В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Так кек величине поперечного сечения линейного проводника мала, то вФфекты, связанные с неоднородностью плотности тока ) з различных точках сечения также будут малы. Поатому в первом приближении по величине отношения поперечного раамерз. проводника т'5 к его характерной длине с мы имеем все основания считать, что плотность вектора токе в равличных точках поперечного сечения линейного Ввсзодника постоянна: )~т') ~ =~ сокИ . А поскольку не боко- 1 - 70— вой поверхности проводника вектор у имеет только касательную составляющую ( 1 = О), то с той же степенью *очности этот вектор но всех то~йпх рассматриваемого поперечного сечения можно считать параллельным вектору сЫ , касательному к оси прсводникег (16.5) Используя полученные соотношекип, определим поле, создаваемое вке линейного проводника.
Так как в данном случае уравыекие (6.6) для вектор-потенциала принимает зид 4зс(ы ~А =- — /у С то считая, что линейный проводник имеет конечную длину, полу- чим, кек обычное (16.4) где интегрирование производится по объеиу, занимаемому линейвыи проводником. Представляя влемект объема рассматриваемого проводника в виде сук = сИ сЫ и используя соотношение (16.3); упростим выражение (16.4)т Величива !Р-Ф (, стоящая з подынтагральксм выражении этого равенстве, вообще говоря, изменкетсп не только прк пароходе от одного поперечного сечения проводника к другому, но и при пробегании векторои Р точек одного и того же попереччого сечения. Однако при достаточно малых размерах поперечного сечения ливайн, го проводника изменение зеличииы (т - Р ) з последнем случае будет очень мало, в результате чего мы можем считать зту величкку постоккной при иктегрировакии по каждому из поперечных сечений Проводнике.
Это дает основание записать данное выражение в виде -72- неть вго почланно. Паиболае часто и качаствв малого параметра используют отношение характерного размарэ с области, занимаемой источником полн н расстоянию от этой области до алочки наблюдения. В система координат, начало отсчета которой помешано в какую-либо точку источника поля,!т"! — 8 и условна налостн данного отнования принимает вид — «1. !Р! разлагая ~» - т' ~ в ряд по этому малому параметру и ограничи. веясь лишь линейным приближаниам, получим т"- г — + т,п Подстввлня это разложаниа з выражение (Рб.ч), будем имать Для упрощания данногс выражения воспользуемся там, что в иагнитсстатнне вектор плотности тока валяется соланоидальным сЬ~~ = 0 .
Поатоыу для произвольной дн4феранцнруамой функции .~(т") будет справедливо соотношение Проинтагрирузм это соотношаниа по всему пространству. Восполь- зовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим Тан кан в случае островам систем вектор плотности тока нв басноначности тождественно саван нулю, то и интеграл в левоа части этого соотыошания также саван нулю. Поэтому для островных систем соленоидальный вектор ~ ~т ) должен удсвлатворять условиа / ~ ~а а*(7~~ г) 7~я~ о дб.о независимо от выбора дифференцнруемой функции ф(т 1 .
Для нашив цапай зто соотношение прадставляет наибольший интерес лишь при — 74- Поэтому вводя обозначение и = — /ЙР(т /~ 'П длн векторе магнитыого дипольного момента, векторный потенциал Д(т ) молем записать в достаточно простом виде: М Е% ) А ~р'1 -— 7.5 Для вектора магнитной индукции в дипольноы приближении Зт. ~Ж ~~- тпл-л В= 'Г имеаи (16.8) Вычислим теперь свободную энергию магнитного полн, создаваемого системой проводников с токами. По определению (9.5) имеем В 7 ГВЙ,Ь 8ж ' Так как В = т'оь А , то используя соотноиание ь ЯЙ3 н м-А ~н, это выраиение приведем к виду ~ = ' /~(у~~'.УЙ~+ А ~Й~.
8х./ 5 = — А~Ю. (16,9) Преобразуем интеграл по объему от первого слагаеиого в поверхностный, е во втором слагаемом учтем, что в магнитостатике ток Й = — ~ . В результете получим Й ггх-. с/ а = — ' ~(хй)Я ~/йи11. Поскольку при Й вЂ” ою векторы А , Й и д5 имеют есимптотику ~ А ( — ! Н ( 1/К" , то очевидно, что при интегрироК венин по бесконечно удаленной поверхности первый интеграл обрвиаетсн в нуль.
