В.М. Фёдоров - Лекции (1128644), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ž¡à â­®,¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­¥¯à¥à뢭®á⨠®¯¥à â®à ¢ â®çª¥x0 = 0 ­ã«ì ¤«ï «î¡®£® ε > 0­ ©¤¥âáï â ª®¥ δ > 0 , çâ® kAxk < ε ¯à¨ ¢á¥å kxk < δ . ®í⮬㠨§ ®¤­®à®¤­®á⨭®à¬ë ¨ ®¯¥à â®à á«¥¤ã¥â, çâ® kAk 6 ε/δ ¨ §­ ç¨â ®¯¥à â®à A ®£à ­¨ç¥­.’ ¥ ® à ¥ ¬ (¯à®¤®«¦¥­¨¥ ¯® ­¥¯à¥à뢭®áâ¨).

ãáâì Y | ¡ ­ 客® ¨ M ⊆ X¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ X . ’®£¤ ¤«ï ª ¦¤®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ®¯¥à â®à A : M → Y áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ®£à ­¨ç¥­­ë© ®¯¥à â®à B : X → Y â ª®©,çâ® kBk = kAk ¨ Bx = Ax ¯à¨ ¢á¥å x ∈ M .„®ª § ⥫ìá⢮. ® ãá«®¢¨î ¯«®â­®á⨠¤«ï ª ¦¤®£® x ∈ X ­ ©¤¥âáï â ª ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì {xi } ⊂ M , çâ® lim xi = x . ’ ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­®à¬ëkAxi − Axj k = kA(xi − xj )k 6 kAk kxi − xj k ,{Axi } ¡ã¤¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ Y ¨ §­ ç¨â ¢ ᨫ㠯®«­®âëY ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« Bx + lim Axi . ‚®§ì¬¥¬ ¥é¥ í«¥¬¥­â y ∈ X ¨ ¯®áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{yi } ⊂ M , á室ïéãîáï ª y = lim yi . ®áª®«ìªã lim (xi +yi ) = x+y , â® ¨§ «¨­¥©­®á⨮¯¥à â®à A ¢ë⥪ ¥ââ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì281.7  ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠. à®áâà ­á⢮ ®¯¥à â®à®¢.B(x + y) = lim A(xi + yi ) = lim (Axi + Ayi ) = lim Axi + lim Ayi = Bx + By .‚ ç áâ­®áâ¨, ¯®« £ ïy = −x ,¬ë ¯®«ã稬, çâ® §­ 祭¨¥¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, á室ï饩áï ª’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®àkBk > kAk .¨¬¥¥¬Bx.Bx­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à €­ «®£¨ç­® ¯à®¢¥àï¥âáï, ç⮫¨­¥©­ë©.

’ ª ª ªBx = Ax¯à¨ ¢á¥åB(λx) = λBx .x ∈ M , â® ¬ë‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠­®à¬ëkBxk = lim kAxi k 6 kAk lim kxi k = kAk kxk .¯à¨ ¢á¥åkAk .x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kBk 6 kAk ¨ §­ ç¨â á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kBk =B ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.…¤¨­á⢥­­®áâì ®¯¥à â®à  à ¨ ¬ ¥ à.  áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮P (x) =Pnii=0 ai x .¨ ¥£® ¯®¤¯à®áâà ­á⢮C[0, 1]® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá MM ¢á¥å ¬­®£®ç«¥­®¢C[0, 1] . Ž¯à¥¤¥«¨¬AP (x) + P 0 (x) .

’ ª kAxi k =¢áî¤ã ¯«®â­® ¢®¯¥à â®à ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï, ¤¥©áâ¢ãî騩 ¯® ä®à¬ã«¥i , â® íâ®â ®¯¥à â®à ­¥®£à ­¨ç¥­ kAk = ∞ . Ž­ ­¥ ¨¬¥¥â ®£à ­¨ç¥­­®£® ¯à®¤®«¦¥­¨ï­ ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮ C[0, 1] . Ž¤­ ª®, ¥á«¨ á㧨âì ¥£® ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Mk ¯®«¨­®¬®¢á⥯¥­¨ ­¥ ¢ëè¥ k , â® ¯®«ã稬 ®£à ­¨ç¥­­ë© ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ã¦¥ ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì¢ C[0, 1] c á®åà ­¥­¨¥¬ ­®à¬ë.

