В.М. Фёдоров - Лекции (1128644), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Œ¥à ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­®©, ¥á«¨ «î¡®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¬­®¦¥á⢠¬¥àë ­ã«ì ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥. ”ã­ªæ¨ïf :E→R­ §ë¢ ¥âáï ¨§¬¥à¨¬®© ­ ¬­®¦¥á⢥E ∈ Σ,¥á«¨ ¢á¥ ¥¥ «¥¡¥£®¢ë ¬­®¦¥á⢠E(f < c) + {x ∈ E| f (x) < c}¨§¬¥à¨¬ë, â.¥.E(f < c) ∈ Σ’ ª ª ª á¨á⥬ ¬­®¦¥á⢯ਠ¢á¥åΣc ∈ R.ï¥âáïσ - «£¥¡à®©,â® ¨§ ¨§¬¥à¨¬®á⨠«¥¡¥£®¢ë嬭®¦¥á⢠¢ë⥪ ¥â ¨§¬¥à¨¬®áâì á«¥¤ãîé¨å ¬­®¦¥áâ¢:E(f > c) = E \ E(f < c) ;TE(f 6 c) = ∞n=1 E(f < c + 1/n) ;E(f > c) = E \ E(f 6 c) ;E(a 6 f < b) = E(f < b) \ E(f < a) ;E(a < f < b) = E(f < b) \ E(f 6 a) ;E(a < f 6 b) = E(f 6 b) \ E(f 6 a) ;E(a 6 f 6 b) = E(f 6 b) \ E(f < a) .Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ T á¨á⥬㠢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠¢ R ¨ à áᬮâਬ ­ ¨¬¥­ìèãîσ - «£¥¡àã Rσ (T ) , ᮤ¥à¦ éãî ¢á¥ ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠¢ R .

Œ­®¦¥á⢠, ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥í⮩ σ - «£¥¡à¥, ­ §ë¢ îâáï ¡®à¥«¥¢ë¬¨. ’ ª ª ª ¤®¯®«­¥­¨¥ ®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠¢ R ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬, â® Rσ (T ) ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ § ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥á⢠¢ R . ‹¥£ª®¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥ ¯à®¬¥¦ã⪨ ¨§ R (®â१ª¨, ¨­â¥à¢ «ë ¨ ¯®«ã¨­â¥à¢ «ë) ïîâá५¥¢ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨.’ ¥ ® à ¥ ¬ . ”ã­ªæ¨ï¨§¬¥à¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¯à®®¡à §«î¡®£® ¡®à¥«¥¢®£® ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬, â.¥.

¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥f −1 (B) ∈ Σ ¤«ï ¢á¥å B ∈ Rσ (T ) .f :E→R„®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­®áâì â¥®à¥¬ë ®ç¥¢¨¤­ , ¯®áª®«ìªã (−∞, c) ∈ Rσ (T ) .„®ª ¦¥¬ ­¥®¡å®¤¨¬®áâì.  áᬮâਬ á¨á⥬ã S ¢á¥å ¬­®¦¥á⢠A ⊆ R , ã ª®â®àëå¯à®®¡à § f −1 (A) ¨§¬¥à¨¬. ’ ª ª ª á¨á⥬ ¬­®¦¥áâ¢ Σ ï¢«ï¥âáï σ - «£¥¡à®© ¨f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B) ,â®S ¥áâì σ - «£¥¡à . ’ ª ª ªE(a < f < b) = f −1 ((a, b))¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î (á¬. ¢ëè¥) ¢á¥ ¬­®¦¥á⢠¢¨¤ ¨§¬¥à¨¬ë, ⮏®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ ¢áç¥â­®£® ç¨á« ¨­â¥à¢ «®¢, â®RSᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ¨­â¥à¢ «ë(a, b) .ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ­¥ ¡®«¥¥ 祬S ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ®âªàëâë¥σ - «£¥¡àë Rσ (T ) ⊆ S .ᨫ㠬¨­¨¬ «ì­®á⨠¡®à¥«¥¢áª®©14SS∞ −1f −1 ( ∞(Ai ) ,i=1 Ai ) =i=1 f¬­®¦¥á⢠.

