В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случае частную производную по времени в уравнении (21.7) можно заменить на полную производную и считать, что — з.. = о — ) ..= о. д 1 с(х "') ' Й 9 Учтем теперь, что изменение заряда на обкладке конденсатора, соединенной с 1-м линейным провунином, связаыо с током 11 в атом проводнике соотношением Ф~ у. . Тогда уравыенйе л. = (21.7) можно переписать в виде Тан кан зто соотношение должно выполннться при любых значениях. тока в 1-м проводнике, то выражение, стоящее в фигурных скоб- ках, должно разниться нулю: ~1 ..— у + 5(.
Ц) -г- К,у-' = З,.ф). (21.8) Ч Таким образом, мы получили систему, состояшуш иа И линейных уравнениИ относительно Й неизвестных ш . ( ( = 1,2,..., Ф ). 1 Эту систему уравнений необходимо дополнить системой из 2М начальных условий, которую чаща всего реализуют, аадавая в ывкоторый начельный мбмент времени ш =х заряды на обяладнах нонденсеторов и токи всех проводников: с~ ( т = х ) = с~, — ' ( т и ) = ХВ . В этом случае система уравнений (21.8) при заданной правой час- ти будет делать единственное решение, описывая в кэазистацио- нарном приближении изменение с течением времени зарядов и токов в каждом из линейных проводнинов. В случае одного проводника оно принимает внд хорошо известного уравнения вынужденных ноле- бвний: — — + — = ЭИ), г ц м с = (21,9) 1 где ь ьз 1 , )ч = )с , С = — — индуктивность, сопротивление и ' ~ ' Я н емкость цепи.
Вводя обозначейия сй = †, ь=- †,Э%=Э®/1-, )С 2С ато уравнение можно переписать в более привычном виде: ей~ — +2)~ — + бэ ), = 3(Ц. ~~а ~х ш с (21.10) Дополняя данков уравнение нвчальнымн условиями ~у'о) = ~,, (21. 11) ~Го> = 1., аадаюмими начальный заряд на одной из обкладок конденсатора и величину тока в цепи в начальный момент, мы прн заданной.зави- оимости а.д.с. источника от времеви получим вдинстэенное решение атого уравнения. ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ЗЛЕКТРОЛИНАМИКИ )(ВИЛУИИХСЯ СРЕЛ 5 22.
У авнения мак оскопической элект с инамики в лиюлйвюлмим.ши В случае покоящихся сред, как мы установили, уравнения мекроскопической электродинамики имеют вид 1 аЗ т-огН = — — + — /, СМ С' )ЗГ то1Е = — —— с а~ (22,1) сКч6 = О, сМЭ = уАж(т Эти уравнения могут быть которые для однородных и связь между векторами Э 2Э =ЫЕ, дополнены материальными уравнениями, нестранных сред дают наиболее простую и Е,В игч В =у 17. (22.2) Используя уравнения (22.1) и (22.2) с соответствующими начальными и граничными условиями, мы можем исследовать различные злектродинамические процессы, происходящие в покоящихся средах, т.е.
в средах, которые находятся в покое относительно наблюдателя. Однако в ряде случаев такая постановка задачи по теи или иныи причинам оказываетсн неудобной н изучение электродинамических явлений иьогда необходимо производить в той инерциальной системе отсчета, в которой вещество среди движется. Следует сразу же отметить, что при наличии сплошной среды (вещества) различные лнерциальные системы, вообще говоря, не являются равноправными, так как среди них имеется очевидным образом выделенная (глобальная или мгновенно сопутствующая) инерциальная система отсчетата, которая покоитсн относительно вещества среды, в остальных .кстемах отсчета вещество движетсн. Рак как злектродинамические процессы в движущейся среде (при соответственных начальных и .'раничных условиях) иогут происходи~в по-иному, чем в покоящейся реде, то заранее не очевидно, то уравнения макроскопической — 9б— электродинамики (22.1) к материальные уравнения (4.5), должны сохранять свой вид при переходе к инерциельной системе отсчета, движущейся относительыо сплошной среды или, что то же самое, сохранять свой вид в случае движущейся среды.
Таким образом, возникает вопрос: какой вид примут уравнеыия иакроскоямческой электродинамики и материальные уравнения в случае движущихся сред. Для ответа на этот вопрос давайте проаналиаируеи этап за этапом вывод этих уравнеыий и установим в чем кошек состоять различке, вносимое движением вещества. Начнем с уравнений Максвелра. Микроскопические уравнения Иаковелла у Зе Фзг. С -~~ С /полы у М. т.о1е = — — 1 с ЗФ (22,3) с(сы = О, с~о е = 4хд„,„„ очевидным образом имеют одинаковый вяд в любой инерциальной системе отсчета. Поэтому данные уравнения, как исходный пункт ыаиего исследования, остаются одинаковыми и для покоящихся, и для движущихся сред.
После атого ыы ввели определения физически бесконечно малого объема, кек объема, линейный размер которого эначмтельно меньше, чем некоторое характерное иакроресстоя- ние / и значительно больше, чем минроснопическая длина (среднее межатомное расстояние) а.«с ло к 1 . Легко убедиться, что такое определение сохраняет свою силу в любой инерциальной системе отсчета. Действительно,таккек щмпреоб)язованиях Лоренца эсе линейные размеры в направлении движения сокращаю~си, а в поперечных ыаправлениях не изменяются, то характер этих нера- венств не изменится; если мы определим Р в каноМ-либо системе отсчета как величину, удовлетворяющую нереэенствам а.<с ~,сч.! то она будет удовлетворять атим неравенствам и в любой другой инерциальной системе отсчета.