„«ï í⮣® ¤®áâ â®ç­® ®¯à¥¤¥«¨âì Axi = 0 ¤«ï ¢á¥åi > k , § ⥬ ¯à¨¬¥­¨âì ⥮६ã.X ¨ Y ­ §ë¢ îâáï ¨§®¬®àä­ë¬¨,A : X → Y , ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 : Y → X â ª¦¥Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥. ®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯à¥àë¢­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à®â®¡à ¦ î騩X­ Y, ã ª®â®à®£®ï¢«ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬.…᫨ ¤¢ ¯à®áâà ­á⢠¨§®¬®àä­ë ¨ ®¤­® ¨§ ­¨å ¡ ­ 客®, â® ¤à㣮¥ â ª¦¥ï¢«ï¥âáï ¡ ­ 客ë¬.

â® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣® ä ªâ , çâ® ­¥¯à¥àë¢­ë© «¨­¥©­ë©®¯¥à â®à ®â®¡à ¦ ¥â á室ï騥áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ á室ï騥áï, äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥.’ ¥ ® à ¥ ¬ . ‹î¡®¥ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­áâ¢®à §¬¥à­®áâ¨dimF X = n¨§®¬®àä­® ¥¢ª«¨¤®¢ã ¯à®áâà ­áâ¢ãFnX­ ¤ ¯®«¥¬F¨.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ {ei }ni=1 ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¯à®áâà ­á⢠X .’®£¤ ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à x ∈ X ¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ç¥à¥§ ¡ §¨á.PnnŽ¯à¥¤¥«¨¬ ®¯¥à â®à Ax + λ , £¤¥ x =i=1 λi ei ¨ λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ F . Žç¥¢¨¤­®,çâ® ®¯¥à â®à A «¨­¥©­ë© ¨ ®â®¡à ¦ ¥â ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ¯à®áâà ­á⢮ X ­ −1Fn .

„®ª ¦¥¬,Pçâ® ®¯¥à â®à AP¨n ¥£® ®¡à â­ë© A ïîâáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬¨. −1nãáâì y =i=1 µi ei ¨ x =i=1 λi ei .  áᬮâਬ äã­ªæ¨î f (λ) = kxk = kA λk .’®£¤ ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¢ë⥪ ¥â ­¥à ¢¥­á⢮|f (λ) − f (µ)| 6 kx − yk 6®í⮬ã äã­ªæ¨ïn{λ ∈ F | kλk = 1}f (λ)­¥¯à¥à뢭 ¢¢ ¯à®áâà ­á⢥nFn .Pni=1|λi − µi | kei k .‚ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠¥¤¨­¨ç­®© áä¥àëF ¢¥«¨ç¨­ ¥¥ ¢¥àå­¥© £à ­¨ K = supkλk=1 f (λ)k = inf kλk=1 f (λ) ¯®«®¦¨â¥«ì­ . ˆ§ ®¤­®à®¤­®á⨭¥à ¢¥­á⢮ k kλk 6 f (λ) 6 K kλk ¯à¨ ¢á¥å λ ∈ Fn .

Žâáî¤ kA−1 λk 6 Kkλk . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®àë A ¨ A−1 ®£à ­¨ç¥­ëª®­¥ç­ , ¢¥«¨ç¨­ ­¨¦­¥© £à ­¨­®à¬ë ¢ë⥪ ¥âkAxk 6 k −1 kxk¨¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® «¥¬¬¥ ¡ã¤ãâ ­¥¯à¥à뢭ë.291.8 ’¥®à¥¬ • ­ - ­ å . ’¥®à¥¬ ¨áá .1.8’¥®à¥¬ • ­ - ­ å .

’¥®à¥¬ ¨áá .wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwweeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr301.9  ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠. à¨¬¥àë.1.9 ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠. à¨¬¥àë.311.10 “¯à ¦­¥­¨ï ¨ § ¤ ç¨.1.10“¯à ¦­¥­¨ï ¨ § ¤ ç¨.1. „®ª § âì, çâ® á¨á⥬ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ¬­®¦¥á⢠¢­¥ ï¥âáï «£¥¡à®© ¨2. ãáâìTRï¥âáï ª®«ì殬, ­®σ -ª®«ì殬.| á¨á⥬ ¢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠¢R , S | á¨á⥬ ¢á¥åR (®â१ª¨, ¨­â¥à¢ «ë, ¯®«ã¨­â¥à¢ «ë). „®ª § âì, çâ® ­ ¨¬¥­ì訥σ - «£¥¡àë Rσ (T ) ¨ Rσ (S) , ᮤ¥à¦ 騥 í⨠á¨áâ¥¬ë ¬­®¦¥áâ¢, ᮢ¯ ¤ îâ.3. ãáâì An = {k/n| k ∈ Z} | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« á® §­ ¬¥­ ⥫¥¬i .

