А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 9
Текст из файла (страница 9)
24254.1.9. Пространство ограниченных операторовТеорема 4.10 (Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза). Пусть X — банахово, а Y — нормированное пространство. Пусть Ai : X → Y — семейство ограниченных операторов. Пусть длявсякого x ∈ X существует число Cx > 0 такое, что для ∀ i имеем kAi xk 6 Cx . Тогда найдётся такое C > 0,что kAi k 6 C для всех i. Рассмотрим семейство множествXn := {x ∈ X : ∀ i имеем kAi xk 6 n} .SОчевидно, что X = Xn . Поскольку X не есть множество первой категории, найдётся XN такое, что оно неявляется нигде не плотным в X.
Значит, есть шар, где оно всюду плотно.Покажем, что все множества Xn замкнуты. Для этого докажем, что дополнения к ним открыты. Пусть, тоx∈/ Xn . Значит, ∃ k, для которого kAk xk > n + 2ε. Пусть v ∈ X. Если kvk 6 kAk xk−(n+ε)kAk kkAk k kAk xk − (n + ε)kAk (x + v)k = kAk x + Ak vk > kAk xk −= n + ε > n,kAk k(1)то есть (x + v) ∈/ Xn .По предыдущей лемме, множество XN содержит некоторый шар B. Достаточно установить равномернуюe — копия шара B сограниченность операторов на некотором шаре, содержащем начало координат.
Пусть Be можно представить как w1 − w2 , где wi ∈ B. По неравенствуцентром в начале координат. Каждый вектор v ∈ Bтреугольника и определению множества XN для всех i получаем kAi vk = kAi w1 − Ai w2 k 6 N + N = 2N . Но этои означает равномерную ограниченность. Замечание. В этой теореме множество операторов может иметь произвольную мощность.4.1.9.
Пространство ограниченных операторовПусть X и Y — нормированные пространства. Обозначим через L (X, Y ) множество всех линейных отображений A : X → Y . Это, очевидно, линейное пространство. В нём можно выделить подпространство ограниченныхлинейных операторов B(X, Y ). Если X = Y , то это пространство превращается в алгебру.sОпределение. Говорят, что An −→ A в B(X, Y ) («сильно» сходится), если для ∀ x ∈ X имеем An x → Axпо норме пространства Y .Утверждение 4.11.
Если пространства X и Y банаховы, то пространство B(X, Y ) полно относительно сильной сходимости, то есть сильный предел ограниченных операторов также является ограниченнымоператором. Пусть для всякого x ∈ X последовательность {An x} фундаментальна. Покажем, что существует ограsниченный оператор A такой, что An −→ A. В силу фундаментальности, для ∀ x последовательность {An x}ограничена. Из теоремы Банаха – Штейнгауза следует, что kAn k 6 K, то есть последовательность операторовограничена по норме. В силу полноты пространства Y , последовательность An x сходится к некоторому вектору,который мы обозначим Ax. Отсюда, в частности, следует, что kAn xk → kAxk.
Из равномерной ограниченностиследует, что kAn xk 6 K kxk. Осталось перейти в этом неравенстве к пределу при n → ∞, и мы получим, чтоkAxk 6 K kxk, то есть норма предельного оператора тоже не превосходит K. Утверждение 4.12. Если пространство Y банахово, то пространство B(X, Y ) полно относительно операторной нормы. Пусть {An } ⊂ B(X, Y ) — фундаментальная последовательность. ТогдаkAn x − An+p xk 6 kAn − An+p k · kxk → 0,поскольку kAn − An+p k → 0.
