В.М. Фёдоров - Лекции (1128644), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

®í⮬㠮­ íª¢¨¢ «¥­â­ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨,¯à¨­¨¬ î饩 ⮫쪮 ª®­¥ç­ë¥ §­ 祭¨ï.…᫨ äã­ªæ¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ ­ã«î, â® ¨­â¥£à «, ®ç¥¢¨¤­®, à ¢¥­ ­ã«î. Ž¡à â­®,¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨­â¥£à « ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨’®£¤ ¬­®¦¥á⢮S∞E(f > 0) =n=1E(f > 1/n)â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¬¥àã¡ã¤¥â íª¢¨¢ «¥­â­ ­ã«î.f‹ ¥ ¬ ¬ . ˆ­â¥£à « ¯à®á⮩ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨RE£¤¥h(x) =à ¢¥­ ­ã«î.¨¬¥¥â ¬¥àã ­ã«ì. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã áç¥â­®©E(f > 1/n) ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë, ¬­®¦¥á⢮­ã«ì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ïfh dµ =Pkj=1 cjhà ¢¥­µ(E ∩ Cj ) .Pkj=1 cj χCj (x) ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨¥cj > 0­ ¬­®¦¥á⢥Cj ∈ Σ .„®ª § ⥫ìá⢮.

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ à §¡¨¥­¨¥ α = {Ai }ni=1 ¬­®¦¥á⢠E¨ ®¡®§­ 稬 ai + inf x∈Ai h(x) . ’ ª ª ª ai 6 cj , ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ Bij = Ai ∩ Cj 6= ∅­¥¯ãáâ®, â® ¨§ ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë µ ¬ë ¯®«ã稬S (h, α) =Pni=1 ai µ(Ai ) =Pn,ki,j=1 ai µ(Bij ) 6‚ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ à §¡¨¥­¨¥αPn,ki,j=1 cj µ(Bij ) =ᮢ¯ ¤ ¥â á à §¡¨¥­¨¥¬Pkj=1 cj µ(E∩ Cj ) .β = {E ∩ Cj }kj=1¢ íâ¨å­¥à ¢¥­áâ¢ å ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮.ˆ§ í⮩ «¥¬¬ë ¢ë⥪ ¥â ¤à㣮¥ íª¢¨¢ «¥­â­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ ( 10 ). ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ä㭪樨­ ¬­®¦¥á⢥E ∈ Σà ¢¥­ ¢¥àå­¥© £à ­¨ ¨­â¥£à «®¢ ¯à®áâëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë娧¬¥à¨¬ëå ä㭪権, â ª¨å, çâ®RE18f : E → R+h(x) 6 f (x)¯à¨ ¢á¥åf dµ = sup06h6fREh dµ .x∈E,â.¥.1.5 ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ . à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬.‚ á ¬®¬ ¤¥«¥,¥á«¨R­¥à ¢¥­á⢮hR 6 f ­ h dµ 6 E f dµ . ‘E¬­®¦¥á⢥E,â® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (1) ¢ë⥪ ¥â¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ª ¦¤ ï ­¨¦­ïïá㬬 „ à¡ã ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬ ®â ­¥ª®â®à®© ¯à®á⮩ ä㭪樨h 6 f.‡­ ç¨â¢¥àå­ïï £à ­ì ¨­â¥£à «®¢ ¯à®áâëå ä㭪権 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨­â¥£à «®¬ ä㭪樨Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ (2).

ˆ­â¥£à «®¬ ‹¥¡¥£ ä㭪樨f :E→R­ ¬­®¦¥á⢥f.E∈Σ­ §ë¢ ¥âáï à §­®áâì ¨­â¥£à «®¢ ®â ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ä㭪権REf dµ +REf+ dµ −REf± (x) + max{±f (x), 0} .f− dµ ,à¨ í⮬ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ®¤¨­ ¨§ ¨­â¥£à «®¢ ®â¨­ ç¥ ¨­â¥£à « ­¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« . ”ã­ªæ¨ï¥á«¨ff+¨«¨f−ï¥âáï ª®­¥ç­ë¬,­ §ë¢ ¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã,f¨§¬¥à¨¬ ¨ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ä㭪樨¨¬¥îâ ª®­¥ç­ë¥ ¨­â¥£à «ë.f± áᬮâਬ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ , ¤®ª § ­­ë¥ à ­¥¥ ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­ëåä㭪権f :E→R­ ¬­®¦¥á⢥E(1). Œ®­®â®­­®áâì.…᫨R ä㭪樨R¢á¥åx∈E,â®Ef dµ 6ª®­¥ç­®© ¬¥àë.¨fg¨­â¥£à¨àã¥¬ë ­ E¨f (x) 6 g(x)¤«ïg dµ .E…᫨ ä㭪樨f ¨ g ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë ¨ f 6 g ­ E , â® ã⢥ত¥­¨¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§­¥à ¢¥­á⢠S (f, α) 6 S (g, α) .

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¥¤¯®« £ âì ¨­â¥£à¨à㥬®áâì­¥ ­ã¦­®. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¯®áª®«ìªã f+ 6 g+ ¨ f− > g− ­ E , â®RRRRRRf dµ = E f+ dµ − E f− dµ 6 E g+ dµ − E g− dµ = E g dµ .E(2). Œ®¤ã«ì. …᫨ äã­ªæ¨ïR¨­â¥£à¨à㥬 ­ E¨f ¨­â¥£à¨à㥬 R| E f dµ| 6 E |f | dµ .ˆ­â¥£à¨à㥬®áâì ¬®¤ã«ï­ ¬­®¦¥á⢥E,â® ¥¥ ¬®¤ã«ì|f ||f | = f+ + f− ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (2), ­¥à ¢¥­á⢮−|f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)| ¤«ï ¢á¥å x ∈ E .á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠(1), â ª ª ª(3). €¤¤¨â¨¢­®áâì. …᫨ äã­ªæ¨ï f ¨­â¥£à¨à㥬 ­ ¬­®¦¥áâ¢ å¨ ¬­®¦¥á⢮ E = E1 t E2 , â® f ¨­â¥£à¨à㥬 ­ E ¨REf dµ =RE1f dµ +RE2E1 , E2 ∈ Σf dµ .â® ᢮©á⢮ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¡®«¥¥ ®¡é¥© ⥮६ë, ¤®ª § ­­®© ­¨¦¥, ®áç¥â­®© ¤¤¨â¨¢­®á⨠¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ ä㭪樨¯.¢.

à ¢­ë ­ ¬­®¦¥á⢥E,f (x) = g(x)â® ¨å ¨­â¥£à «ë à ¢­ë. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, íª¢¨¢ «¥­â­ë¥¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 ¨¬¥îâ à ¢­ë¥ ¨­â¥£à «ë ‹¥¡¥£ .–¥­âà «ì­ë¬ ᢮©á⢮¬ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ï¥âáï ¥£® áç¥â­ ï ¤¤¨â¨¢­®áâì.„®ª § ⥫ìá⢮ áãé¥á⢥­­® ®¯¨à ¥âáï ­ áç¥â­ãî ¤¤¨â¨¢­®áâì ¬¥àëµ.’ ¥ ® à ¥ ¬ (® áç¥â­®© ¤¤¨â¨¢­®áâ¨). ãáâì äã­ªæ¨ï f ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ¨ ¨§¬¥à¨¬ F∞­ ¬­®¦¥á⢥ E . ’®£¤ , ¥á«¨ E = i=1 Ei , £¤¥ Ei ∈ Σ , â®REf dµ =P∞ Ri=1Eif dµ .„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ äã­ªæ¨ï f ï¥âáï ¯à®á⮩, â® ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ë ¨ áç¥â­®© ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë µ .

‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¤«ï ª ¦¤®©¯à®á⮩ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 h â ª®©, çâ® h 6 f ­ E , ¯®«ã稬REh dµ =P∞ Ri=1Eih dµ 6P∞ Ri=1Eif dµ .191.5 ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ . à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬.P Rf dµ 6 ∞i=1 Ei f dµ . „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡à â­®£® ­¥à ¢¥­á⢠¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ε > 0 ¨ ¢ë¡¥à¥¬, ᮣ« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î( 10 ), ¯à®áâë¥ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 hi ­ ¬­®¦¥á⢥ Ei (à ¢­ë¥­ã«î ¢­¥ Ei ) â ª, çâ® hi (x) 6 f (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ Ei ¨RRh dµ > Ei f dµ − ε/2i , i = 1, 2, . .