 ©â¨ ¢¥àå­¨© ¨ ­¨¦­¨© ¯à¥¤¥«ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¬­®¦¥á⢠An , â.¥.TS∞S∞ T∞lim An = ∞A,limA=ink=1i=kk=1i=k Ai .¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢4. ãáâì ¯®«ã «£¥¡à S á®á⮨⠨§ âà¥å ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¬­®¦¥á⢠A , B , C ,X = A t B t C ¨ ¯ãá⮣® ¬­®¦¥á⢠∅ . ”ã­ªæ¨ï ϕ à ¢­ ¯à®áâà ­á⢠ϕ(∅) = 0 .ϕ(A) = ϕ(B) = ϕ(C) = ϕ(X) = 1 ,„®ª § âì, çâ®ϕ ¤¤¨â¨¢­ ­ S,5. „®ª § âì, çâ® «¨­¥©­ ï ¬¥à ¢á¥å ¯à®¬¥¦ã⪮¢ha, bi¢R­® ­¥ ï¥âáï ª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­®©.m(ha, bi) = b − a ,®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ¯®«ãª®«ìæ¥S(®â१ª¨, ¨­â¥à¢ «ë, ¯®«ã¨­â¥à¢ «ë), ï¥âáï áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­®©.6. „®ª § âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮®â१ª [0, 1] ,[0, 1] ∩ Q ,á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥«¨§¬¥à¨¬® ¯® ‹¥¡¥£ã, ­® ­¥¨§¬¥à¨¬® ¯® †®à¤ ­ã.7. „®ª § âì, çâ® ®âªàëâë¥ ¨ § ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥á⢠¢R ¨§¬¥à¨¬ë.σ - «£¥¡à Rσ (T ) , ᮤ¥à¦ é ï á¨á⥬ã T ¢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢢ R , ­ §ë¢ ¥âáï ¡®à¥«¥¢áª®©. „®ª § âì, çâ® ¡®à¥«¥¢ë¥ ¬­®¦¥á⢠¢ R ¨§¬¥à¨¬ë.9.

„®ª § âì, çâ® ­ ¨¬¥­ìè ï σ - «£¥¡à ¢ R , ᮤ¥à¦ é ï ¢á¥ ¨­â¥à¢ «ë ¨ ¬­®¦¥á⢠¬¥àë ­ã«ì, ᮢ¯ ¤ ¥â á σ - «£¥¡à®© ¢á¥å ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠(¯® ‹¥¡¥£ã).10. „®ª § âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ®â१ª [0, 1] , ã ª®â®àëå ¢ ¤¥áïâ¨ç­®¬ à §«®¦¥­¨¨®âáãâáâ¢ã¥â æ¨äà 7 , ¨§¬¥à¨¬® ¨ ¨¬¥¥â ¬¥àã ­ã«ì.P∞i11. ãáâì x ∈ [0, 1) ¨ x =i=1 αi /3 ¥áâì âந筮¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ç¨á« x , £¤¥αi = 0, 1, 2 . Œ­®¦¥á⢮ C ç¨á¥« x ∈ [0, 1] , ã ª®â®àëå ¢á¥ αi 6= 1 , ­ §ë¢ ¥âáïª ­â®à®¢ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬. „®ª § âì, çâ® C § ¬ª­ãâ®, ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­®, ¨¬¥¥â8.  ¨¬¥­ìè אַ魮áâì ª®­â¨­ã㬠¨ ¬¥àã ­ã«ì.Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§n(x)¨­¤¥ªá ­¥â, â® ¯®« £ ¥¬­ ¨¬¥­ì騩 ¨­¤¥ªái,¤«ï ª®â®à®£®n(x) = ∞ . ’®£¤ äã­ªæ¨ïαi = 1 . …᫨ â ª®£®c(x) ­ ®â१ª¥ [0, 1] , ®¯à¥¤¥«¥­­ ﯮ ä®à¬ã«¥c(x) +Pn(x)−1i=1αi /2i+1 + 1/2n(x) ,­ §ë¢ ¥âáï ª ­â®à®¢®© ä㭪樥©.

„®ª § âì, çâ®c(x)c(1) = 1 ,­¥¯à¥à뢭 , ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤ãî¯.¢. à ¢­ãî ­ã«î, ­® ­¥ ï¥âáï ­¥®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ¨­â¥£à «®¬.12.  §®¡ê¥¬ ®â१®ª[0, 1]­ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠, ¢ª«îç ï â®çª¨¢ ®¤­® ¬­®¦¥á⢮, ¥á«¨ ç¨á«®yx−y ∈ QEE.„®ª § âì,­¥¨§¬¥à¨¬®.13. „®ª § âì, çâ® ­ ®â१ª¥®¡à §¨à 樮­ «ì­®. ‚롥६ ¨§ ª ¦¤®£® â ª®£®¬­®¦¥á⢠¯® ®¤­®© â®çª¥ ¨ ®¡®§­ 稬 ¯®«ã祭­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ç¥à¥§çâ®xf (E) ,£¤¥[0, 1] áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¬­®¦¥á⢮ Ef (x) = x + c(x) , ï¥âáï ­¥¨§¬¥à¨¬ë¬.

