В.М. Фёдоров - Лекции (1128644), страница 2

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”ã­ªæ¨ïµ : 2X → R+­ §ë¢ ¥âáï ¢­¥è­¥© ¬¥à®© ¢X,¥á«¨¢ë¯®«­ïîâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:• µ(∅) = 0 ;• µ(A) > 0 ¤«ï ¢á¥å A ⊆ X ;PS∞• µ(A) 6 ∞i=1 µ(Bi ) ¤«ï ¢á¥å A ⊆i=1 Bi .®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ áç¥â­®© ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¬®¦¥â ­¥ ¢ë¯®«­ïâìáï(­ ¯à¨¬¥à, ¤«ï ª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­ëå ¬¥à). ®í⮬㠥£® § ¬¥­ïîâ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ãá«®¢¨¥¬ ª®­¥ç­®© ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®áâ¨. Š ¦¤®¥ ¨§ íâ¨å ãá«®¢¨© ¢«¥ç¥â ᢮©á⢮¬®­®â®­­®á⨠¢­¥è­¥© ¬¥àë: ¥á«¨Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥. Œ­®¦¥á⢮¬­®¦¥áâ¢A⊆XEA⊆B,â®­ §ë¢ ¥âáïµ(A) 6 µ(B) .µ -¨§¬¥à¨¬ë¬¢X,¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮µ(A) = µ(A ∩ E) + µ(A \ E) .’ ª ª ª ¯® ᢮©áâ¢ã ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¢­¥è­¥© ¬¥àë ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮µ(A) 6 µ(A∩E)+µ(A\E) , â® ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ µ -¨§¬¥à¨¬®á⨠¬­®¦¥á⢠E ¤®áâ â®ç­®ãáâ ­®¢¨âì ⮫쪮 ®¡à â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ µ(A) > µ(A ∩ E) + µ(A \ E) .

®á«¥¤­¥¥­¥à ¢¥­á⢮ ­ã¦¤ ¥âáï ¢ ¯à®¢¥àª¥ ⮫쪮 ¢ á«ãç ¥ µ(A) < ∞ .Žç¥¢¨¤­®, çâ® ∅ ¨ X ïîâáï µ -¨§¬¥à¨¬ë¬¨. …᫨ ¬­®¦¥á⢮ E ¨¬¥¥â ¢­¥è­îàã ­ã«ì µ(E) = 0 , â® ®­® µ -¨§¬¥à¨¬®. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯® ᢮©á⢠¬ ¬®­®â®­­®á⨨ ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¢­¥è­¥© ¬¥àë µ(A ∩ E) = 0 , µ(A \ E) = µ(A) .‘¨á⥬㠢á¥å µ -¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì Σµ . …᫨ ®¡®§­ ç¨âì ç¥à¥§0A + X \ A ¨ µA (B) = µ(A ∩ B) , â® ãá«®¢¨¥ µ -¨§¬¥à¨¬®á⨠E § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥µA (X) = µA (E) + µA (E 0 ) . ®í⮬㠤®¯®«­¥­¨¥ E 0 µ -¨§¬¥à¨¬® ¢¬¥á⥠á E .’ ¥ ® à ¥ ¬ (Š à ⥮¤®à¨). ãáâì µ | ¢­¥è­ïï ¬¥à ¢ X . ’®£¤ á¨á⥬ Σµ¢á¥å µ -¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï σ - «£¥¡à®©, äã­ªæ¨ï µ ¡ã¤¥â áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­®© ¬¥à®© ­ í⮩ σ - «£¥¡à¥.„®ª § ⥫ìá⢮. Ž¡®§­ 稬 ABãá«®¢¨© µ -¨§¬¥à¨¬®áâ¨, ¯®«ã稬+A∩B.ãáâìE = E1 E2 ,£¤¥E1 , E2 ∈ Σµ .ˆ§µA (X) = µA (E1 ) + µA (E10 ) = µA (E1 E2 ) + µA (E1 E20 ) + µA (E10 ) ,µA (E) + µA (E 0 ) = µA (E) + µA (E 0 E1 ) + µA (E 0 E10 ) .E 0 = E10 ∪ E20 , §­ ç¨â E 0 E1 = E1 E20 ¨ E 0 E10 = E10 .

