А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций пофункциональному анализуЛектор — Анатолий Михайлович СтёпинIII курс, 5 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.4.Гильбертовы пространства1.1. Операторы в гильбертовых пространствах .

. . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Основное понятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Лемма об ортогональной проекции и её следствия . . . . . . . . . .1.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве1.1.5. Ортонормированные системы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Спектральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Лемма об отображении спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Спектральный радиус оператора и его оценка сверху . .

. . . . . .1.2.3. Общий вид функционала на пространстве непрерывных функций1.2.4. Доказательство спектральной теоремы . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................................................................5555566888910Компактные операторы2.1. Компактные операторы в банаховых пространствах . .

. .2.1.1. Определение и свойства компактных операторов .2.1.2. Слабая сходимость и слабая компактность . . . . .2.1.3. Классификация точек спектра . . . . . . . . . . . .2.1.4. Сохранение непрерывного спектра при компактном2.2. Компактные операторы в гильбертовых пространствах . .2.2.1. Теорема Гильберта – Шмидта .

. . . . . . . . . . . .2.2.2. Интегральные операторы Гильберта – Шмидта . . .........................................................................................................................101010121313141416. . . . . . . .. . . .

. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .возмущении. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .Метрические и топологические пространства3.1. Топологические пространства. Компактность . . . . . . . . . . . .3.1.1. Понятие топологии. Открытые и замкнутые множества .3.1.2. Компактность. Критерии компактности . . . . . . . . . . .3.2.

Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Определение метрического пространства . . . . . . . . . .3.2.2. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Теорема о пополнении метрических пространств . . . . . .3.2.4. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра о категориях3.2.5. Компактные метрические пространства . . .

. . . . . . . ..........................................................................................................................................................17171717191919202021Нормированные и банаховы пространства4.1. Линейные функционалы и операторы . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .4.1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Спектр оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Непустота спектра ограниченного оператора . .

. . . . . . . . .4.1.4. Теорема Хана – Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре . . . . . . . . . . . . . . .4.1.6. Лемма о продолжении функционала . . . . . . . . . . . . . .

. .4.1.7. Критерий конечномерности пространства . . . . . . . . . . . . .4.1.8. Теорема Банаха – Штейнгауза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.9. Пространство ограниченных операторов . . . . . . . . . . . . .4.1.10. Теорема Банаха об обратном операторе . . . . . . . . . . . .

. .4.1.11. Устойчивость обратимости оператора при малых возмущениях4.1.12. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах . . . .4.1.13. Отступление про неограниченные операторы . . . . . . . . . . .4.1.14. О графиках операторов . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Сопряжённые пространства и операторы . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Определение сопряжённого оператора . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2. Компактность оператора, сопряжённого к компактному . . . .4.3. Теория Фредгольма в банаховых пространствах . . .

. . . . . . . . . .4.3.1. Вспомогательные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3. Альтернатива Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................22222222222324242424252626282828282829303031342..................4.3.4.5.Частный случай: гильбертовы пространства .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Приложение5.1. Service Pack 1 (Миша Берштейн, Миша Левин) .5.2. Service Pack 2 (Юра Малыхин) . . . . . . . . . .5.2.1. Теорема Хана – Банаха . . . . . . . . . . .5.2.2. Спектральная теорема . . . . . . . . . . .5.2.3. Теорема Ф. Рисса . . . .

. . . . . . . . . .5.2.4. Теорема о компактном возмущении . . .5.3. Полезные утверждения, примеры, факты . . . .5.3.1. К теореме Банаха – Штейнгауза . . . . .5.3.2. К теореме Банаха об обратном операторе5.3.3. Сопряжённый аналог ТБШ . . . . . . . .5.4. Service Pack 3 (Юра Притыкин) . .

. . . . . . . .3...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34343435353536363737373738ВведениеПредисловиеВидишь, в этих строкахГде-то спрятан обманА тут — сто теорем —Разыщи-ка его. .

.А когда надоест,Забей на функан,Ботай дифгем,Ботай дифгем,Ботай дифгем. . .Убедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайте авторамна dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящеевремя самих авторов. Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению.В этой версии исправлено ещё несколько опечаток, а также устранена неточность в следствии теоремыРисса – Фишера.

Также просим всех читателей обратить внимание на приложение к лекциям. В нём вы найдётемного интересного.Слова благодарностиОгромное спасибо Юре Малыхину за обнаружение опечаток и устранение дефектов в доказательствах. В настоящее время от его многочисленных пакетов исправлений осталось не так уж много, а это весьма позитивно.Почти все поправки от Миши Малинина была успешно внесены в документ.

Его решение задачи про сжимающие отображения выиграло конкурс и было помещено в текст. Также добавлено решение задачи про вложенныешары, присланное Митей Гусевым. Исправлена неточность в определении гильбертова пространства, замеченная Колей Масловым.Отдельная благодарность выносится Юре Притыкину за просвещение в области компактных операторов,Илье Питерскому за многочисленные замечания и поиск опечаток, а также Мише Берштейну и Мише Левинуза одну очень полезную лемму.Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения◦1 Следуя [1], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов.

Так,Int A — множество внутренних точек множества A, Cl A — замыкание множества A.2◦ Область определения будем обозначать символом Dom (от английского domain).3◦ Пространства функций обозначаются жирными буквами: VB — функции ограниченной вариации, C —непрерывные, B — ограниченные.4◦ Пространства операторов и линейных функционалов мы иногда будем обозначать буквами вида A , B, C .Список литературы приведён здесь не случайно.

Без этих книжек лекции были бы сборником ошибочносформулированных и (не)доказанных теорем.Литература[1][2][3][4][5][6]В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. — М.: Наука, 1977.А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.Э. Б. Винберг. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2002.А. А. Кириллов, А.

Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988.И. М. Глазман. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. — М.: Физматгиз, 1963.[7] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Физматгиз,1963.Последняя компиляция: 2 апреля 2010 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.451.1.1. Основное понятие1. Гильбертовы пространства1.1. Операторы в гильбертовых пространствах1.1.1. Основное понятиеОпределение. Гильбертовым пространством называется бесконечномерноеевклидово пространство, полpное относительно нормы, задаваемой скалярным произведением: kxk := (x, x). Его мы обычно будем обозначать буквой H.Задача 1.1. Проверить, что так заданная норма удовлетворяет всем аксиомам нормы.1.1.2.

Сопряжённые операторыОпределение. Пусть A — ограниченный оператор в H. Если оператор B таков, что (Ax, y) = (x, By)для всех x, y ∈ H, то B называется сопряжённым к A и обозначается A∗ . Если A = A∗ , то A называетсясамосопряжённым.Замечание. Существование оператора, сопряжённого к ограниченному, будет доказано позже.Отношение сопряжённости является симметричным: если B сопряжён к A, то A сопряжён к B. Действительно, имеем(Ax, y) = (x, By) ⇔ (Ax, y) = (x, By) ⇔ (By, x) = (y, Ax),а это и означает, что оператор A сопряжён к B.Утверждение 1.1. Имеет место соотношение (A∗ )∗ = A.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций