А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Утверждение 2.3. Ограниченный оператор с конечномерным образом компактен. Действительно, всякое бесконечное ограниченное множество в конечномерном пространстве предкомпактно. Следовательно, из образа любой ограниченной последовательности можно будет выделить фундаментальную.
Следствие 2.1. Компактный оператор в бесконечномерном пространстве необратим. В самом деле, допустим противное. Поскольку AA−1 = id, в силу предыдущего утверждения получаем, что id является компактным оператором. Но это неверно, поскольку в бесконечномерном пространствеединичный шар не является предкомпактом. Теорема 2.4.
Пусть An — последовательность компактных операторов в банаховом пространстве, иAn → A по норме. Тогда A компактен. Пусть {xn } — ограниченная последовательность. Нужно доказать, что из последовательности {Axn }можно выбрать фундаментальную.(1)(1)Так как A1 компактен, то выбираем последовательность xn такую, что последовательность A1 xn сходится.(2)(2)(i)Из неё выбираем xn такую, что A2 xn сходится, и так далее. Возьмём диагональ yi := xi и покажем, что последовательность Ayi фундаментальна.
По условию kxn k 6 C, а kAk yn − Ak ym k → 0 в силу фундаментальности.Кроме того, kA − Ak k → 0. ПоэтомуkAyn − Aym k 6 kAyn − Ak yn k + kAk yn − Ak ym k + kAk ym − Aym k 66 kA − Ak k · kyn k + kAk yn − Ak ym k + kA − Ak k · kym k 66 kA − Ak k · C + kAk yn − Ak ym k + kA − Ak k · C → 0,а это и значит, что последовательность {Ayi } фундаментальна. Лемма 2.5. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.
Докажем утверждение индукцией по количеству k собственных векторов e1 , . . . , ek c собственными значениями λ1 , . . . , λk соответственно. При k = 1 доказывать нечего. Пусть k > 1, иe1 + . . . + ek−1 + ek = 0,тогда, применяя к этому равенству оператор, получаемλ1 e1 + . . . + λk−1 ek−1 + λk ek = 0.Вычтем отсюда исходное равенство, умноженное на λk , получим(λ1 − λk )e1 + . . . + (λk−1 − λk )ek−1 = 0.По предположению индукции такое возможно только если ei = 0 при i = 1, . . .
, k − 1. Но тогда и ek = 0. Теорема 2.6. Пусть оператор A : X → X — компактен, пространство X — банахово. Тогда количествособственных значений вне всякого круга радиуса r > 0 с центром в нуле лишь конечное число. Пусть {λn } — попарно различные ненулевые собственные значения оператора A. Покажем, что λn → 0.Допустим противное, тогда из {λn } можно выделить подпоследовательность так, что после перенумерациипоследовательность |λ1n | ограничена. Рассмотрим цепочку подпространств Xn := he1 , .
. . , en i, где ei — собственный вектор с собственным значением λi . Тогда e1 , . . . , en будут линейно независимыми, следовательно,{Xn } — строго возрастающая цепочка. В силу леммы о почти перпендикуляре, найдутся единичные векторыnPck ek . Какxn ∈ Xn , для которых ρ (xn , Xn−1 ) > 12 . Разложим их по базису подпространств Xn : пусть xn =k=1xnnлегко видеть, Axограничена. Подействуем на неёλn − xn ∈ Xn−1 . По предположению, последовательность λnоператором A и увидим, что получается ёж. В самом деле, при n < m имеемv :=AxnAxmAxnAxm−=−xm + xm −,λnλmλnλm| {z }|{z}∈Xm−111∈Xm−1122.1.2.
Слабая сходимость и слабая компактностьзначит, kvk = k−xm + (вектор из Xm−1 )k > 12 , а это противоречит компактности оператора A. 2.1.2. Слабая сходимость и слабая компактностьПусть X — нормированное пространство.Определение. Говорят, что последовательность xn слабо сходится к x, если для любого ограниченногоwфункционала f на X имеем f (xn ) → f (x). Обозначение: xn −→ x.Определение. Говорят, что последовательность функционалов fn слабо сходится к f , если для любогоwвектора x ∈ X имеем fn (x) → f (x).
Обозначение: fn −→ f .Определение. Говорят, что последовательность xn слабо ограничена, если для любого ограниченного функционала f на X имеем |f (xn )| 6 C(f ).Лемма 2.7. Существует изометричное вложение X ֒→ X ∗∗ . Зададим вложение так: x 7→ Fx , где Fx ∈ X ∗∗ — функционал на X ∗ , действующий на элементах f ∈ X ∗следующим образом:Fx : f 7→ f (x).Это вложение, очевидно, линейно. Докажем, что это изометрия. Обозначим норму в X ∗∗ через k·k2 . С однойстороны, по определению нормы имеем |f (x)| 6 kf k · kxk, поэтомуkxk > supf|f (x)|= kxk2 .kf kС другой стороны, в силу одного из следствий теоремы Хана – Банаха, для всякого x0 ∈ X найдётся функционал f0 такой, что |f0 (x0 )| = kf0 k · kx0 k, поэтомуkxk2 = supf|f (x)|> kxk ,kf kследовательно, kxk = kxk2 . Утверждение 2.8.
Слабо ограниченная последовательность ограничена по норме. Применим теорему Банаха – Штейнгауза к пространствам X ∗ и X ∗∗ , то есть вместо последовательности{xi } рассматривая её образ в X ∗∗ . В силу этой теоремы семейство образов будет ограниченным, но в силуизометричности вложения этим свойством будет обладать и исходное семейство векторов. Примечание: Если это рассуждение непонятно, то можно в лоб доказать аналог ТБШ.