Žâáî¤ «¥¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥­áâ¢á®¢¯ ¤ îâ, â ª çâ® E ∈ Σµ . „ «¥¥, ¯®áª®«ìªã E1 ∪ E2 = (E10 E20 )0 ¨ E1 \ E2 = E1 E20 ,â® E1 ∪ E2 ∈ Σµ ¨ E1 \ E1 ∈ Σµ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¨á⥬ Σµ ¥áâì «£¥¡à .ãáâì E = E1 tE2 , £¤¥ E1 , E2 ∈ Σµ . ‡ ¬¥­¨¬ A ­ AE ¢ ãá«®¢¨¨ µ -¨§¬¥à¨¬®á⨵A (X) = µA (E1 ) + µA (E10 ) , ⮣¤ ¯®«ã稬 µA (E) = µA (E1 ) + µA (E2 ) . ˆâ ª, äã­ªæ¨ï®61.2 ’¥®à¥¬ Š à ⥮¤®à¨.

à®¤®«¦¥­¨¥ ¬¥àë ¯® ‹¥¡¥£ã.PnµA ¤¤¨â¨¢­ .Žâáî¤ ¯® ¨­¤ãªæ¨¨ ¯à¨ ¢á¥å n ¨¬¥¥¬ µA (E) =i=1 µA (Ei ) , ¥á«¨FnE = i=1 Ei ¨ Ei ∈ ΣµF. ‡­ ç¨â äã­ªæ¨ïFn µA ª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­ ­ á¨á⥬¥ Σµ .∞ãáâì ⥯¥àì E =E¨F=ni=1 ii=1 Ei , £¤¥ Ei ∈ Σµ . ’®£¤ ¯® ¤®ª § ­­®¬ã¬­®¦¥á⢠Fn ¡ã¤ãâ µ -¨§¬¥à¨¬ë. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨¬¥­ïï ª®­¥ç­ãî ¤¤¨â¨¢­®áâì¨ ¬®­®â®­­®áâì ä㭪樨 µA , ¬ë ¨¬¥¥¬PµA (X) = µA (Fn ) + µA (Fn0 ) > ni=1 µA (Ei ) + µA (E 0 ) .¥à¥å®¤ï §¤¥áì ª ¯à¥¤¥«ãn→∞¨ ¯à¨¬¥­ïï ᢮©á⢮ áç¥â­®© ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®áâ¨,¬ë ¯®«ã稬 ­¥à ¢¥­á⢠µA (X) >P∞i=1µA (Ei ) + µA (E 0 ) > µA (E) + µA (E 0 ) > µA (X) .µA (X) = µA (E)+µA (E 0 ) .

® ⮣¤ E ∈PΣµ . ‡ ¬¥­ïï∞¢ 㪠§ ­­ëå ¢ëè¥ ­¥à ¢¥­á⢠å A ­ AE , ¬ë ¯®«ã稬 µA (E) =n=1 µA (En ) .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï µA áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ­ σ - «£¥¡à¥ Σµ .®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. …᫨ ¢­¥è­ïï ¬¥à â.¥.µµ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î áç¥â­®© ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®áâ¨,| ª®­¥ç­® ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­ ï ¢­¥è­ïï ¬¥à , â® ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६뢨¤­®, çâ® á¨á⥬ µ -¨§¬¥à¨¬ë嬭®¦¥áâ¢Σµï¢«ï¥âáï «£¥¡à®©, äã­ªæ¨ïµ| ª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­®© ¬¥à®© ­ í⮩ «£¥¡à¥. áᬮâਬ ¬¥â®¤ ¯®áâ஥­¨ï ¢­¥è­¥© ¬¥àë, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¯à¨¬¥­ïâìáï ¢ ª®­ªà¥â­ëåá¨âã æ¨ïå.