‚뢥á⨬¥àë ­ã«ì, çâ®®âáî¤ , çâ®E¨§¬¥à¨¬®, ­® ­¥ ï¥âáï ¡®à¥«¥¢ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬.14. „®ª § âì, çâ® ¯à¨ «¨­¥©­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨¢ ¨§¬¥à¨¬ë¥.32R2¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠®â®¡à ¦ îâáï1.10 “¯à ¦­¥­¨ï ¨ § ¤ ç¨.15. ®áâநâì ­ ¯«®áª®á⨠⠪®¥ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¬­®¦¥á⢮, ¯à®¥ªæ¨¨ ª®â®à®£® ­ ®¡¥ª®®à¤¨­ â­ë¥ ®á¨ ­¥¨§¬¥à¨¬ë.16. ®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ïE(f < c)f :E→R¨§¬¥à¨¬ , ¥á«¨ ¯à¨ ¯.¢.c∈R¬­®¦¥á⢮¨§¬¥à¨¬®.f : E → R ®¯à¥¤¥«¥­ ­ ­¥¯à¥à뢭 . „®ª § âì äã­ªæ¨ï f ¨§¬¥à¨¬ .18. …᫨ äã­ªæ¨ï f : R → R ¨¬¥¥â ¬­®¦¥á⢮17. ãáâì äã­ªæ¨ï¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥E ⊆ R¨â®ç¥ª à §àë¢ ¬¥àë ­ã«ì, â® ®­ ¨§¬¥à¨¬ .19.

ãáâì ä㭪樨g(x)h(x) = f (x)f¨¨§¬¥à¨¬ .20. ãáâì äã­ªæ¨ïf (x) =g¨§¬¥à¨¬ë, ¯à¨ç¥¬P∞n=0f (x) > 0 .an cos nx+bn sin nx„®ª § âì, çâ® á⥯¥­ì®¯à¥¤¥«¥­ ­ ¬­®¦¥á⢥ â®ç¥ªá室¨¬®á⨠í⮣® àï¤ . „®ª § âì, çâ® ®­ ¨§¬¥à¨¬ .21. ãáâì äã­ªæ¨ïâ®ç¥ªx,f :R→R­¥¯à¥à뢭 .

„®ª § âì ¨§¬¥à¨¬®áâì ¬­®¦¥á⢠â¥å¢ ª®â®àëå áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®¤­ ï22. ”ã­ªæ¨ïf : [a, b] → R­ §ë¢ ¥âáï ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®© ᢥàåã (á­¨§ã), ¥á«¨limx→x0 f (x) = f (x0 ) ,¯à¨ ¢á¥åx0 ∈ [a, b] .f 0 (x) .( limx→x0 f (x) = f (x0 ) ) ,„®ª § âì, çâ® ¯®«ã­¥¯à¥àë¢­ë¥ ä㭪樨 ¨§¬¥à¨¬ë.f : R → R ¨§¬¥à¨¬ . „®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëåR2 .24.  ¨¬¥­ìè ï σ - «£¥¡à Rσ (Tn ) , ᮤ¥à¦ é ï á¨á⥬ã Tn ¢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥áâ¢Rn , ­ §ë¢ ¥âáï ¡®à¥«¥¢áª®©. „®ª § âì, çâ® ¡®à¥«¥¢ë¥ ¬­®¦¥á⢠E ∈ Rσ (Tn )23. ãáâì äã­ªæ¨ïg(x, y) = f (x + y)¢¨§¬¥à¨¬ ¢¨§¬¥à¨¬ë.25.

à¨¬¥­ïï ⥮६㠔㡨­¨ ¯®ª § âì, çâ® ã ª ¦¤®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠¢R2¯.¢. á¥ç¥­¨ï ¯àï¬ë¬¨, ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ª®®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬, ¨§¬¥à¨¬ë.f : R → R+ ¨§¬¥à¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮A(f ) + {(x, y)| 0 6 y 6 f (x)} ¨§¬¥à¨¬® ¢ R2 .®ª § âì, çâ® ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ â ª®© ä㭪樨 à ¢¥­ ¯®áª®© ¬¥à¥ ¬­®¦¥á⢠A(f ) .27.

Характеристики

Список файлов лекций