Отсюда, в силу банаховости Y , последовательность An x сходится к некоторомувектору, который мы обозначим Ax. Так как последовательность норм операторов фундаментальна, она ограничена, то есть kAn k 6 K. Отсюда kAn xk 6 K kxk, и после перехода к пределу получаем kAxk 6 K kxk.Покажем, что kAn − Ak → 0. Для этого достаточно показать, что для ∀ x такого, что kxk 6 1, выполняетсянеравенство kAn x − Axk 6 ε kxk. В самом деле, в силу фундаментальности для ∀ ε > 0 найдётся N такое, чтодля ∀ n > N и для ∀ p выполнено kAn x − An+p xk 6 ε kxk. Остаётся перейти к пределу при p → ∞. Утверждение 4.13 (О продолжении оператора по непрерывности). Пусть X0 ⊂ X — всюду плотноеподпространство в банаховом пространстве X. Пусть A0 : X0 → X — ограниченный линейный оператор. Тогдасуществует ограниченное продолжение A : X → X оператора A0 с сохранением нормы. Возьмём последовательность {ξn } ⊂ X0 , которая сходится к вектору x.
Рассмотрим образ этой последовательности под действием оператора A0 . Положим Ax := lim A0 ξn . Этот предел существует, так какkA0 ξn − A0 ξm k 6 kA0 k · kξn − ξm k → 0.25264.1.10. Теорема Банаха об обратном оператореПокажем, что такое определение корректно, то есть не зависит от выбора последовательности, приближающей x. Пусть ξn → x ← ηn . Рассмотрим третью последовательность {ζn } := ξ1 , η1 , ξ2 , η2 , . . ..
Она тоже сходится кx, и lim A0 ζn тоже существует. Осталось заметить, что lim A0 ξn и lim A0 ηn — это частичные пределы сходящейсяпоследовательности, значит, они совпадают.Получилось отображение A : X → X, а так как kA0 ξn k 6 kA0 k · kξn k, то, переходя к пределу, получаем, чтоkAxk 6 kA0 k · kxk. Значит, норма продолженного оператора не увеличилась. С другой стороны, ясно, что онане могла уменьшиться. 4.1.10. Теорема Банаха об обратном оператореЛемма 4.14. Пусть A : X → Y — линейная биекция банаховых пространств.
ПоложимYk := y ∈ Y : A−1 y 6 k kyk .Тогда существует такое YN , что Cl YN = Y . Поскольку Y — полное пространство, по теореме Бэра существует YM , плотное в некотором шаре B.Обозначим через P пересечение некоторого шарового слоя с центром в точке y0 ∈ YM , целиком лежащего вшаре B, с множеством YM . Рассмотрим копию Pe множества P , сдвинутую в начало координат.
Всякий векторv ∈ Pe представляется в виде разности y − y0 , где y ∈ P . Имеем −1 −1 A v = A (y − y0 ) 6 A−1 y + A−1 y0 6 M kyk + ky0 k =2 ky0 k.= M ky − y0 + y0 k + ky0 k 6 M ky − y0 k + 2 ky0 k = M ky − y0 k 1 +ky − y0 kЗаметим, что последний множитель может быть ограничен сверху некоторой константой C, не зависящей ни отчего, поскольку число ky − y0 k отделено от нуля. Беря в качестве N := [CM ] + 1, получаем, что YN плотно в Pe.Но поскольку в силу своего определения множество YN инвариантно относительно гомотетий, оно будет плотнои во всём пространстве.
Теорема 4.15 (Банаха об обратном операторе). Пусть A : X → Y — линейная биекция банаховыхпространств. Тогда обратное отображение A−1 : Y → X тоже будет ограниченным оператором. Линейность обратного отображения очевидна. Докажем ограниченность. Рассмотрим ненулевой векторy ∈ Y . По предыдущей лемме существует всюду плотное в Y множество YN . Тогда существует y1 ∈ YN , дляkykкоторого ky − y1 k 6 kyk2 , причём ky1 k 6 kyk. Далее, существует y2 ∈ YN , для которого ky − (y1 + y2 )k 6 22 ,kykпричём ky2 k 6 kyk2 , и так далее.
