А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По определению имеем для всех x, y((Ax, y) = (x, A∗ y),⇒ Ax, y = (A∗ )∗ x, y ⇔∗ ∗∗(A ) x, y = x, A y ;(A − (A∗ )∗ )x, y = 0,но из невырожденности скалярного произведения следует A − (A∗ )∗ x = 0 для всех x, поэтому A = (A∗ )∗ . Утверждение 1.2. Оператор A∗ A является самосопряжённым. Имеем (ABx, y) = (Bx, A∗ y) = (x, B ∗ A∗ y), откуда (AB)∗ = B ∗ A∗ . Поэтому (A∗ A)∗ = A∗ (A∗ )∗ = A∗ A. 2Лемма 1.3 (Фундаментальное равенство).
Имеет место равенство kA∗ Ak = kAk .22 Покажем, что kA∗ k = kAk. Действительно, kAxk = (Ax, Ax) = (A∗ Ax, x) 6 kA∗ Ak · kxk по неравенствуКоши – Буняковского. Перейдём к верхней грани по kxk = 1, получим kAk2 6 kA∗ Ak 6 kA∗ k · kAk, откудаkAk 6 kA∗ k. Меняя в этих выкладках местами операторы A и A∗ , получаем обратное неравенство.22Рассмотрим kAxk = (Ax, Ax) = (A∗ Ax, x) 6 kA∗ Ak · kxk . Снова переходя к верхней грани по kxk = 1,получим kAk2 6 kA∗ Ak 6 kA∗ k · kAk = kAk2 . Значит, на самом деле, тут всюду равенства.
1.1.3. Лемма об ортогональной проекции и её следствияЛемма 1.4 (Об ортогональной проекции). Пусть H0 — замкнутое подпространство в H. Тогда длялюбого вектора h ∈ H r H0 найдётся единственный ближайший вектор из H0 . Имеем ρ(h, H0 ) =: a > 0 в силу того, что одно из этих множеств замкнуто, а второе компактно.
Выберемпоследовательность {hn } ⊂ H0 так, чтобы ρ(hn , h) → a при n → ∞. Покажем, что {hn } фундаментальна.Нам понадобится тождество параллелограмма: «сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суммеквадратов его сторон». В силу этого тождества для достаточно больших n и m получаем2hn + hm 222 6 2(a2 + ε) + 2(a2 + ε) − 4a2 = 4ε,khn − hm k = 2 kh − hn k + 2 kh − hm k − 4 h −2и тем самым фундаментальность установлена.Далее, H0 — замкнутое подпространство полного пространства, и потому оно полно.
Следовательно, {hn }сходится к некоторому элементу h0 ∈ H0 . По непрерывности имеем ρ(hn , h) → ρ(h0 , h). С другой стороны, этотпредел равен a в силу выбора hn . Следовательно, ρ(h0 , h) = a. Следствие 1.1. Пусть H0 ⊂ H — замкнутое подпространство. Всякий вектор h ∈ H представим в видеh = h0 + g, где h0 ∈ H0 , а g ∈ H0⊥ .2 Пусть x ∈ H0 . По лемме, функция d(x) := kh − xk достигает минимума на некотором векторе h0 ∈ H0 .2Поэтому функция ϕ(t) := kh − h0 + txk имеет минимум при t = 0. Тогда ϕ′ (0) = 0. Распишем скалярный561.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве2квадрат: ϕ(t) = (h− h0 + tx, h− h0 + tx) = kh − h0 k + 2t Re(x, h− h0 )+ t2 (x, x), поэтому ϕ′ (0) = 2 Re(x, h− h0 ) = 0.Далее, вместо вектора x рассматривая вектор i · x, получаем Im(x, h − h0 ) = 0.
Следовательно, (x, h − h0 ) = 0.Таким образом, всякий вектор x ∈ H0 ортогонален вектору h−h0 , то есть h−h0 ∈ H0⊥ . Тождество h = h0 +(h−h0 ),очевидно, является искомым разложением. 1.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространствеЛемма 1.5 (Рисса).
Пусть f — ограниченный функционал. Тогда найдётся вектор h0 ∈ H, для которогоf (x) = (x, h0 ). Если f ≡ 0, то доказывать нечего: берём h0 := 0. Пусть теперь f 6= 0. Очевидно, ядро K := Ker f —замкнутое подпространство. Покажем, что dim K ⊥ = 1. Рассмотрим ненулевые вектора h1 , h2 ∈ K ⊥ . Рассмотримвекторv = f (h1 )h2 − f (h2 )h1 .С одной стороны, v ∈ K ⊥ как линейная комбинация векторов из K ⊥ .