Впрочем, в конце рассуждение овложении X ֒→ X ∗∗ придётся повторить. Доказательство можно найти в приложении 5.3.3.Утверждение 2.9. Из слабой сходимости следует слабая ограниченность.w Пусть xn −→ x. Это означает, что для каждого f найдется N такое, что при всех n > N имеем|f (xn ) − f (x)| 6 1. Но остальных n лишь конечное число, поэтому для каждого f последовательность {f (xn )}ограничена.
Теорема 2.10 (О слабой компактности). Пусть X — сепарабельное нормированное пространство. Тогдавсякое ограниченное бесконечное подмножество в X ∗ является слабо предкомпактным. Выберем в X счётное всюду плотное множество D := {xn }. Пусть {fn } — ограниченная последовательность функционалов. Рассмотрим последовательность чисел {fn (x1 )}. Она ограничена, а потому содержит (1)(1)сходящуюся. Обозначим её через fn (x1 ). Рассмотрим последовательность чисел fn (x2 ) .
Она тоже содер(2)(n)жит сходящуюся подпоследовательность fn (x2 ). Продолжая этот процесс и выделяя диагональ ϕn := fn ,получаем последовательность функционалов, которая сходится на всех векторах xi .Покажем, что сходимость имеет место для всех векторов x ∈ X.
Покажем фундаментальность последовательности {ϕi (x)}. Рассмотрим последовательность элементов из D, сходящуюся к x, тогда, очевидно,|ϕm (x) − ϕn (x)| = |ϕm (x) − ϕm (xk ) + ϕm (xk ) − ϕn (xk ) + ϕn (xk ) − ϕn (x)| 66 |ϕm (x) − ϕm (xk )| + |ϕm (xk ) − ϕn (xk )| + |ϕn (xk ) − ϕn (x)| → 0.Теорема доказана. Следствие 2.2. Пусть D ⊂ X — счётное всюду плотное множество. Пусть для каждого x ∈ D последоwвательность fk (x) сходится. Тогда существует функционал f такой, что fk −→ f .Утверждение 2.11. Слабый предел единствен.ww Допустим, что xn −→ x и xn −→ y, причём x 6= y. Тогда, по определению слабой сходимости, длялюбого f имеем f (xn ) → f (x) и f (xn ) → f (y). Следовательно, для всякого функционала f имеем f (x) = f (y),12132.1.3.
Классификация точек спектрато есть f (x − y) = 0. Но по лемме о продолжении функционала существует f , который равен 1 на векторе x − y.Противоречие. Лемма 2.12. Пусть последовательность {xn } в банаховом пространстве слабо сходится к x0 и предкомпактна. Тогда xn → x0 по норме пространства. В силу предкомпактности из последовательности можно выделить фундаментальную подпоследовательность xnk .
В силу полноты пространства она сходится к некоторому вектору xb. Из сходимости по норме очевидноwследует слабая сходимость, поэтому xnk −→ xb. Но слабый предел единствен, поэтому xb = x0 , что и требовалосьдоказать. Следствие 2.3. Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сходящуюся понорме. Как уже было доказано, слабо сходящаяся последовательность ограничена. По определению компактного оператора, {Axn } предкомпактно, поэтому содержит сходящуюся к некоторой точке y подпоследовательность.Очевидно, что {Axn } тоже слабо сходится, а поскольку слабый предел совпадает с сильным (если последнийсуществует), то и образ всей последовательности сходится к y. 2.1.3. Классификация точек спектраПусть A : X → X — ограниченный оператор в банаховом пространстве. Расклассифицируем точки λ ∈ C дляоператора A − λI, причём здесь мы будем придерживаться классификации, используемой в книге Глазмана.• Пусть Ker(A − λI) 6= 0, но это ядро конечномерно.
Тогда λ — собственные значения конечной кратности.В этом случае, разумеется, A − λI необратим (даже в алгебраическом смысле). Множество таких точекобозначим через Σp (A) и назовём точечным спектром.• Пусть Im(A − λI) 6= X. Тогда возможно 2 случая:a) Ker(A − λI) = 0 и Cl Im(A − λI) 6= Im(A − λI);b) λ — собственное значение бесконечной кратности, то есть dim Ker(A − λI) = ∞.Такие точки λ называются точками непрерывного спектра. Обозначим его через Σc (A).• Пусть Im(A − λI) 6= X и замкнут. [Ещё какой-то спектр]• Ker(A − λI) = 0 и Im(A − λI) = X.
Тогда в силу теоремы Банаха, существует ограниченный обратныйоператор (A − λI)−1 . В этом случае говорят, что λ — точка резольвентного множества.2.1.4. Сохранение непрерывного спектра при компактном возмущенииВ этом разделе X — сепарабельное гильбертово пространство, а A : X → X — ограниченный оператор.Лемма 2.13. Положим B := A − λI. Пусть λ — точка непрерывного спектра, причём Ker B = 0. Положим Y := Im B.
Тогдаотображение C : Y → X является неограниченным оператором. По условию Y не является замкнутым подпространством, поэтому оно не может быть полным. Допустим, что C — ограниченный оператор. Возьмём фундаментальную последовательность {yn } ⊂ Y . Положим xn := Cyn , тогда, очевидно, {xn } — тожефундаментальна. В силу полноты X она сходится к некоторому вектору x ∈ X. Поскольку B ограничен и потому непрерывен,получаем Bxn → Bx. Но Bxn = yn , а Ax ∈ Y . Значит, yn → y. Тем самым показано, что Y полное пространство. Противоречие,значит, оператор C не является ограниченным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