На n-м шаге существует yn ∈ YN , для которого ky − (y1 + y2 + . . . + yn )k 6 2n ,причём kyn k 6 2kykn−1 .Рассмотрим xn := A−1 yn . По определениюYN имеем kxn k 6 N kyn k 6 N 2kykn−1 . Значит, в силу полнотыPпространства X и сходимости рядаkxn k существует пределx := limp→∞Тогдаxn .n=1pppXXXAx = A limxn = limAxn = limyn = y.p→∞Отсюда A−1 y = x, поэтомуpXp→∞n=1n=1p→∞n=1pp∞XXX −1 A y = kxk = xn = lim xn = lim A−1 yn 6n=1p→∞n=1p→∞n=16Следовательно, оператор A−1 ограничен. ∞∞∞XX −1 XkykA yn 6N kyn k 6N n−1 = 2N kyk .2n=1n=1n=14.1.11. Устойчивость обратимости оператора при малых возмущенияхЛемма 4.16.
Если A : X → X — оператор в банаховом пространстве такой, что kAk < 1, то операторI − A обратим.26274.1.11. Устойчивость обратимости оператора при малых возмущенияхПокажем, что операторP :=∞XAii=0является обратным к оператору I − A. Операторный ряд следует понимать как предел частичных сумм. Покажем, что он сходится, то есть для каждого вектора x ∈ X последовательность частичных суммSn x :=nXAi xi=0фундаментальна.
В самом деле, если m > n, то n+1mkSm x − Sn xk = An+1 x + . . . + Am x 6 An+1 x + . . . + kAm xk 6 kxk kAk+ . . . + kAk,поэтому, еслиPвзять n достаточно большим, эту сумму можно сделать сколь угодно маленькой как хвост сходяiщегося рядаkAk . В силу полноты пространства, эта последовательность сходится. Очевидно, чтоkP xk 6 kxk∞Xi=0ikAk ,поэтому оператор P ограничен. Из определения P выводим, чтоP (I − A)x = limn→∞nXi=0nXAi (I − A)x = limn→∞i=0Ai x − Ai+1 x = lim x − An+1 x = x,n→∞так как kAk < 1 и второе слагаемое в пределе даёт нуль.
Тем самым доказано, что P является левым обратным.Покажем, что он и правый обратный. В самом деле, оператор I − A ограничен и, очевидно, перестановочен соператорами Sn . Поэтому(I − A)P = (I − A) lim Sn = lim(I − A)Sn = lim Sn (I − A) = P (I − A).Таким образом, оператор I − A обратим. Теорема 4.17 (Устойчивость обратимости при малых возмущениях). Пусть A : X → X — ограниченный обратимый оператор в банаховом пространстве. Тогда для всякого оператора B с нормой kBk < kA1−1 kоператор A + B обратим.−1 Ясно, что A+B обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор A−1 (A+B) −1= I+A B.Поскольку−1оператор A ограничен, по теореме Банаха оператор A тоже ограничен. Так как A B 6 A−1 · kBk < 1по условию, то в силу предыдущей леммы оператор I + A−1 B обратим.
При доказательстве леммы фактически была доказана формула: если kAk < 1, то(I − A)−1 =∞XAi .(2)i=0Следствие 4.1. Резольвента является аналитической функцией в своей области определения. Сумма степенного ряда голоморфна в круге сходимости. Получим из формулы (2) некоторую оценку для числа (A + B)−1 − A−1 при условии kBk < kA1−1 k .Имеем A + B = A(I + A−1 B), поэтому (A + B)−1 = (I + A−1 B)−1 A−1 . По формуле (2) получаем:(A + B)−1 =∞X(−1)n (A−1 B)n A−1 .n=0Отсюда∞∞ X X −1 n −1 (A + B)−1 − A−1 = A B A =(−1)n (A−1 B)n A−1 + A−1 6n=0n=127 −1 A B · A−1 .−11 − kA Bk284.1.12. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах4.1.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