С другой стороны, он лежит и в K,потому что f (v) = f (h1 )f (h2 ) − f (h2 )f (h1 ) = 0. Но K ∩ K ⊥ = 0, поэтому v = 0, следовательно вектора h1 и h2пропорциональны.Рассмотрим уравнение f (x) = (x, µh1 ), где µ — неизвестное. Определим его, подставив x = h1 : получимF (h1 ) = µ(h1 , h1 ). Итак, µ найдено. Тогда для всякого x ∈ K ⊥ имеем f (x) = (x, µh1 ). В самом деле, x = λh1 ,поэтомуf (x) = f (λh1 ) = λf (h1 ) = λ(h1 , µh1 ) = (λh1 , µh1 ) = (x, µh1 ).Аналогично, если x ∈ K, то равенство тоже верно: и слева, и справа получаем ноль.
Но поскольку H = K ⊕ K ⊥ ,по следствию из леммы об ортогональной проекции это верно и на всём пространстве. Утверждение 1.6. Сопряжённый оператор существует. Пусть A — ограниченный линейный оператор в H. Зафиксируем y ∈ H и рассмотрим функционалf (x) := (Ax, y). Линейность его очевидна, а ограниченность следует из неравенства Коши – Буняковского:|(Ax, y)| 6 kAxk · kyk 6 kAk · kyk · kxk .По лемме Рисса получаем f (x) = (x, A∗ y), где A∗ y — обозначение для сопряжённого оператора, применённогок вектору y.Проверим корректность определения. Пусть мы получили таким способом два вектора v1 и v2 . Для них имеем(Ax, y) = (x, v1 ) = (x, v2 ), причём это верно для любого x. Таким образом, для всех x имеем (x, v1 − v2 ) = 0.Подставим x = v1 − v2 , получим (v1 − v2 , v1 − v2 ) = 0, откуда v1 = v2 .Очевидно, что получаемый таким способом оператор будет линейным.
Контрольный вопрос: а нужно лидоказывать его ограниченность? 1.1.5. Ортонормированные системыОпределение. ОНС называется полной, если её линейная оболочка всюду плотна в H.Определение. Пусть {en } — ОНС в H. Наилучшим приближением вектора x ∈ H по системе {en } порядка N называется числоNXαk ek .EN (x) := inf x −αkk=1Теорема 1.7. Пусть {en } — ОНС в H. Тогда наилучшее приближение порядка N равноNXEN (x) = x −(x, ek )ek .k=1Положим ck = (x, ek ).
В силу ортонормированности системы имеемNNNNNNN2 XXXXXXX22 !222αk ek = x −αk ek , x −αk ek = kxk − 2 Reα k ck +|αk | = kxk +|αk − ck | −|ck | .x −k=1k=1k=1k=1k=1k=1k=1Проверка равенства, отмеченного знаком «!», предоставляется читателю. Из этой формулы видно, что выражение достигнет своего минимума, когда станет нулём второе слагаемое в последнем выражении. А это будет вточности тогда, когда αk = ck . 671.1.5. Ортонормированные системыСледствие 1.2 (Неравенство Бесселя).∞Xk=122|(x, ek )| 6 kxk . Для конечных сумм это неравенство верно в силу только что доказанной теоремы, поскольку наилучшееприближение неотрицательно, иNX2EN(x) +|(x, ek )|2 = kxk2 .k=1Ясно, что при переходе к пределу неравенство не испортится.
Теорема 1.8 (Рисса – Фишера). Пусть H — гильбертово пространство, {ek } — ОНС в нём, и (ck ) ∈ ℓ2 .Тогда существует h ∈ H, для которого (h, ek ) = ck . Иными словами, существует вектор с предписаннымикоэффициентами Фурье из ℓ2 .nPP Поищем h в виде суммы рядаck ek и покажем, что этот ряд сходится. Рассмотрим hn :=ck e k .k=1Проверим фундаментальность последовательности {hn }.