®í⮬㠢1.4 ˆ§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨. ‘室¨¬®áâì ¯®ç⨠¢áî¤ã. áᬮâਬ ᢮©á⢠¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権. ‚­ ç «¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¨§¬¥à¨¬®áâìä㭪樨A⊆E.f­ ¬­®¦¥á⢥E¢«¥ç¥â ¨§¬¥à¨¬®áâìf„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¨§¬¥à¨¬®á⨠ä㭪樨­ ª ¦¤®¬ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢥f,§ ¤ ­­®© ­ á㬬¥ ª®­¥ç­®£®¨«¨ áç¥â­®£® ç¨á« ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥áâ¢, ¤®áâ â®ç­® ¯à®¢¥à¨âì ¥¥ ¨§¬¥à¨¬®áâì ­ ª ¦¤®¬ ¨§ íâ¨å ¬­®¦¥áâ¢.‹ ¥ ¬ ¬ . ãáâì ä㭪樨 f (x) ¨ g(x) ¨§¬¥à¨¬ë ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨ § ¤ ­ ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï F (u, v) ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥D ⊆ R2 . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® (f (x), g(x)) ∈ D ¯à¨ ¢á¥å x ∈ E . ’®£¤ äã­ªæ¨ïh(x) = F (f (x), g(x)) ¨§¬¥à¨¬ .„®ª § ⥫ìá⢮.

‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠F ¬­®¦¥á⢮ D(F < c) ï¥âáï ®âªàëâ묢 R2 . ®í⮬㠥£® ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ áç¥â­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ®âªàëâëå¯àאַ㣮«ì­¨ª®¢, ã ª®â®àëå ¢¥àè¨­ë ¨¬¥îâ à 樮­ «ì­ë¥ ª®®à¤¨­ âëD(F < c) =S∞i=1Ai ,Ai = (ai , bi ) × (ci , di ) .E((f, g) ∈ Ai ) = E(ai < f < bi ) ∩ E(ci < g < di ) ¨§¬¥à¨¬®,S∞SE(h < c) = i=1 E((f, g) ∈ Ai ) = ∞i=1 E(ai < f < bi ) ∩ E(ci < g < di )’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮⠪¦¥ ¨§¬¥à¨¬®, ¯®áª®«ìªãΣï¥âáïâ®σ - «£¥¡à®©.ˆ§ í⮩ «¥¬¬ë «¥£ª® ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権.(1). ãáâì ä㭪樨¨§¬¥à¨¬ë ­ E .

’®£¤ ¨å á㬬 f + g ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥f g ¡ã¤ãâ ¨§¬¥à¨¬ë ­ E , ç áâ­®¥ f /g ¨§¬¥à¨¬®, ¥á«¨ g(x) 6= 0 ­ E . ‘⥯¥­ì|f |p ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®© ¯à¨ ¢á¥å p > 0 .f¨g(2). ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{fn } á®á⮨⠨§ ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 ­ ¬­®¦¥á⢥E . ’®£¤ , ¥á«¨ ä㭪樨 inf fn (x) , sup fn (x) , lim fn (x) , lim fn (x) ¯à¨­¨¬ îâ ª®­¥ç­ë¥§­ 祭¨ï ­ E , â® ®­¨ ¨§¬¥à¨¬ë.

…᫨ ¯à¥¤¥« f (x) = lim fn (x) áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨¢á¥å x ∈ E , â® f ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樥©.ˆ§¬¥à¨¬®áâìsup fn (x) ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ᮮ⭮襭¨©SE(inf fn < c) = ∞sup fn (x) = − inf(−fn (x)) .i=1 E(fi < c) ,inf fn (x)’ ª ª ª ¯à¨ ¢á¥åx∈E¨á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠lim fn (x) = inf k>1 supi>k fi (x) ,lim fn (x) = supk>1 inf i>k fi (x) ,â® ¢¥àå­¨© ¨ ­¨¦­¨© ¯à¥¤¥«ë ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 ¡ã¤ãâ ¨§¬¥à¨¬ë. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â,çâ® ¯à¥¤¥«f = lim fn¡ã¤¥â â ª¦¥ ¨§¬¥à¨¬ë¬.„ «¥¥ ¬ë ¯¨è¥¬, çâ®f 6 g ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ¥á«¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮x ∈ E .

®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 {fn } á室¨âáï ª f ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ¥á«¨ f (x) = lim fn (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ E . ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権{fn } ¬®­®â®­­® á室¨âáï fn % f ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ¥á«¨ f = lim fn ­ E ¨¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­¥ ã¡ë¢ ¥â fi 6 fi+1 , i = 1, 2, . . . , ­ ¬­®¦¥á⢥ E .