Совершенно аналогично можно убе- диться, что определение йизически бесконечно малого промежутка времени, принятое для покоящихся сред, справедливо и для движу- щихся сред. Далее, используя атомно-молекулярные представления о строении вещества ыы разделили плотности полного зарядаО и токе ~ „ „„ на две части — на свабодныа и свяаанные заряды й токи. Вполне очввидно, что таков деление являетсн инвариантным относительно преобразований Лоранца — в движущейся среде связанныа заряды так и останутся связанными, а свободина - свободныии.
Следующий этап вывода уравнений макроскопичаской злактродинаынки состоял в усреднении всех входящих в уравнении (22.3) величиы по 4иаически бесконечно малым промежутку врамани и объаиу. Так как таков усреднение состоит в простом интегрировании по физически басконечно малым объему и промежутку времани и последующем делании не величины атого объема н промежутка, то ту жа саиую спеРацию без какого-либо иаменания иы можем осущаствить и в случае движущихся сред. Заключительным этапом вывода уравнаний макроскопической электродинамики для покоящихсн срсд было еопоставланиа (~ к ) с диварганциай некоторого вектора (~) ) — стсч~ Р , посла союз чего дифференциальный закон сохранения связанных аарядов привал нас к соотношению ( ° ) — — ч- с гос М .
стР -ю /союз Легко заматить, что и в случае движущихся сред ничто не мешает нам отождествить величину (~~ лю ) с диваРгенцизй некотоРого вектора (~> б„~)= -с1ж Р , после чего в силу дифференциального аакона сохранения заряда, имеющего одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета, иы получим 'ЭР (~ ~ ) — — + сго1Р7. Таким образом, в случае движущихся срад уравнания Максвелла совпадают с уравнениями макроскопической электродинамики для покоящихся сред: НБы8= О, д(ыХ) = 4сгу. дто означает, что вх можно записать и в ковариантном четырехмерном виде (и наоборот). Поэтоыу давай~с проведем вывод атих уравнений в последовательно ковзриантном виде, начиная с четырехмерных микроскопических уравнений Максвелла.
Для этого, вводя таызор микроскопического поля о , о -Е„1ь е„е 4, Е„ О -Ь.„ (22.4) к„о завяжем микроскопические уравнения Максвелла в виде к = с-~." (22.5) ау„.„э~„ау „- ди~ дх' дх 1 где ~ = (~/ с~, ) у - плотность полного четырехвектора тока, которая удовлетворяет ковариантному закону сохранения: З~" — о. 'Зх" Будем считать, что среда (вещество) движется относниельно наблю- дателя. Введем, как и в $ 2, физически бесконечно малые проме- жуток времени к объем пространства, а также операции усреднения всех величин по ним.
Эта операция,тек же кек и в случае покоя- щейся среды, перес*авима с операцией взятия частной производыой' по координате И'. Поатому усредыяя вторую систему уравнений (22, 5) но (ыэически бесконечно малым объему и промежутку вре- меыи и учитывая, что <е)я Е,Д~)м Б, эту систему ураэнеэ й можно представить в виде а~;.„аГ„~ ае~,. — + —. + — „О, ам~ ам' ох (22,7) где Г = (~„. ) — тенаор электромагямтного макрополя: (22,8) Легко убедиться, что система четырехмерных уравнений (22.7) эквивалентна уравнениям уав тъ~Е = — — — ° с ах НыВ = О.
Проведем теперь рааделение плотыости четырехвектора полыого токе на сумму плотностей четырехвекторов токов овободыых и свяаенных зарядов ° 2 /полы ~сВов ~сбяз ' (22 9) В силу нх определения, они удовлетворяют тому ие самому ковари- антному уравнению сохранения (22.6), что и четырахвектор полыо- го тска: к К а,(в, а~ в.. ъх ал (22.
Ю) усредним теперь соотношения (22.9) и (22.10) по фиаически бесионечно малым обеему и промежутку времени. Вводя обозначения — (/своВ)е ПО"УЧ"М ~/ ооон~ ~ ~! сВяа~~ О Е„ о -Е„ 8 -Е -В„ Е„Е о -е„ в„о ь .. а~'" — ).о, — „=о. а»" )~- ' Эх" Твк как четырехмерная дивергенция от вектора ч,), „~ тоидествен° к ыо обращается в нуль, то зто означает, что вектор(~ Ь ) всег° к да молью представить в виде антисимметричного тензора второго ранга: кь (22 11) кь "к где с~ъ — — т.
Действительно, диФФеренцируя правую и левую чаоти соотновения (22.П) по х" , учитывая, что кь д~ (к ох"Ъх' Ьх "Ьх с и переосознзчая потом индексы суммирования (- х , к- Е получим л к( а ."' э О аххах' ах"ах' Следовательно, з силу соотношения (22.11) ~Оь, ) ох Надлем связь компонент антисимметричного тензора юь. с О( вакторзыи Р и И .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