Пусть m > n, тогда!mmmXXX!ck e k =|ck |2 → 0khm − hn k2 =ck e k ,k=n+1k=n+1k=n+1при m, n → ∞ как кусок хвоста сходящегося ряда (ведь (ck ) ∈ ℓ2 ). Равенство, отмеченное «!», следует из ортонормированности системы {en }. В силу полноты пространства, последовательность hn сходится к некоторомувектору h ∈ H. То, что вектор h имеет нужные коэффициенты Фурье, очевидно. Утверждение 1.9 (Равенство Парсеваля). Пусть {en } — полная ОНС в гильбертовом пространствеH, а ck := (h, ek ). ТогдаX2khk =|cn |2 .(1)В силу непрерывности скалярного произведения и ортонормированности {en } получаем(h, h) = lim(hn , hn ) = limnnnXk=1|ck |2 =X|ck |2 .(2)Задача 1.2. Доказать, что если {en } — полная ортонормированная система, то вектор h в теоремеРисса – Фишера единствен.Решение.
Пусть нашлись два вектора с одинаковыми коэффициентами Фурье. Их разность, очевидно, имеетнулевые коэффициенты Фурье. Но такой вектор может быть только нулём в силу равенства Парсеваля. Значит,на самом деле векторы равны. Теорема 1.10. В сепарабельном евклидовом пространстве H существует полная ортонормированная система. Пусть последовательность {hi } такова, что Cl {hi } = H.
Можно считать, что все hi отличны от нуля.Возьмём e1 := khh11 k . Если he1 i = H, то ПОНС найдена. В противном случае найдётся ещё один вектор из счётноговсюду плотного множества (без ограничения общности это h2 ) такой, что h2 ∈/ he1 i. Если уже выбрано (n − 1)взаимно ортогональных векторов {e1 , . . . , en−1 } единичной длины, и hn ∈/ he1 , . . . , en−1 i, то найдём единичныйвектор en ∈ he1 , . . . , en−1 ; hn i такой, что en ⊥ he1 , . . . , en−1 i. Поищем его в видеen = λ1 e1 + λ2 e2 + . .
. + λn−1 en−1 + hn .Домножая это равенство скалярно на e1 , . . . , en−1 , получаем систему уравнений на λi :0 = (en , ei ) = λi (ei , ei ) + (hn , ei ) = λi + (hn , ei ),i = 1, . . . , n − 1.Решая её и нормируя полученный вектор en , добавляем его в базис. Если пространство бесконечномерно, этотпроцесс никогда не оборвётся, и в итоге мы получим счётную систему взаимно ортогональных векторов {ei }.Покажем её полноту. Полнота системы означает, что всякий вектор можно сколь угодно точно приблизитьконечной линейной комбинацией векторов из этой системы.
Таким свойством обладало семейство {hi }, но таккак hi линейно выражаются через ei (впрочем, и наоборот тоже), то оно переносится и на {ei }.781.2.1. Лемма об отображении спектраПокажем, что если g⊥ {ei }, то g = 0. В самом деле, приблизим этот вектор линейной комбинацией векторов{ei }, получим вектор gε . Тогда (gε , g) = 0, но, переходя к пределу при ε → 0 (увеличивая точность приближения),получаем, что (g, g) = 0, откуда g = 0. Теорема 1.11. Все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны между собой. Пусть {en } — ПОНС. Возьмём вектор h и его коэффициенты Фурье по этой системе — последовательность {cn } ∈ ℓ2 . Как мы знаем, в силу теоремы Рисса – Фишера и задачи 1.2, имеется линейная биекция междувекторами пространства и наборами коэффициентов Фурье, то есть изоморфизм произвольного гильбертовапространства на пространство ℓ2 .
Он сохраняет расстояние (то есть норму разности) в силу равенства Парсеваля. Осталось показать, что сохранение нормы влечёт сохранение скалярного произведения. Для этого достаточновспомнить факт из линейной алгебры: эрмитова полуторалинейная функция однозначно восстанавливается посвоей квадратичной функции. По этому поводу см. [4, гл. 5, §5]. 1.2. Спектральная теорема1.2.1.
Лемма об отображении спектраЛемма 1.12 (Об отображении спектра). Пусть P — многочлен. Тогда Σ P (A) = P Σ(A) . Докажем включение «⊃». Возьмём λ ∈ Σ(A). Рассмотрим P (z) − P (λ) = (z − λ)Q(z), и подставим z = A.Получим P (A) − P (λ)I = (A − λI)Q(A). Так как сомножители коммутируют, и операторA − λI необратим,поэтому необратим и оператор в левой части. Но это и означает,чтоP(λ)∈ΣP(A).Докажем обратное включение «⊂».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
