В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отсюда следует, что Н Гу) = Н бакр ~- + ц~ . Г (т — 8) хаким образом, вектор Н в проводящей среде имеет вид Р- -Ц -) =Не б е О (20.6) Считая, что напряженность магнитного поля определяется реальной частью этого выражения, рассмотрии график, покааывашщий распределение полй в проводящей среде в некоторый момент времени Гжель П = Е = г, (см.рис. 9).
Из этого графике следует, что мгновенное значение напряженности квазистационарного магнитного йюН Рис.9 мгновенное значение компоненты Нх в проводящей среде поля в данной среде является периодической функцией у , амплитуда которой экспоненциально убывает с ростом ц , причем характерной длиной, на которой амплитуда убывает в Я рэз,являет- - В7- ся величина 2т .
Поэтому поле Н оказывается практически равным нулю уже на расстоянии равном нескольким 5 . В силу этого величина 5 получила наименование глубины проникновения поля илк толщины скин-слоя. Используя соотношения (19.7) и (20.6), найдем выражения для векторов Е и ~ ьж Из этих выражений следует, что амплитуды векторов Е и ) отличаются от амплитуды аектора Й ~~ с ~ Н ~ ф ~с ~ Н ! 4дЪ Б МЬ -Ф ЗГ а их Фазы отстают от Фазы колебания Н на величину равную — .
В остальном же поведение лекторов Е и ) аналогично поведению лекторе Й. Таким образом, характер распределения векторов Н 1= и ! в проводящей среде существенно зависит от значений 5 и Ъ . В предельном случае 8 О электромагкитное пола и токи проводимости оказываются сосредоточенными на поверхности проводящей среды, не проникая внутрь ее. Так как свойства материальных сред при $- О оказываются подобными свойствам идеально проводящих сред ( Л сс ), то их назынают идеальными проводяйквми.
Как следует из выражения (20.4), проводящая среда может считаться идеальным проводником не только тогда, когда ее проводимость велика ( Х сю , с0;л О ), но и в случае больших частот при небольших значениях проводимости (со со, Х Ф О ). вкругой предельный случай реализуется при со 0 и достаточно больших знвчени~й~ проводимости Д . Этот случай соответствует проводнику, помещенному в статическое магнитное поле. Как следует йз выражения (20.ч), в этом случае Я вЂ” оса и магнитное поле проникает в проводящую среду без какого-либо ослабления. Векторы Е и )' , в силу соотношений (20.7), в рессматризаемом случае будут равны нулю.
Иаучим теперь харектерныв особенности скик-эФФекта при иаличии неплоской границы между прозодящей средой и вакуумом. Для этого рассмотрим проводящий бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса )ч , находящийся в закууме. Предположим, что ыа поверх- -88- ности этого цилиндра (при т Й ) поддерживается зависящая от времени плотность тока: -(о»т. )(т-~2) =~,е е,.
(20.8) Найдем распределение вектора / по сечению проводника. Если обозначить проводимость цилиндра через Л , а его магнитную проницаемость через у~- , то вектор ) во внутренних точках циликдра будет удовлетворять уравнению (19.7): 4х, л»~ (20.9) с ~6 В силу симметрии задачи, реиение уравнении (20.9), удовлетворя- ющее граничноиу условию (20.8), будем искать в виде -р, -По»т. / = 3()~ Подставляя это выражение в уравнение (20.9) и учитывая, что в цилиндрических координатах оператор Лапласа ииеат вид уЭ~а~ ~ .а' Д' Лх = — ' — (т.— ~.+ — — + —, 7Э-! ))4 ~л Э~,~ а~2 полуким уравкеиие Бесселя нулевого порядка: э'~и, -)ус) — — — к ~'(~) = О, г Ъ- где К= (1~8)/б, а величина 5 определяется выражением (20.4). Решение этого уравнения имеет вид ~' ('т ) = С, М ()ч»-) + СД, (и'т ) где И (х) и Я (к) — Функции Неймана и, соответственно, Бессе- ля.)пй же как и н первом случае, для определения постоянных (, т и С к граничному условию (20.8) добавим естественное гранич- ное условие (у ( ) ~ ж сс» , вытеиающее из постановки задачи.