ãáâìm| áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à , ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ¯®«ãª®«ì楬­®¦¥á⢠¯à®áâà ­á⢠⠪¦¥ ç¥à¥§X . …¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ­ ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ª®«ìæ® R(S)S®¡®§­ ç ¥âáïm.‚­¥è­¥© ¬¥à®© ‹¥¡¥£ ­ §ë¢ ¥âáï äã­ªæ¨ï¬­®¦¥á⢠A ⊆ X ¯® ä®à¬ã«¥m∗ ,µ(A) = m∗ (A) + inf A⊆S∞i=1 Bi®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ᮢ®ªã¯­®áâ¨P∞i=1m(Bi ) .‡¤¥áì ­¨¦­ïï £à ­ì ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬ ¯®ªàëâ¨ï¬ ¬­®¦¥á⢠A⊆S∞i=1 Bi ,Bi ∈ S . …᫨ ¬­®¦¥á⢮ A ­¥ ¤®¯ã᪠¥ââ ª®£® ¯®ªàëâ¨ï, â® ¬ë ¯®« £ ¥¬ µ(A) = ∞ . Ÿá­®, çâ® äã­ªæ¨ï µ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ¨ µ(∅) = 0 . ®ª ¦¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï µ = m∗ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î áç¥â­®©á®áâ®ï騬 ¨§ áç¥â­®£® ç¨á« í«¥¬¥­â®¢¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®áâ¨.(1). …᫨A⊆S∞i=1Bi ,â®m∗ (A) 6P∞i=1m∗ (Bi ) .Ai ¨¬¥¥â ¢­¥è­îî ¬¥àã m∗ (Ai ) = ∞ , â® ã⢥ত¥­¨¥®ç¥¢¨¤­®.

…᫨ ¢á¥ m∗ (Ai ) < ∞ , â® ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«®Sε > 0 ¨ ¢ë¡¥à¥¬ áç¥â­ë¥ ¯®ªàëâ¨ï ¬­®¦¥á⢠Bi ⊆ ∞j=1 Bij â ª, çâ®P∞S S∞∗iA⊆ ∞j=1 m(Bij ) 6 m (Bi ) + ε/2 ,i=1i=1 Bij .…᫨ ®¤­® ¨§ ¬­®¦¥á⢣¤¥Bij ∈ S .’ ª ª ªε>0(2). …᫨m∗ ¯®«ã稬P P∞P∞∗m∗ (A) 6 ∞i=1j=1 m(Bij ) 6i=1 m (Bi ) + ε .’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ä㭪樨¯à®¨§¢®«ì­®, ⮠᢮©á⢮ (1) ¤®ª § ­®.A ∈ R(S) ,’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮â®m∗ (A) 6 m(A) .â®m∗ (A) = m(A) .A ∈ R(S)ï¥âáï ª®­¥ç­®© á㬬®© í«¥¬¥­â®¢ ¯®«ãª®«ìæ ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨áç¥â­®© ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë’ ª¨¬ ®¡à §®¬,m∗ (A) = m(A) .mA⊆S∞i=1 Bi ,£¤¥¢ë⥪ ¥â ­¥à ¢¥­á⢮S,Bi ∈ S , â®P¨§ ᢮©á⢠∞m(A) 6i=1 m(Bi ) .71.2 ’¥®à¥¬ Š à ⥮¤®à¨.

à®¤®«¦¥­¨¥ ¬¥àë ¯® ‹¥¡¥£ã.’ ¥ ® à ¥ ¬ . ãáâì| áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à , ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ¯®«ãª®«ìæ¥ S ,¨ µ = m . ’®£¤ á¨á⥬ Σµ ¢á¥å µ -¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï σ - «£¥¡à®©, áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à µ , ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ í⮩ σ - «£¥¡à¥, ¡ã¤¥â ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬¬¥àë m .m∗„®ª § ⥫ìá⢮. ® ᢮©áâ¢ã (1) äã­ªæ¨ï µ = m∗ ï¥âáï ¢­¥è­¥© ¬¥à®©.®í⮬㠯® ⥮६¥ Š à ⥮¤®à¨ á¨á⥬ Σµ ¥áâì σ - «£¥¡à , äã­ªæ¨ï µ ï¥âáïáç¥â­® ¤¤¨â¨¢­®© ¬¥à®© ­ í⮩ σ - «£¥¡à¥. „®ª ¦¥¬ ¢ª«î祭¨¥ R(S) ⊆ Σµ . ãáâìµ(A) < ∞ ¨ E ∈ S .