€­ «®£¨ç­®®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®­®â®­­ ï á室¨¬®áâì ¢¨¤ fn & f ­ ¬­®¦¥á⢥ E .”ã­ªæ¨ï h : E → R ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩, ¥á«¨ ®­ ¨¬¥¥â ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮§­ 祭¨©. ãáâì h ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨ï cj ­ ¬­®¦¥á⢠å Cj , j = 1, 2 . . . , k . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢠Cj ¯®¯ à­® ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¨ ®¡à §ãîâ à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠E .(Pk1 , ¥á«¨ x ∈ Cj ;h(x) = j=1 cj χCj (x) ,χCj (x) +0 , ¥á«¨ x ∈/ Cj ,f (x) 6 g(x)¤«ï ¢á¥å151.4 ˆ§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨. ‘室¨¬®áâì ¯®ç⨠¢áî¤ã.£¤¥χ Cj| å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï ¬­®¦¥á⢠¨§¬¥à¨¬®©, ¥á«¨ ¢á¥ ¬­®¦¥á⢠CjCj .à®áâ ï äã­ªæ¨ïh¡ã¤¥â¨§¬¥à¨¬ë.(3). „«ï ª ¦¤®© ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨áãé¥áâ¢ã¥â¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn } ¯à®áâëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 ­ ¬­®¦¥á⢥E â ª ï, çâ® fn % f ­ E .f : E → R+„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権fn (x) +P22ni−1i=1 2nAin = E( i−16 f <2nχAin (x) + 2n χBn (x) ,i) ¨2nBn = E(f > 2n ) . â¨ ä㭪樨 ¯à®áâë¥,­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ¨ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ­ ¬­®¦¥á⢥ E .

®ª ¦¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì2i−1ä㭪権 {fn } ï¥âáï ­¥ã¡ë¢ î饩. ®áª®«ìªã Ain = An+1 t A2in+1 , â® ¬ë ¨¬¥¥¬i−12i−2ifn (x) = 2n = 2n+1 6 fn+1 (x) ¯à¨ ¢á¥å x ∈ An . „ «¥¥, â ª ª ª f (x) − fn (x) 6 21n ¯à¨¢á¥å x ∈ E(f < 2n ) , â® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì á室¨âáï ª f ­ ¬­®¦¥á⢥ E .£¤¥ ¬­®¦¥á⢠{fn } á室¨âáï ¯®ç⨠¢áî¤ã (¯.¢.)E , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¬­®¦¥á⢮ A ∈ Σ ¬¥àë ­ã«ìf (x) = lim fn (x) ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å x ∈ E \ A .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥.

®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権ª ä㭪樨µ(A) = 0 ,f­ ¬­®¦¥á⢥çâ® à ¢¥­á⢮Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§M = M (E, Σ, µ)¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 ­ E . ‚ í⮬ ¯à®áâà ­á⢥ ä㭪樨 f ¨ g ­ §ë¢ îâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨f (x) = g(x) ¯à¨ ¢á¥å x ∈ E \ A ªà®¬¥ ­¥ª®â®à®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ Σ¬¥àë ­ã«ì µ(A) = 0 . Ž¡ëç­® ¢ M íª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ä㭪樨 ®â®¦¤¥á⢫ïîâáï ¨¯à¥¤¥« f = lim fn ¯.¢. ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç­®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨.¬­®¦¥á⢥f ∼ g,¥á«¨à¥¤¥« á室ï饩áï ¯.¢. ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,­¥ ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樥©. Ž¤­ ª®, ¥á«¨ ¬¥à ¯®«­ , â® ¯à¥¤¥« ¨§¬¥à¨¬.‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¨§¬¥­ïï ¥£® ­ ¬­®¦¥á⢥ ¬¥àë ­ã«ì ¬ë ¯®«ã稬 íª¢¨¢ «¥­â­ã¬¥à¨¬ãî äã­ªæ¨î.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®áâà ­á⢮®¯¥à 樨 ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ¯.¢. ­ ¬­®¦¥á⢥ME.ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪権ä㭪樨f.{fn }ªà¨ ¯®¬®é¨ áç¥â­®£® ç¨á« ®¯¥à 権 ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï í⮬­®¦¥á⢮ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥E(f = lim fn ) =T∞ S∞ T∞k=1n=1i=nE(|fi − f | < 1/k) .‚ ¯®¤®¡­®¬ ¢¨¤¥ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¯à¥¤¥« {fn }TS∞ T∞E(∃ lim fn ) = ∞k=1n=1i,j=n E{|fi − fj | < 1/k} .¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪権…᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì á®á⮨⠨§ ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, â® ¬­®¦¥á⢮ áãé¥á⢮¢ ­¨ï¯à¥¤¥« ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬.

…᫨, ªà®¬¥ ⮣®, ¯à¥¤¥« ¨§¬¥à¨¬, â® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ªá室¨¬®á⨠ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬.{fn } á室¨âáï ¯®çâ¨ à ¢­®¬¥à­®ª ä㭪樨 f ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ­ ©¤¥âáï â ª®¥ ¨§¬¥à¨¬®¥¬­®¦¥á⢮ Aε ∈ Σ ¬¥àë µ(Aε ) < ε , çâ® ­ ¤®¯®«­¥­¨¨ E \ Aε ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ª f .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯®çâ¨ à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì ¢«¥ç¥â á室¨¬®áâì ¯.¢. â ª, ç⮯।¥« ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤­®§­ ç­® á â®ç­®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨. „¥©á⢨⥫쭮,¢®§ì¬¥¬ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¢¥«¨ç¨­ã16ε = 1/n¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬­®¦¥á⢠An¬¥àë1.4 ˆ§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨.

‘室¨¬®áâì ¯®ç⨠¢áî¤ã.Tµ(An ) < 1/n . ®« £ ï A = ni=1 An , ¬ë ¯®«ã稬 µ(A) = 0 . Žâáî¤ ¯à¥¤¥« à ¢¥­f (x) = lim fn (x) ¯à¨ ¢á¥å x ∈ E \ A .  ¬­®¦¥áâ¢ å ª®­¥ç­®© ¬¥àë á¯à ¢¥¤«¨¢®á«¥¤ãî饥 ®¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥.’ ¥ ® à ¥ ¬ (…£®à®¢). …᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 {fn } á室¨âáï¯.¢. ª ä㭪樨 f ­ ¬­®¦¥á⢥ E ª®­¥ç­®© ¬¥àë µ(E) < ∞ , â® ®­ á室¨âáﯮçâ¨ à ¢­®¬¥à­® ª f ­ ¬­®¦¥á⢥ E .„®ª § ⥫ìá⢮.

à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¬ë ¬®¦¥¬ ¨áª«îç¨âì ¨§ E ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮¬¥àë ­ã«ì â ª, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë ᢥ¤¥âáï ª á«ãç î, ª®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá室¨âáï ¢áî¤ã ª ä㭪樨 f ­ ¬­®¦¥á⢥ E . à¨ í⮬ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ¤®ª ¦¥¬¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ã⢥ত¥­¨¥.(a). „«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨­¤¥ªá¬­®¦¥á⢮ An á ¬¥à®© µ(An ) < ε , çâ® ¤«ï ¢á¥å iá¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |fi (x) − f (x)| < 1/k .n = n(k, ε) ¨ ¨§¬¥à¨¬®¥> n ¨ x ∈ Bn = E \ An„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥áâ¢TSBn + ∞E= ∞i=n E(|fi − f | < 1/k) ,n=1 Bn .F∞B1 ⊆ B2 ⊆ . . . ¨ E = n=1 Bn \ Bn−1 , â® ¨§ áç¥â­®© ¤¤¨â¨¢­®á⨠µPµ(E) = ∞n=1 (µ(Bn ) − µ(Bn−1 )) = lim µ(Bn ) .B0 + ∅ ,’ ª ª ªá«¥¤ã¥âAn = E \ Bn , ⮣¤ lim µ(An ) = 0 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨­¤¥ªán = n(k, ε) , çâ® µ(An ) < ε ¨ ¤ ­­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ¤®ª § ­®.’¥¯¥àì ¢ë¡¥à¥¬ ç¨á« nk = n(k, ε/2k ) ¨ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠Ank ¢ ᮮ⢥âá⢨¨S∞á í⨬ ã⢥ত¥­¨¥¬. ’®£¤ , ¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ Aε = k=1 Ank , ¬ë ¯®«ã稬PP∞kµ(Aε ) 6 ∞k=1 µ(Ank ) <k=1 ε/2 = ε .T∞’ ª ª ª E\Aε = k=1 Bnk , â® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠Bnk ¢ë⥪ ¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì­¥à ¢¥­á⢠|fi (x)−f (x)| < 1/k ¤«ï ¢á¥å i > nk ¨ x ∈ E\Aε .