Тогда учитывая выражение (16.4), имеем ) /~д ~л, 3(т=) Л~') (16.Ю) Лс,/ ~ » — т-') Рассмотрим теперь систему на Я непересекаюиихся проводников, в каждом из которых имеется отличная от нуля плотность токе ~ (т )(сь=1,2,..., Й ). Тогда полную плотность тока~ (те) моино записать в виде (16.11) а=! В силу линейности электродинамики, создаваемый этой системой токов векторный потенциал мы моием записать в аналогичном виде где Ая(Р) — вектор-потенциал, создаваемый током ое-го проводника. Подставляя эти соотношения в вырекения (16.9) и (16.10), получим а.
т 6 т ю т где введено обозначение — д д = — в"и'й Н. а.с 2С ! 1Р- У'! 8ж (16.12) При сь~ о величина Й а представляет собой собственную свободную энергию магнитного поля, совдаваемого тоном сх-го проводнике; при и.~к В величина 28 8 является анергией вэаи- где 5 — любви поверхность, опирающаяся на контур сх-го проводника, получим Сопоставляя ато выражение с выражением (1б.5), видим, что в случае пикейных проводииков нотон вектора магнитной индукции через любую поверхность, опирающуюся ка контур а.-го проводки- ка, может быть представлен в виде "в~в. В=1 5 17.
Закон Оме я линейкых и ово иков с током Разделив обе части соотношения (15.5) на проводимость А иы получаем закон Оме в диФференциальиой форме: А (17. 1) ведем к виду: 8 1 — = 1 РАЗ, (17.5) А Зто равенство связывает в каждой точке проводящей среды напряженность электрического поля и напряженность поля сторонних сил с плоткостью Возкикающего под их действием токе и проводимостью среды. Используя его, ыы можем получить и интегрельный заков Ома. Для етого умкоииы скалярко соотношение (17.1) ка сух" и проинтегрируем вдоль линейного проводника с током от точки А дс точки 6 Е Е Е СЫ.
А А А Преобразуем теперь каждый интеграл в атом равенстве. учитывая, что для линейных проводников справедливы соотношеяия ~ с1Е ~ |с(Г, |5= Е = соыз1, интеграл, стоящий в левой части, при- - 79- где е( = ~ — - электрическое сопротивление участка лиыей- Р,.)е А~ Л5 ного кроводкика, заключенного между точками А и В . Подставляя выражение Е =- сее(с в первый интеграл, стоящий н правой части равенстве (17.2), имеем А | Ь В еде -/нетт |ет --т ~ т . ее„., 6 А А А где Ц +р — ерл(- разность потенциалов (падение язпрякеыия) нз участке А В . й, наконец, последкее слагаемое равенства (17.2) южно ааписать в виде В /е, ее -Э Я где 3А — сумма стороныих электродвижущихся сил, содержащихся кз участке АВ .
П результате из соотношения (17.2) получаем закон Нирхгсфа для участка цели: АИ АЬ ЯВ (17.4) Если иытегрирование в соотношении (17.2) производится по эзмкыутсиу контуру, то око принимает вид — Е4И + Е суГ. 1ак кзк в магнитостатике го1 Е = О , то циркуляуя вйктора Е ла любому азмккутому контуру равна нулю~ЕМ~~то1Есе5 = О.
Позтоыу для замкнутого контура закон Нирхгофа имеет вид Х)ч = 3, где уч — алектрическсе сопротивление контуре, 3 - алгебраическая сумма стсроыних электродвижущихся сил, содержащихся в рассматриваемом контуре. з 18. Силы в магнитком поле Для определения обобщенной силы е-. , действующей ыз покоящиеся проводники с токами, величину свободной эыергии (Хб.1ь) мы должны продиффереыцирсвать по соответствующей обоб- щепкой координате «~, при постоянных авачениях токов: и м) 1 ч ~~-АВ Р.— ~ 7 НЫР ~Т со<ъЫ ЛС с о 'дф Вм1 При этом в зависимости от выборе обобщеяной координаты мы можем получить кек силу (~у, вт т.
), так и моменты сил (с~ ьт О ), дей ствующих на тот проводник, по обобщенным координатам которого иы проиаводим дю$фереяцироваяие. Следует также отметить, что в случае иагнетиков (кроме ферромагнетиков), помещенных во внешнее иагяитное полез выражения для объемной силы и теязора натяжений Максвелле могут быть получены по аналогии со случаем злектростетики диэлектриков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