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢­¥è­¥© ¬¥àë ‹¥¡¥£ ¤«ï «î¡®£® ε > 0­ ©¤ãâáï â ª¨¥ Bi ∈ S , çâ®P∞j=1m(Bi ) 6 µ(A) + ε ,à¨¬¥­ïï ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®áâì ¨ ¬®­®â®­­®áâìA⊆B+µ,S∞j=1Bi .¯®«ã稬µ(A) 6 µ(A ∩ E) + µ(A \ E) 6 µ(B ∩ E) + µ(B \ E) 6P∞P∞P∞i=1 m(Bi ∩ E) +i=1 m(Bi \ E) =i=1 m(Bi ) < µ(A) + ε .’ ª ª ª¯à®¨§¢®«ì­®, â® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ε>0µ(A) = µ(A ∩ E) + µ(A \ E) .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ E ï¥âáï µ -¨§¬¥à¨¬ë¬. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â ¢ª«î祭¨¥R(S) ⊆ Σµ .

®áª®«ìªã ¯® ᢮©áâ¢ã (2) µ(A) = m(A) ¤«ï ¢á¥å A ∈ R(S) , â® ¬¥à µ , ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ Σµ , ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ ¬¥àë m .(3). …᫨A⊆B¨A ⊆ X , ⮵(A) = µ(B) .Œ­®¦¥á⢮B­ §ë¢ ¥âá﨧¬¥à¨¬®© ®¡®«®çª®©â ª¨¥Bij ∈ S ,áãé¥áâ¢ã¥âAµ -¨§¬¥à¨¬®¥¬­®¦¥á⢮B ∈ Σµâ ª®¥, ç⮵ -¨§¬¥à¨¬®© ®¡®«®çª®© A . …᫨ µ(A) = ∞ , â® µ X . ˆ­ ç¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢­¥è­¥© ¬¥àë ­ ©¤ãâáï¡ã¤¥âçâ®P∞Sm(Bij ) 6 µ(A) + 1/i , A ⊆ Bi + ∞j=1 Bij .TB+ ∞i=1 Bi µ -¨§¬¥à¨¬®.

ˆ§ ᢮©á⢠¬®­®â®­­®á⨠¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ïj=1’®£¤ ¬­®¦¥á⢮¢­¥è­¥© ¬¥àë ¢ë⥪ ¥âµ(B) 6 µ(Bi ) 6P∞j=1m(Bij ) 6 µ(A) + 1/i .i = 1, 2, . . . . ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã i → ∞ , ¯®«ã稬 ­¥à ¢¥­á⢮ µ(B) 6µ(A) . ’ ª ª ª A ⊆ B , â® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ µ(A) = µ(B) . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨¬­®¦¥á⢮ A ï¥âáï µ -¨§¬¥à¨¬ë¬, â® A = B \ F , £¤¥ µ(F ) = 0 .¯à¨ ¢á¥å áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ ¯®«ãª®«ìæ®S ᮤ¥à¦¨â ¥¤¨­¨æã X ∈ S , â.¥. ï¥âáïµ -¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠¬®¦­® § ¬¥­¨â쯮«ã «£¥¡à®©. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¡®«¥¥ ¯à®áâë¬.

