А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Возьмём c ∈ Σ P (A) и покажем, что ∃ λ ∈ Σ(A), для которого c = P (λ).Возьмём P (z) − c = k(z − λ1 ) · . . . · (z − λn ), откуда P (A) − cI = k(A − λ1 I) · . . . · (A − λn I). Какой-то из операторовв этом произведении должен быть необратим, иначе был бы обратим и оператор P (A) − cI, что неверно. Замечание. Свойство коммутирования тут очень важно.
Пример: операторы левого и правого сдвига в ℓp .Имеем LR = E (т. е. обратимый оператор), а RL — необратим, так как x1 погибает при левом сдвиге, т. е.имеется ядро h(1, 0, 0, . . .)i.1.2.2. Спектральный радиус оператора и его оценка сверхуОпределение. Спектральным радиусом оператора A называется число r(A) := sup {|λ| : λ ∈ Σ(A)}. Это«наименьший» радиус круга, в который умещается спектр оператора.Определение.
Последовательность {an } называется полуаддитивной, если am+n 6 am + an для всех m, n.Лемма 1.13 (Фекете). Для полуаддитивных последовательностей имеет место свойствоlimnПоложим A := infnann .anan= inf.n nnВообще говоря, может получиться так, что A = −∞. Но это не повлияет надальнейшие рассуждения. По определению нижней грани найдётся nε , для которогопроизвольное n и поделим с остатком на nε : n = k · nε + r. Тогда при n → ∞ имеемan +ank · anε + ar6= εnk · nε + rnε +arkrk→anεnε− A < ε. Рассмотримanε.nεОтсюда следует, что lim ann существует и равен A. nЛемма 1.14 (Оценка спектрального радиуса).
Справедливы соотношения:pr(A) = lim n kAn k.nи r(A) 6 kAk, причём для самосопряжённых операторов неравенство обращается в равенство. Рассмотрим an := ln kAn k, тогда an+m 6 an + am . По лемме Фекете имеем ann → inf akk , поэтому сущеkpppствует предел lim n kAn k. Положим s(A) := lim n kAn k = lim n kAn k.nnnСначала покажем, что r(A) 6 s(A). Действительно, при |λ| > s(A) степенной ряд для резольвенты∞(A − λI)−1 = −1 X Akλλk(3)k=0мажорируется по норме в пространстве операторов сходящимся числовым рядом, поэтому имеет место сходимость.891.2.3. Общий вид функционала на пространстве непрерывных функцийТеперь докажем обратную оценку. Как мы знаем, резольвента аналитична в дополнении к спектру, поэтомув кольце |λ| > r(A) она задаётся рядом Лорана (3).
По формуле Коши – Адамара получаем, что радиус кольцаего сходимости равен s(A). Поэтомуpверно и обратное неравенство. Таким образом, r(A) = s(A).nДалее, так как kAn k 6 kAk , то n kAn k 6 kAk, поэтому r(A) 6 kAk.Покажем, что для самосопряжённых операторов достигается равенствов этом соотношении. Пусть A — самосопряжённый оператор. Как мы знаем, kA∗ Ak = kAk2 , поэтому A2 = kAk2 . Следовательно, имеет место kkравенство A2 = kAk2 . В формуле для s(A) перейдём к пределу по подпоследовательности индексов n = 2k ,получим требуемое.
Но так как сама последовательность сходится, предел подпоследовательности совпадает собычным пределом. Задача 1.3. Пусть M ⊂ H — подмножество гильбертова пространства. Тогда (M ⊥ )⊥ = Cl hM i.Утверждение 1.15. Пусть B — оператор в гильбертовом пространстве. Тогда (Im B)⊥ = Ker B ∗ . По определению, Im B = {Bx | x ∈ H}. Если y ∈ (Im B)⊥ , то для ∀ x ∈ H имеем 0 = (Bx, y) = (x, B ∗ y).Но это означает, что B ∗ y = 0, поэтому y ∈ Ker B ∗ . Осталось заметить, что рассуждения обратимы. Утверждение 1.16.
Спектр самосопряжённого оператора веществен. Пусть λ ∈/ R, тогда Ker(A−λI) = 0, ибо собственные значения самосопряжённого оператора вещественны.В самом деле, если Ax = λx, то λ(x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x), поэтому λ ∈ R.Теперь покажем, что Im(A− λI) плотен в H. Имеем Im(A− λI)⊥ = Ker(A− λI)∗ = Ker(A− λI) = 0. Применяярезультат задачи к M = Im(A − λI), получаем, что Cl Im(A − λI) = 0⊥ = H.Поскольку Ker(A − λI) = 0, оператор, обратный к A − λI, однозначно определён на образе Im(A − λI).Докажем его ограниченность: пусть λ = a + bi, где b 6= 0.
Тогда2k(A − λI)xk = (A − a − bi)x, (A − a − bi)x == (A − a)x − (bi)x, (A − a)x − (bi)x = k(A − a)xk2 + b2 kxk2 > b2 kxk2 ,значит, оператор ограничен снизу. Но тогда обратный оператор ограничен сверху. Поскольку образ всюду плотен, оператор можно продолжить по непрерывности на всё пространство, значит, он обратим и λ ∈/ Σ(A).
1.2.3. Общий вид функционала на пространстве непрерывных функцийТеорема 1.17 (Ф. Рисса). Всякий ограниченный линейный функционал f : C[0,R 1] → C можно представить интегралом Римана – Стилтьеса по функции g ∈ VB[0, 1], то есть f (ϕ) = ϕ dg. Пусть B[0, 1] — пространство ограниченных функций с чебышёвской нормой.
Продолжим наш функционал f на пространство B и обозначим полученное продолжение через F . Положим g(t) := F χ[0,t) , где χ —индикатор. Для краткости аргумент индикаторов писать не будем. Покажем, что g ∈ VB.В самом деле, рассмотрим разбиение отрезка [0, 1] точками 0 = t0 , .
. . , tn = 1. РассмотримnXk=1|g(tk ) − g(tk−1 )| =nnX XF χ[0,t ) − F χ[0,t ) =F χ[0,tk ) − F χ[0,tk−1 ) eiαk =kk−1k=1k=1=FnXeiαkχ[tk−1 ,tk )k=1! nXiαk6 kF k · e χ[tk−1 ,tk ) = kF k · 1 = kF k .k=1В этих выкладках мы «подкрутили» слагаемые коэффициентами eiαk так, что каждое комплексное число совпало со своим модулем. Итак, доказано, что g ∈ VB.Теперь рассмотрим ϕ ∈ C[0, 1] и приблизим её ступенчатыми функциями: nnXXkkϕn (t) =ϕ· χ[ k−1 , k ) =ϕ· χ[0, k ) − χ[0, k−1 ) .nnnnnnk=1k=1Тогда ϕn ⇒ ϕ и потому F (ϕn ) → F (ϕ). Вспоминая определение интеграла Римана – Стилтьеса, получаем Z1nXkkk−1F (ϕn ) =ϕ· g−g→ ϕ(t) dg(t),nnnk=10что и требовалось доказать.
Определение. Назовём ε-индикатором отрезка [α, β] непрерывную функцию, равную нулю вне отрезка,равную единице на отрезке [α+ε, β −ε] и доопределённую линейным образом на интервалах (α, α+ε) и (β −ε, β).9101.2.4. Доказательство спектральной теоремыСледующее утверждение является некоторым дополнением к теореме Рисса об общем виде функционаловна C[a, b].RУтверждение 1.18. Пусть f (ϕ) := ϕ dg — функционал на C[a, b]. Если он вещественный, то функцию gможно выбрать вещественной, а если он неотрицателен, то g можно взять неубывающей. Пусть g не является вещественнозначной функцией. Тогда найдётся интервал (α, β), на котором g(β) −g(α) ∈/ R. Возьмём ε-индикатор отрезка α, β), На такой функции значение нашего функционала, то есть попростуинтеграла, не будет вещественным.Пусть теперь функционал неотрицателен.
