А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть {ϕn } — полная ортогональная система в L2 [a, b]. Тогда всевозможные произведения{ϕn (x) · ϕm (y)} образуют полную ортогональную систему в L2 [a, b]2 .Теорема 2.22. Интегральный оператор Гильберта – Шмидта A с ядром K компактен. Разложим ядро K нашего оператора по базису пространства L2 [a, b]2 :K(x, y) =∞Xcmn ϕm (x)ϕn (y).m,n=116173.1.1. Понятие топологии. Открытые и замкнутые множестваПоложимKN (x, y) =NXcmn ϕm (x)ϕn (y).m,n=1Покажем, что оператор AN с ядром KN имеет конечномерный образ.
В самом деле,AN f =ZKN (x, y)f (y) dy =NXm,n=1cmn ϕm (x)Zf (y)ϕn (y) dy.то есть образ любой функции f есть конечная линейная комбинация функций ϕm (x).Осталось заметить, что kAN − Ak → 0, так как kKN − Kk → 0 в силу того, что это частичные суммы рядаФурье, а kAk 6 kKk, как следует из доказанного выше утверждения. Значит, оператор A является пределомконечномерных (а значит, компактных) операторов и потому сам компактен.
3. Метрические и топологические пространства3.1. Топологические пространства. Компактность3.1.1. Понятие топологии. Открытые и замкнутые множестваОпределение. Говорят, что в множестве X определена топология, если в X отмечен класс подмножествτ := {Uα ⊂ X} со следующими свойствами:• ∅ ∈ τ и X ∈ τ.T• Если {U1 , . . . , Un } ⊂ τ , то и Ui ∈ τ .S• Если {Uβ } ⊂ τ , то и Uβ ∈ τ .Пару (X, τ ) называют топологическим пространством. Множества из τ называются открытыми.Определение. База топологии τ — такая подсистема открытых множеств B ⊂ τ , что всякое открытоемножество представимо в виде объединения элементов из B.
Эквивалентная формулировка: совокупность Bесть база, если для всякого открытого множества U и всякой точки x ∈ U найдётся V ∈ B, для которогоx ∈ V ⊂ U . Говорят, что топология обладает счётной базой, если существует такая база B ⊂ τ , что Card B 6 ℵ0 .Определение. Множество называется замкнутым, если дополнение к нему открыто.Определение. Окрестностью U точки x ∈ X называется произвольное открытое множество, содержащееэту точку.Определение. Точка x ∈ X называется предельной точкой множества M ⊂ X, если всякая проколотаяокрестность точки x содержит точку множества M .Определение.
Замыканием Cl M множества M ⊂ X называется добавление к нему всех его предельныхточек.Утверждение 3.1. Множество Cl M замкнуто. Возьмём произвольную точку из дополнения к Cl M . Она обладает окрестностью U , не пересекающейсяс множеством Cl M . Теперь пробежимся по всем точкам дополнения и объединим все такие окрестности.
Этобудет открытое множество, не пересекающееся с Cl M . Утверждение 3.2. Замкнутое множество содержит все свои предельные точки. Допустим, что замкнутое множество M пространства X не содержит какой-нибудь своей предельнойточки x. Рассмотрим множество X r M . Оно содержит точку x и не имеет с M общих точек. Значит, X r M —открытая окрестность точки x, не пересекающаяся с M . Значит, точка x не может быть предельной для M . Следствие 3.1. Множества, которые не имеют предельных точек, являются замкнутыми.3.1.2. Компактность.
Критерии компактностиОпределение. Топологическое пространство называется компактным, если из всякого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.Определение. Система множеств Xα ⊂ X называется центрированной, если любое конечное пересечениемножеств из этого семейства непусто.17183.1.2. Компактность.
Критерии компактностиТеорема 3.3 (Критерий компактности в терминах центрированных замкнутых систем). Пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная система замкнутых множествимеет непустое пересечение. Пусть Xсистему замкнутых множеств {Fα }.T компактно.
РассмотримT произвольную центрированнуюSДопустим, что Fα = ∅. Тогда X r Fα = X r ∅ = X = (X r Fα ). Множества X r Fα открыты, поэтомуn{X r Fα } есть открытое покрытие пространства X. Из него можно выделить конечное подпокрытие {X r Fi }i=1 ,nTоткуда, снова переходя к дополнениям, получаем, чтоFi = ∅. Это противоречит тому, что исходная системаi=1центрирована.STОбратно, рассмотрим произвольное открытое покрытие X = Gα . Тогда (X r Gα ) = ∅, поэтому этаnсистема не может быть центрированной.
Поэтому найдётся конечная подсистема {X r Gi }i=1 , для которойnT(X r Gi ) = ∅. Тогда {G1 , . . . , Gn } будет искомым конечным подпокрытием. i=1Задача 3.1. Замкнутые подмножества компактных топологических пространств компактны.Решение. Пусть X — компактное топологическое пространство, и F ⊂ X — замкнутое подмножество.Рассмотрим произвольное открытое покрытие {Gα } этого множества. Поскольку X r F открыто, система[(X r F ) ∪Gαесть открытое покрытие для X.
В силу компактности пространства из неё можно выделить конечное подпокрытие {G1 , . . . , Gn }. Исключив из этого подпокрытия множество X r F , мы получим конечное открытоеподпокрытие для F . Определение. Множество называется счётно-компактным, если любое бесконечное подмножество в нёмимеет предельную точку.Замечание. В этом определении слово «бесконечное» можно заменить на слово «счётное».Утверждение 3.4.