„«ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ¥é¥ ¢­ãâ७­îî ¬¥à㠋¥¡¥£ m∗ (A) + m(X) − m∗ (A0 ) .Œ­®¦¥á⢮¢­ãâ७­¥©E ­ §ë¢ ¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯® ‹¥¡¥£ã, ¥á«¨ ¢­¥è­ïï ¬¥à ᮢ¯ ¤ ¥âm∗ (E) = m∗ (E) , çâ® à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ã m(X) = m∗ (E) + m∗ (E 0 ) .‹ ¥ ¬ ¬ . ãáâì áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à m∗ .

Œ­®¦¥á⢮µ -¨§¬¥à¨¬ë¬.8ám ®¯à¥¤¥«¥­ ­ ¯®«ã «£¥¡à¥ S ¨ µ =¨§¬¥à¨¬® ¯® ‹¥¡¥£ã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­® ï¥âáï1.2 ’¥®à¥¬ Š à ⥮¤®à¨. à®¤®«¦¥­¨¥ ¬¥àë ¯® ‹¥¡¥£ã.„®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ ¬­®¦¥á⢮, ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯® ‹¥¡¥£ã,ï¥âáï µ -¨§¬¥à¨¬ë¬, ¯®áª®«ìªã ®¡à â­®¥ ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ¨§¬¥à¨¬®¯® ‹¥¡¥£ã ¨ B , C ∈ Σµ ¥áâì µ -¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¡®«®çª¨ ¬­®¦¥á⢠E ¨ E 0 ᮮ⢥âá⢥­­®.’®£¤ E ⊆ B , E 0 ⊆ C , B ∪ C = X ¨ ¢ ᨫ㠤¤¨â¨¢­®á⨠µ ­ á¨á⥬¥ Σµ ¯®«ã稬µ(B ∩ C) = µ(B) + µ(C) − µ(B ∪ C) = m∗ (E) − m∗ (E) = 0 .’ ª ª ªB \ E ⊆ B ∩ C , â® µ(B \ E) = 0 .

Žâáî¤ ¬­®¦¥á⢮ B \ E µ -¨§¬¥à¨¬®.E = B \ (B \ E) â ª¦¥ ¡ã¤¥â µ -¨§¬¥à¨¬ë¬.®í⮬㠬­®¦¥á⢮ à ¨ ¬ ¥ à. Œ¥à ‹¥¡¥£ ¢ R . ãáâì ¯®«ãª®«ìæ® S á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢R (®â१ª¨, ¨­â¥à¢ «ë, ¯®«ã¨­â¥à¢ «ë), áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ï ¬¥à à ¢­ m(ha, bi) =b − a ¤«¨­¥ ¯à®¬¥¦ã⪠ha, bi . ’®£¤ ¢­¥è­îî ¬¥à㠋¥¡¥£ m∗ 㤮¡­® ®¯à¥¤¥«ïâì,¨á¯®«ì§ãï ⮫쪮 ¨­â¥à¢ «ëµ(A) = m∗ (A) + inf A⊆S∞i=1 (ai ,bi )P∞i=1 (bi− ai ) .σ - «£¥¡à¥ Σµ , ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥à®© ‹¥¡¥£ . ®áª®«ìªã ª ¦¤®¥®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ ¢ R ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ­¥ ¡®«¥¥, 祬 áç¥â­®£® ç¨á« ¨­â¥à¢ «®¢, â® ®­® ¡ã¤¥â µ -¨§¬¥à¨¬ë¬.