учитывая что (я( (к~ ) ~ — ~ оо при т О» а Ц„(и»)! ж оо при любых значениях т < я., находим, что С = О. Используя граничное условие (20.8), получим ~ (кт ) -Бсо1 (20,10) Изучим распределение плотности тока по сечению проводнике в двух предельных случаях прн $ » )~ (слабый скин-эффент ) и приоччЯ (снльныИ скин-эффект), В случае слабого скин-эффекта справедливы неравенстве й ~ Й 2 ~ч 1 й в результате чего аргументы у обеих бесселевых Функций, входя- щих в выражение (20.10), по модулю оказываются близкими к нулю. Поэтому, используя известное разложение функции Бесселя ~л РСм) Ы Т д' +... =1, е иэ выражения (20.10) получим -созш /=/сЮ О Таким образом, в случае слабого скин-эффекта плотность тока распределяется по се~ению проводника равномерно.
При $« К величине ) к й ~ = \Г2 о » 1 , и мы можем воспольвоваться асимп- тотическим разложением ~„)2)=, / — соя~ко — — 1=~/ — ~е +Е ) тате получим ~,('ма) = ~ — Е е ~/г)Ггйс (20. И) Поэтому соотношение (20.10) в случае сильного скин-эффекта при- нимает вид -г .„д х) — с( )а. — — + — / /~ЖВ~ ~ (кт-) Ю (20. Ю) Исследуем зто выражение при разяичных значениях радиуса точки наблюдения 0 и т а Й . Эа периферии цилиндра т Й и для )кт ~ справедлива оценка )кт-! = Й вЂ” ' > 1 . Это дает 5 справедливым при больших значениях модуля аргуиента Функции Бесселя. Так ка1н( к=((.Я/8= /Г/Бе ж' и )чУБ»1, то величиной Ы 4 =Е НЕ а 4) в этом выражавии исус пт~енебречь по сравнению с величинон я ' 4' = ЕЛ Е. с 4 ' .
В резуль- воэможность воспользоваться асимптотическим разложением, аналогичным (2О.П): тс) Д(~~)= — е~ е ис - 2,/г-, д Подставляя зто выражение в соотноюение (2О.Х2), получии таким образом, в области значений )ч» т » К вектор плотности тока представляет собой периодическую Функцию т и х , амплитуда которой убывает прантически по акопоненциальному аакону. Поатоиу на расстоянии от поверхности цилиндра, равнои мескольким 5 , вектор плотности тока резко страмится к нулю.
В частности, при т = 1г- 105 амплитуда вектора ~ уменьшается приблизительно в ТО раа по сравнению со значениеы амплитуды на по- 5 верхности цилиндра. В окрестности оси цилиндра (т. « Б ), ~М~.~. )ф — с 1 и мы можем положить ~ (кт ) 1 . В раб аультате получим р ~-)~ — — -( ~ив — — + у ) Очевидно, что из-за наличии в атом выражении множителя Е амплитуда плотности тока в окрестности оси проводника чрезвычайно близка к нулю.
Как показывает аналиа, в области значений т-- б амплитуде плотности тока принимает промежуточные значения между амплитудами вектора ~ при т'сс Б я г » Б. Таким образом, решение данных задач показывает, что хотя Форма ы геометрические раамеры проводящих сред н оказывают свое влияние, квааистационерное электромагнитное поле в них имеет одни и те же характерные особенности: векторы Я , Н и ~ в проводниих средах зкспоненциально убывают при прохождении их в глубь проводника. Характерной глубиной, на которой зги векторы уменьизютоя в Е раз, во всех случаях является величина Б.