Следующие условия эквивалентны:• Пространство X счётно-компактно.• Всякая счётная центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.• Всякое счётное открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Установим сначала эквивалентность первого и второго утверждения.Пусть X счётно-компактно. Рассмотрим центрированную систему замкнутых подмножеств {Fn }. Рассмотримсистему вложенных замкнутых множествS1 := F1 , S2 := F1 ∩ F2 , S3 := F1 ∩ F2 ∩ F3 , . . .Все они непусты, поскольку система центрированная. Если эта последовательность стабилизируется, то всёдоказано. Если она убывает, то можно считать, что она убывает строго.
Выберем последовательность xi ∈ Si ,тогда в силу определения счётной компактности, она имеет предельную точку x0 . Она принадлежит каждомумножеству Si , поскольку они замкнуты, и вся последовательность, за исключением конечного числа точек,содержится в каждом из множеств Si .
Поэтому x0 принадлежит пересечению всех Fi , значит, оно непусто.Обратно, пусть нашлась последовательность {xn }, у которой нет предельных точек. Следовательно, множества {xn }n>k замкнуты (у них тем более нет предельных точек). Заметим, что это центрированная система. Но,очевидно,∞\{xn }n>k = ∅.k=1Значит, эта центрированная система имеет пустое пересечение.Доказательство эквивалентности второго и третьего утверждений проводится так: в теореме 3.3 заменяемслова «компактность» на «существование среди всякого счётного покрытия конечного подпокрытия», а произвольные центрированные системы заменяем счётными.
Утверждение 3.5. Пусть X — пространство со счётной базой. Тогда все покрытия X можно считатьсчётными.S Пусть {Un } — база топологии. Пусть X = Gα . Рассмотрим какое-нибудь Gα и произвольную точку xв нём. Найдём такое Uk , что x ∈ Uk ⊂ Gα . Поступим так со всеми точками x и с каждым Gα , тогда всеполученные таким образом множества Uk будут образовывать искомое счётное покрытие. 18193.2.1. Определение метрического пространстваОпределение.
Пространство X называется сепарабельным, если в нём есть счётное всюду плотное множество.Утверждение 3.6. Пространство X со счётной базой сепарабельно. В самом деле, пусть {Un } — счётная база. Возьмём в каждом множестве Un по одной точке xn .
Покажем,что последовательность {xn } всюду плотна в X. В самом деле, возьмём произвольную точку x и рассмотримпроизвольную её окрестность. Она является объединением некоторого набора элементов базы, значит, в этуокрестность попадёт хотя бы одна точка последовательности {xn }. 3.2. Метрические пространства3.2.1. Определение метрического пространстваОпределение. Метрическое пространство — это множество M с функцией ρ : M × M → R такой, что:• ρ > 0, причём для всех x, y ∈ M выполнено ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;• ρ(x, y) = ρ(y, x) для всех x, y ∈ M ;• ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) для всех x, y, z ∈ M (неравенство треугольника).Замечание. Всякое нормированное пространство является метрическим пространством.
Действительно,легко проверить, что задание метрики по формуле ρ(x, y) := kx − yk удовлетворяет аксиомам метрическогопространства. Обратное, вообще говоря, неверно.Определение. Пусть M — метрическое пространство. Говорят, что последовательность {xn } ⊂ M сходитсяк x ∈ M , если ρ(xn , x) → 0. Последовательность {xn } называется фундаментальной, если для ∀ ε > 0 найдётсяN такое, что для ∀ n, m > N имеем ρ(xn , xm ) < ε. Метрическое пространство называется полным, если в нёмвсякая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке этого пространства.Очевидно, что замкнутое подмножество полного метрического пространства является полным пространством.3.2.2. Принцип сжимающих отображенийОпределение.
Пусть M — метрическое пространство. Отображениеf : M → M называется сжимающим,если найдётся α ∈ [0, 1), для которого ∀ x, y ∈ M имеем ρ f (x), f (y) 6 α · ρ(x, y).Теорема 3.7 (О сжимающих отображениях). Пусть M — полное метрическое пространство, а f —сжимающее отображение. Тогда у него существует единственная неподвижная точка. Единственность такой точки сразу следует из определения сжимающего отображения: если бы их было две, тогда расстояние между ними сохранилось бы, что невозможно. Докажем существование: рассмотримпроизвольную точку y ∈ M и рассмотрим итерации нашего отображения:y, f (y), f f (y) = f 2 (y), f 3 (y), . . .Положим yk = f k (y). Последовательность {yk }, очевидно, фундаментальна.
В самом деле,ρ(yk , yk+1 ) 6 αk ρ(y, y1 ),поэтомуρ(yn , ym ) 6 ρ(ym , ym+1 ) + ρ(ym+1 , ym+2 ) + . . . + ρ(yn−1 , yn ) = (αm + αm+1 + . . . + αn )ρ(y, y1 ),а последнее выражение можно сделать маленьким как остаток сходящегося ряда для геометрической прогрессии.В силу полноты пространства, наша последовательность сходится к некоторому пределу x ∈ M . Покажем, чтоэто и есть искомая неподвижная точка. Отображение f , очевидно, является непрерывным, поскольку близкиеточки переходят в близкие. Поимеем свойствам непрерывных отображений f (yk ) →f (x), если yk → x. Поэтому,если f k (y) → x, то и f f k (y) → f (x). Но последовательности f k (y) и f f k (y) совпадают с точностью допервого члена, поэтому их пределы одинаковы. Следовательно, x = f (x), что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