’ ª ª ª § ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥á⢠ïîâá冷¯®«­¥­¨ï¬¨ ª ®âªàëâë¬, â® ®­¨ â ª¦¥ µ -¨§¬¥à¨¬ë.€­ «®£¨ç­® ¯®áâ஥­¨î ¨§¬¥à¨¬®© ®¡®«®çª¨, ª ¦¤®¥ ¬­®¦¥á⢮ A ⊆ R ª®­¥ç­®©¬¥àë µ(A) < ∞ ¤®¯ã᪠¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ A = B \ F , £¤¥TSA⊆B= ∞Bi = ∞i=1 Bi ,j=1 (aij , bij ) ,Œ¥à Biµ,§ ¤ ­­ ï ­ | ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠¨m∗ (A) = lim i→∞ µ(Bi ) . ®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ïä®à¬ã« ¤«ï ¢­¥è­¥© ¬¥àë ‹¥¡¥£ m∗ (A) + inf B⊇A µ(B) ,£¤¥ ­¨¦­ïï £à ­ì ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ®âªàëâë¬ ¬­®¦¥á⢠¬X = [a, b] ,¤«ï ¢á¥åA⊆XB ⊇ A.®« £ ï ¤ «¥¥¯®«ã稬 à ¢¥­á⢠m(X) − m∗ (A0 ) = inf B⊇A0 (µ(X) − µ(B)) = supB 0 ⊆A µ(B 0 ) .Žâªã¤ á«¥¤ã¥â ä®à¬ã« ¤«ï ¢­ãâ७­¥© ¬¥àë ‹¥¡¥£ m∗ (A) + supC⊆A µ(C) ,C ⊆ A .

’ ª ª ª ¤«ïm∗ (E) = m∗ (E) , â® ¨§ 㪠§ ­­ëå ä®à¬ã« ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩ªà¨â¥à¨© ¨§¬¥à¨¬®áâ¨: ¬­®¦¥á⢮ E ¨§¬¥à¨¬® ¯® ‹¥¡¥£ã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬­®¦¥á⢠C ⊆ E ⊆ B , çâ® µ(B \ C) < ε , £¤¥B | ®âªàëâ® ¨ C | § ¬ª­ãâ®.£¤¥ ¢¥àå­ïï £à ­ì ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ § ¬ª­ãâë¬ ¬­®¦¥á⢠¬¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥áâ¢91.3 à®¤®«¦¥­¨¥ ¬¥àë ¯® †®à¤ ­ã. ˆ­â¥£à « ¯® ¬¥à¥.1.3à®¤®«¦¥­¨¥ ¬¥àë ¯® †®à¤ ­ã. ˆ­â¥£à « ¯® ¬¥à¥. áᬮâਬ ¬¥â®¤ ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥à ¯® †®à¤ ­ã. ãáâì ¬¥à m ®¯à¥¤¥«¥­ ­ X . …¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ­ ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ª®«ìæ®R(S) ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì â ª¦¥ ç¥à¥§ m .‚­¥è­¥© ¨ ¢­ãâ७­¥© ¬¥à®© †®à¤ ­ ­ §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥­­® ä㭪樨 me¨ mi , ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ­ ᮢ®ªã¯­®á⨠¢á¥å ¬­®¦¥á⢠A ⊆ X ä®à¬ã« ¬¨¯®«ã «£¥¡à¥¬­®¦¥á⢠¯à®áâà ­á⢠Sν(A) = me (A) + inf B⊇A m(B) ,mi (A) + supB⊆A m(B) .‡¤¥áì ­¨¦­ïï ¨ ¢¥àå­ïï £à ­ì ¡¥à¥âáï ¯® ¬­®¦¥á⢠¬­ §ë¢ ¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯® †®à¤ ­ã, ¥á«¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®B ∈ R(S) .

Œ­®¦¥á⢮ Eà ¢¥­á⢮ me (E) = mi (E) .Žâ¬¥â¨¬ á«¥¤ãî騥 ¯à®áâë¥ á¢®©á⢠¢­¥è­¥© ¬¥àë †®à¤ ­ .(1). …᫨A⊆Sni=1Bi ,â®me (A) 6Pni=1me (Bi ) .Bi ⊆ CSi , £¤¥ Ci ∈ R(S) â ª¨¥ ¬­®¦¥á⢠, çâ® m(Ci ) < me (Bi )+ε/2i .n’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ C = i=1 Ci ¡ã¤¥â ¯à¨­ ¤«¥¦ âì ª®«ìæã R(S) . ®í⮬ã, ¯à¨¬¥­ïï᢮©á⢮ ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë m , ¯®«ã稬PPme (A) 6 m(C) 6 ni=1 m(Ci ) < ni=1 me (Bi ) + ε .ãáâìε>0’ ª ª ªε>0(2).

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