Допустим, что g убывает на каком-нибудь отрезке [α, β]. Тогдаинтеграл от ε-индикатора этого отрезка будет отрицательным. 1.2.4. Доказательство спектральной теоремыНапомним, что L2 (σ) — пространство L2 интегрируемых в квадрате функций по некоторой мере σ.Определение. Говорят, что оператор A имеет циклический вектор, если ∃ h ∈ H, для которого линейнаяоболочка hAn h | n ∈ Z+ i всюду плотна в H.Лемма 1.19. Пусть A — самосопряжённый оператор.
Тогда kP (A)k 6 kP kC , где k·kC — чебышёвская нормана пространстве C [− kAk , kAk]. В силу фундаментального равенства имеем22kP (A)k = kP ∗ (A)P (A)k = P P (A) = sup |λ| : λ ∈ Σ P P (A) = sup |P (λ)| : λ ∈ Σ(A) .Далее, поскольку λ ∈ R, можно брать верхнюю грань только по отрезку [− kAk , kAk] вещественной оси. Значит,no22kP (A)k 6 sup |P (λ)| : λ ∈ [− kAk , kAk] ,а это и есть определение чебышёвской нормы. Теорема 1.20 (Спектральная теорема). Пусть самосопряжённый оператор A : H → H имеет циклический вектор h ∈ H.
Тогда существует мера σ на отрезке [− kAk , kAk] и изометрическое отображениеU : H → L2 (σ), для которого U AU −1 есть оператор умножения на независимую переменную: f (λ) 7→ λf (λ). Сначала докажем,что это верно для многочленов. Пусть P — многочлен. Рассмотрим функционалα(P ) := P (A)h, h . Он линейный, неотрицательный и ограниченный.√Покажем, что если f > 0, то α(f ) > 0. Рассмотрим g = f , тогда α(f ) = g 2 (A)h, h = g(A)h, g(A)h =∗2kg(A)hk > 0. Здесь мы воспользовались тем, что g(A) = g(A). Для многочленов это верно, а для функций —в силу непрерывности.RПо теореме Рисса функционал α имеет представлениеα(P ) = P dσ, где σ — мера на X := [− kAk , kAk].Построим, наконец, отображение U : положим U P (A)h := P . Покажем, что это отображение корректно задано,п.в.то есть покажем, что если P (A) = Q(A), то P = Q по мере σ. Имеем 20 = P (A) − Q(A) h = k(P − Q)(A)hk2 = (P − Q)(A)h, (P − Q)(A)h =Z= |P − Q|2 (A)h, h = α |P − Q|2 = |P − Q|2 dσ = kP − QkL2 (σ) .Тем самым проверена не только корректность, но и изометричность отображения U , а также и то, что обратноеотображение U −1 существует.Рассмотрим действие на векторах P (A)h: имеем (U AU −1 P )(λ) = U AP (A)h (λ) = λP (λ) по определениюотображения U .
В общем случае, приблизим функцию из L2 (σ) многочленами {Pn }, тогда получимп.в.U AU −1 Pn (λ) = λPn (λ) −→ λf (λ) = U AU −1 f (λ).Это и завершает доказательство спектральной теоремы. 2. Компактные операторы2.1. Компактные операторы в банаховых пространствах2.1.1. Определение и свойства компактных операторовОпределение. Оператор называется компактным, если образ единичного шара предкомпактен.Утверждение 2.1. Сумма компактных операторов есть снова компактный оператор.10112.1.1. Определение и свойства компактных операторовОчевидно, если воспользоваться, например, критерием Хаусдорфа. Утверждение 2.2. Произведение компактного и ограниченного операторов есть компактный оператор. Пусть A — компактный, а B — ограниченный операторы.
Сначала покажем,что оператор AB компактен.Если множество M ограничено, то B(M ) тоже ограничено. Тогда A B(M ) предкомпактно, и всё доказано.Теперь покажем, что BA тоже компактный оператор. Для этого воспользуемся критерием Хаусдорфа предкомпактности множества. В силу компактностиA, для любого ε в множестве A(M ) существует конечная ε-сеть.Очевидно, что для множества B A(M ) годится kBk · ε-сеть, которая получается из исходной сети после применения оператора B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