. , n .Ei iFnPn„ «¥¥, ¯®« £ ï Fn = i=1 Ei ¨ h(x) =i=1 hi (x) ­ ¬­®¦¥á⢥ Fn , ¬ë ¯®«ã稬RRPn RP Rf dµ > Fn h dµ = i=1 Ei hi dµ > ni=1 Ei f dµ − ε .E‚ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï ( 10 ) ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮R‡¤¥áì ­¥ï¢­® ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äã­ªæ¨ï“áâ६«ïï ⥯¥àìε→0¨n → ∞,‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï⥮६ãR ª äã­ªæ¨ï¬ϕ(A) =Af dµf+¨hi (x)à ¢­ ­ã«î ¢­¥ ¬­®¦¥á⢠Ei .¨¬¥¥¬ ®¡à â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮.¨­â¥£à¨à㥬 ­ ¬­®¦¥á⢥ff−EE,â®, ¯à¨¬¥­ïï íâã¬ë ¯®«ã稬, çâ® ­¥®¯à¥¤¥«¥­­ë© ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ï¥âáï áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­®© ä㭪樥© ¬­®¦¥á⢠A⊆E.’ ¥ ® à ¥ ¬ (® ¬®­®â®­­®© á室¨¬®áâ¨). ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쨧¬¥à¨¬ëå ä㭪権 ¬®­®â®­­® á室¨âáï fi % f ª ä㭪樨 f’®£¤ ¯à¥¤¥« ¨å ¨­â¥£à «®¢ (ª®­¥ç­ë© ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­ë©) à ¢¥­REf dµ = limRE­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå­ ¬­®¦¥á⢥ E .{fi }fi dµ .„®ª § ⥫ìá⢮.R ‚ ᨫ㠬®­®â®­­®á⨠¨­â¥£à «®¢ áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­ë©I = lim ER fi dµ .

®í⮬㠨§ ­¥à ¢¥­á⢠fi 6 f ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¢ë⥪ ¥â­¥à ¢¥­á⢮ I 6 E f dµ . „®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮.ãáâì ¯à®áâ ï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï h ¢ë¡à ­ â ª, çâ® h 6 f­ ¬­®¦¥á⢥ E . ‚®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«® 0 < λ < 1 ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢠SEi + E(λh 6 fi ) . ’®£¤ Ei ⊆ Ei+1 ¨ E = ∞i=1 Ei . Žâáî¤ á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮¯à¥¤¥«RRRh dµ = Ei λh dµ 6 Ei fi dµ 6 E fi dµ 6 I .RŽ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ ϕ(A) = A h dµ ¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® lim ϕ(Ei ) = ϕ(E) .

ãáâì E0 = ∅ ,F∞⮣¤ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ E =i=1 Ei \ Ei−1 . ®í⮬㠨§ áç¥â­®© ¤¤¨â¨¢­®áâ¨λREi­¥®¯à¥¤¥«¥­­®£® ¨­â¥£à « ®â ¯à®á⮩ ä㭪樨 ¢ë⥪ ¥âϕ(E) =P∞i=1ϕ(Ei \ Ei−1 ) =P∞i=1 (ϕ(Ei )− ϕ(Ei−1 )) = lim ϕ(Ei ) .i → ∞ , § ⥬ ¯à¨ λ → 1 , ¬ëhdµ6I.’ ª¨¬®¡à §®¬,¯®®¯à¥¤¥«¥­¨î( 10 ) á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮Ef dµ 6 I ¨ §­ ç¨â ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮.EŽâáî¤ , ¯¥à¥å®¤ïª ¯à¥¤¥«ã (¢ ­¥à ¢¥­á⢥ ¢ëè¥) ¯à¨R¯®«ã稬R‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

’¥®à¥¬ ®áâ ¥âáï ¢¥à­®© ¨ ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯à¥¤¥«lim fi (x)¯à¨­¨¬ ¥â ¡¥áª®­¥ç­ë¥ §­ 祭¨ï. à¨ í⮬ ¨­â¥£à « ®âà ¢­ë¬ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. Ž¤­ ª®, ¥á«¨ ¨­â¥£à «ë ®â®âfiff (x) =¬®¦¥â ¡ëâì®£à ­¨ç¥­ë ᢥàåã, â® ¨­â¥£à «f ¡ã¤¥â ª®­¥ç­®© ¯.¢.E . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ¨§¬¥à¨¬®á⨠ä㭪権 fi á«¥¤ã¥â, çâ® ¬­®¦¥á⢮E(f = ∞) ¨§¬¥à¨¬®. ’ ª ª ª ¨­â¥£à « ®â f ª®­¥ç­ë©, ⮠ᮣ« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î (1)¬¥à ¬­®¦¥á⢠E(f = ∞) ¤®«¦­ ¡ëâì à ¢­ ­ã«î.f¯à¨­¨¬ ¥â ª®­¥ç­®¥ §­ 祭¨¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ äã­ªæ¨ï­ ¬­®¦¥á⢥(4). ‹¨­¥©­®áâì. ãáâì ä㭪樨 f ¨ g ¨­â¥£à¨àã¥¬ë ­ ¬­®¦¥á⢥’®£¤ ä㭪樨 f + g ¨ λf ¨­â¥£à¨àã¥¬ë ­ E ¨RE20λf dµ = λREf dµ ,RE(f + g) dµ =REf dµ +REg dµ .E¨λ ∈ R.1.5 ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ .

à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬.¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮ ¬®¦­® ¢ë¢¥á⨠¯àאַ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨© (1) ¨ (2). „®ª ¦¥¬ ¢â®à®¥à ¢¥­á⢮. …᫨f¨g¯à®áâë¥ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨, â® ¤®ª § ⥫ìá⢮¯à®áâ® ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ë (¤®áâ â®ç­® ¢§ïâì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ à §¡¨¥­¨©, ­ ª®â®àëå¨g¯à¨­¨¬ îâ ¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï). …᫨ ä㭪樨f¨gf¨§¬¥à¨¬ë ¨ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë,â® áãé¥áâ¢ãîâ ¬®­®â®­­ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯à®áâëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëåä㭪権fn % f ¨ gn % g , á室ï騥áï ª äã­ªæ¨ï¬ f ¨ g ­ ¬­®¦¥á⢥ E .

Žâáî¤ ,fn + gn % f + g ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ¨ ¯à¨¬¥­ïï ⥮६㠮 ¬®­®â®­­®©§ ¬¥ç ï, çâ®á室¨¬®áâ¨, ¬ë ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢮RE(f + g) dµ = limRE(fn + gn ) dµ = limREfn dµ + limREgn dµ =REf dµ +REg dµ .f = f+ −f− ¨ g = g+ −g− ¨¬¥î⠯ந§¢®«ì­ë© §­ ª.f +g = (f +g)+ −(f +g)− ¢ë⥪ ¥â à ¢¥­á⢮ (f +g)+ +f− +g− =‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¯ãáâì ä㭪樨’®£¤ ¨§ ᮮ⭮襭¨ïf+ +g+ +(f +g)− . ˆ­â¥£à¨àãï íâ® à ¢¥­á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ä㭪権, § ⥬ £à㯯¨àãï ¥£® á« £ ¥¬ë¥, ¯®«ã稬 âà¥¡ã¥¬ë© à¥§ã«ìâ â.‹ ¥ ¬ ¬ (” âã).

ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fi } ­¥®âà¨æ 楫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëåä㭪権 ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨¬¥¥â ­¨¦­¨© ¯à¥¤¥« f (x) = lim fi (x) . ’®£¤ Rf dµ 6 limEREfi dµ .„®ª § ⥫ìá⢮. ®«®¦¨¬ gk (x) + inf i>k fi (x) ¯à¨ x ∈ E . â¨ ä㭪樨 ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¨R ¨§¬¥à¨¬ë ­ R E . Šà®¬¥ ⮣®, gk % f ­ E . ® ⥮६¥ ® ¬®­®â®­­®© á室¨¬®áâ¨RRE f dµ = lim E gk dµ . ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠gk 6 fi ¢ë⥪ ¥â ­¥à ¢¥­á⢮ E gk dµ 6f dµ ¯à¨ ¢á¥å i > k . Žâáî¤ , ¢§ï¢ ­¨¦­îî £à ­ì ¯® ¢á¥¬ i > k ¨ ¯¥à¥å®¤ï ªE i¯à¥¤¥«ã k → ∞ , ¬ë ¯®«ã稬REgk dµ 6 inf i>kRERfi dµ ,Ef dµ = limREgk dµ 6 limREfi dµ .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥à ¢¥­á⢮ ¤®ª § ­®.’ ¥ ® à ¥ ¬ (‹¥¡¥£).

ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쨭⥣à¨à㥬ëå ä㭪権­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« f (x) = lim fi (x) ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥à ¢¥­áâ¢ã|fi (x)| 6 g(x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ E , £¤¥ äã­ªæ¨ï g ¨­â¥£à¨à㥬 ­ ¬­®¦¥á⢥ E .’®£¤ f ¨­â¥£à¨à㥬 ­ E ¨ ¥¥ ¨­â¥£à « à ¢¥­ ¯à¥¤¥«ã ¨­â¥£à «®¢RE„®ª § ⥫ìá⢮. ”ã­ªæ¨ïff dµ = limRE{fi }fi dµ .ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®© ¨®í⮬㠯® ᢮©áâ¢ã (1) äã­ªæ¨ïf¨­â¥£à¨à㥬 ­ f± 6 g ­ ¬­®¦¥á⢥ E .E .

Характеристики

Список файлов лекций