‡­ ç¨â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ ¬­®¦¥á⢥ E \ Aε .ãáâìR . ãáâì f : E → R |­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï, § ¤ ­­ ï ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E ⊆ R . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮E(f < c) ®âªàëâ® ¢ E ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ­ ©¤¥âáï â ª®¥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ G ⊆ R ,çâ® E(f < c) = E ∩ G . ’ ª ª ª ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠¨§¬¥à¨¬ë, â® äã­ªæ¨ï fâ ª¦¥ ¨§¬¥à¨¬ .

Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â, ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ E ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ à ¨ ¬ ¥ à.  áᬮâਬ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ‹¥¡¥£ ¢á㬬ë áç¥â­®£® ç¨á« ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥áâ¢, ¯à¨ í⮬ ­ ª ¦¤®¬ ¨§ íâ¨å ¬­®¦¥áâ¢f­¥¯à¥à뢭 , â® äã­ªæ¨ï”ã­ªæ¨ïf :E→Rf¡ã¤¥â ¨§¬¥à¨¬®© ­ ¢á¥¬ ¬­®¦¥á⢥­ §ë¢ ¥âáï ¯®ç⨠­¥¯à¥à뢭®© ­ ­ ©¤¥âáï â ª®¥ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¬­®¦¥á⢮äã­ªæ¨ïfE.A嬥àëE , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0µ(Aε ) < ε , çâ® ­ ¤®¯®«­¥­¨¨ E \ A­¥¯à¥à뢭 . ’¥®à¥¬ ‹ã§¨­ (§¤¥áì ®­ ¯à¨¢®¤¨âáï ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠)ã⢥ত ¥â: äã­ªæ¨ï¨§¬¥à¨¬ ­ f¯®ç⨠­¥¯à¥à뢭 ­ E⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ fE.171.5 ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ . à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬.1.5ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ .

à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬.ãáâì § ¤ ­ áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à ¬­®¦¥áâ¢Σ¯à®áâà ­á⢠µ , ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ­¥ª®â®à®© σ - «£¥¡à¥X . „ «¥¥ (X, Σ, µ) ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬,â ª çâ® ¬­®¦¥á⢠¨§Σ ­ §ë¢ îâáï ¨§¬¥à¨¬ë¬¨.¨¦­¨© ¨­â¥£à « ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ä㭪樨 f : E → R+ à ¢¥­ ¢¥àå­¥© £à ­¨­¨¦­¨å á㬬 „ à¡ã ¯® ¢á¥¬ à §¡¨¥­¨ï¬ α = {Ai }ni=1 , Ai ∈ Σ , ¬­®¦¥á⢠ERf dµ + supα S (f, α) = supαEà¨ í⮬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯®« £ ¥¬Pni=1ai = inf x∈Ai f (x) ,ai µ(Ai ) ,0 · ∞ = 0, ¥á«¨a 6= 0 ,â®a · ∞ = ∞.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ (1). ˆ­â¥£à «®¬ ‹¥¡¥£ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ä㭪樨E∈Σ­ ¬­®¦¥á⢥f : E → R+­ §ë¢ ¥âáï ­¨¦­¨© ¨­â¥£à «REf dµ +Rf dµ .E¥®âà¨æ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï ­ §ë¢ ¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¬­®¦¥á⢥¥á«¨ ®­ ¨§¬¥à¨¬ ­ E‚ á«ãç ¥, ¥á«¨ äã­ªæ¨ïE,¨ ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ë© ¨­â¥£à «.f¨§¬¥à¨¬ ¨ ®£à ­¨ç¥­ , ¬­®¦¥á⢮¬¥àã, â® ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨­â¥£à «®¬ ¯® ¬¥à¥µ,¨¬¥¥â ª®­¥ç­ãîE®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ à ­¥¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨­â¥£à « ¬®¦­® à á¯à®áâà ­¨âì ­ ä㭪樨, ¯à¨­¨¬ î騥 ¡¥áª®­¥ç­ë¥R+ = R + t ∞ .§­ 祭¨ï ¨§E(f = ∞)„«ï ¨­â¥£à¨à㥬®© ä㭪樨¬¥à ¬­®¦¥á⢠f¤®«¦­ ¡ëâì à ¢­ ­ã«î.

Характеристики

Список файлов лекций