$ 21. ависта она ные и о ессы в линейных и овс никах Рассмотрим некоторую систему, состоящую из конечного числа линейных проводвиков, помещенную в однородную и изотропную - 91- среду с диэлектрической и магыитной прокицаемостями Я и ус соответственно. Для иаучения квеаистацнокарных процессов, проис- ходящих в атих проводниках, воспольвуемся ди$ференциальиыы за- коном сохранения энергии (9.2): 2 — — 'з] (лй) уГ= о.
а~, В~ 2, (21«1) ]Ч' /Ы2] — ' =2~ ~], ч( ч.. 222.2] 2. )=1 где 5. - потенциальные коэ]уфыцыенты ИОНДЕКсатОрОв, а - - еб- 1~ г( сслютн8я Валичин8 88рядэ Обкладки 2;го кснденоетОра, Совершенно аналогично, в силу соотношения (16.15) второе слагаемое уравнения (21.1) запишем в виде Проинтегрируем это уравнение по всему трехмерному проотреыству. Так как в диалектричесной среде, по условию задачи, отсутствуют свободные заряды, то первое слагаемое уравнения (21.1), согласно (11.22) и (п.б), южно записать в виде ]]2' ~~~ — ' = —,~с..
„.,р. рЕ 1 ~ В~ Л. О1' 2 ./~ е=т где С-. - емкостные коз])фициенты системы проводников, (р. — по- Ц 2 тенциал (-го проводника. Однако в случае одних только линейных проводников, без наличии конденсаторов, эта сумма, во-первых, оказывается чрезвычайно малой величиной, и, во-вторых, очеыь слабо зависящей от времени, так что ею можно пренебречь по сравнению с остальными слагаемыми уравнения (21.1).
Если же в систему линейных проводников включены и конденсаторы (которые в данном случае следует представлять в виде достаточыо тонких идеально проводящих поверхностей, соединенных с линейными проводниками), то основной вклад в первое слагаемое уравнения (21.1) дают именно конденсаторы и в силу соо*ношекия (11.5) оно принимае~ вид Н ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и | ~ ~ о | ~ т й' ~21.5) ДУ.й" = ~„~ ..~о~, 8х где ) - коэИфициенты взаимной индукции (2 Ф ) ) и самоин1= дунции (2=~ ), 11 — ток в с-м проводнике. Интеграл по объему от дивергенции зентора Пойтинга по теорема Остроградского-Гаусса преобразуем в интеграл по бесконечно уделенной поверхности — ЙМд1~~ЕЙ~ - — 4сК~ЕН~.
Фтг / 4х .у Этот поверхностный интеграл, вообще говоря, не равен нулю, хотя и очень мал в нашем случае. Так как при квазнстационарных процессах потери энергии нэ иалученив электромагнитных волн очень малы, то ими можно пренебречь,в разультате чего этот интеграл мы можем положить равным нулю. Рассмотрим таперь последнее слагаемое уравнения (21.1). Исполъзун уравнение связи (15.5), его можно записать в виде и Щ та И 7я-ЕЬ(-';;.-;. )-Е",.
— Е~ .. где !. , А- — плотность тока и проводимости с-го проьодника, А Е . — нацряженность сторонних источников. гак как ьвнтор ) стор 2 отличен от нуля только внутри проводников, то зто выражение ыы должны проинтегрировать по объему всех линейных проводников. Интагрируя первое слагаемое равенства (21.Ф), учитывая соотноиение т„.
э„. = Х. , справедливое для линейных проводников, полу- чим | 'г~~. 121. 5) где К1 ю — — сопротивление с-го линейного проводника, Совйршенно аналогично, используя соотношение ~„.сЮТ = ю. сИь найдем, что /1 /к,, „м./уф,, нЕ Ч'Г,. ые,.г,э,.т. (21 б) Таким обрааом, занон сохранения энергии (21.1) после интегрирования по пространству и учета соотношений (21.2)-(21.б) примет вид ~~ — (ь, чч.~.,л,ф ) (т,'е,.-ьэ)-о. /жт (21,7) Буден считать, что форма линейных проводников и нонденоаторов, их взаимное расположение и внешние условия (давление, темперетура и т.п.) не изменяются с течением времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
