зарядов, которую в данном случае следует рассматривать как плотность свободных зарядов, то картине распределения объемных сил, действующих на вещество диэлектрика, существенно усложняется. Однако существуют и другие пути вычисленив объеиной силы, действующей на диалектрики, помещенные з электростатическое поле.
Один из них, основанный на эариационном методе, разработанном в теоретической механике и термодинамике, мы сейчас и научим. Рассмотрим жидкий (или газообразный) диэлектрик, помещенный во внешнее электростатическое поле. Считая процесс взаимодействия поля с диэлектриком мзотермическим, изменение энергии рассматриваемой системы при виртуальной деФормации са.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
