А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эквивалентность норм в конечномерных пространствахТеорема 4.18. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Пусть X — конечномерное нормированное пространство с нормами k·k1 и k·k2 . Для начала заметим,что оно изоморфно пространству Cn , поэтому можно все рассуждения проводить для него.
Покажем, что всенормы эквивалентны норме k·k, заданной как сумма модулей всех координат вектора. Тогда про норму k·k2можно забыть. Пусть e1 , . . . , en — базис в X, тогда, полагая C := max kei k1 , для всякого x ∈ X имеемkxk1 = kx1 e1 + . . . + xn en k1 6 |x1 | · ke1 k1 + . . . + |xn | · ken k1 6 C kxk .Тем самым оценка в одну сторону получена. Заметим, что в конечномерном пространстве единичная сфера компактна. Функция x 7→ kxk1 непрерывнаотносительнометрики, задаваемой нормой k·k в силу полученной вышеоценки. На единичной сфере x : kxk = 1 она достигает своего минимального значения, которое, очевидно,отлично от нуля.
Этот минимум и есть нижняя оценка для отношения норм. Задача 4.4. Вывести отсюда, что всякое конечномерное подпространство замкнуто.4.1.13. Отступление про неограниченные операторыПриведём пример неограниченного оператора с пустым спектром: пусть A : D(A) → C[a, b], где D(A) ⊂C[a, b] — область определения оператора. Именно, рассмотрим оператор дифференцирования A : f 7→ f ′ , тогдаD(A) = C1 [a, b], но мы будем рассматривать только функции, у которых f (a) = 0.Выясним, когда оператор A − λ обратим. Для этого рассмотрим задачу Коши:(f ′ − λf = g,f (a) = 0.Несложно видеть, что её (единственное по теореме существования и единственности из курса дифференциальных уравнений) решение выглядит так:f (x) = eλxZxe−λy g(y) dy.aТаким образом, оператор A − λ обратим при всех λ, значит, спектр оператора A пуст.4.1.14.
О графиках операторовПримечание: Часто встречающееся здесь обозначение (a, b) для элемента декартового произведения множеств A × B, a ∈ A,b ∈ B не следует путать с столь же часто встречающимся обозначением для скалярного произведения.Определение. Графиком оператора A : X → Y , где X, Y — нормированные пространства, называется множество Graph A := {(x, y) | y = Ax} ⊂ X ⊕ Y .
Легко видеть, что график оператора — это линейное подпространство.Для внешней прямой суммы пространств норму вводят естественным образом: k(x, y)k := kxkX + kykY .Очевидно, что прямая сумма пространств будет банаховым пространством тогда и только тогда, когда обаслагаемых банаховы.Определение. Если график оператора замкнут, то оператор называется замкнутым.Утверждение 4.19. Всюду определённый оператор A : X → X в банаховом пространстве с замкнутымграфиком ограничен. Поскольку замкнутое подмножество полного пространства полно, график оператора — это тоже полноепространство.
В нашем случае Graph A = {(x, Ax) | x ∈ X}. Рассмотрим проекцию π : Graph A → X по правилуπ(x, Ax) = x. Этот оператор ограничен, ибо kπ(x)k = kxk 6 kxk + kAxk, поэтому kπk 6 1. Легко видеть, что π —биекция, поэтому обратное отображение π −1 : x 7→ (x, Ax) ограничено в силу теоремы Банаха. Но это означает,что для некоторого C > 0 имеем k(x, Ax)k = kxk + kAxk 6 C · kxk, поэтому A тоже ограничен.
4.2. Сопряжённые пространства и операторы4.2.1. Определение сопряжённого оператораПусть X и Y — линейные нормированные пространства.Определение. Сопряжённым к пространству X называется пространство всех линейных ограниченныхфункционалов на X. Мы будем обозначать его символом X ′ .Поскольку X ′ = B(X, C), автоматически получаем, что сопряжённое пространство всегда полно.28294.2.2. Компактность оператора, сопряжённого к компактномуПусть теперь A : X → Y — ограниченный оператор, а X ′ и Y ′ — соответствующие сопряжённые пространства.Определение.
Сопряжённым к оператору A называется оператор A′ : Y ′ → X ′ , который функционалуg ∈ Y ′ ставит в соответствие функционал f по правилу f (x) := g(Ax).Утверждение 4.20. kA′ k = kAk.С одной стороны, имеемkA′ gk = sup |g(Ax)| 6 kgk · kAk ,kxk61′таким образом, kA k 6 kAk. Чтобы доказать обратное неравенство, рассмотрим y =такой, что kgk = 1 и g(y) = 1. ТогдаAxkAxkи функционал g ∈ Y ′kAxk = g(Ax) = (A′ g)(x) 6 kxk · kgk · kA′ k = kxk · kA′ k ,значит,kAxkkxk6 kA′ k, откуда следует обратное неравенство.4.2.2. Компактность оператора, сопряжённого к компактномуПусть X — компактное подмножество метрического пространства.Определение.
Семейство Φ функций ϕ на X называется равномерно ограниченным, если |ϕ(x)| 6 C длявсех x ∈ X и всех ϕ ∈ Φ.Определение. Семейство Φ функций ϕ на X называется равностепенно непрерывным, если для всякогоε > 0 найдётся δ > 0, для которого |ϕ(x) − ϕ(y)| 6 ε для всех x, y ∈ X таких, что ρ(x, y) < δ и для всех ϕ ∈ Φ.Проще говоря, это та же равномерная непрерывность, но число δ универсально для всего семейства функций.Теорема 4.21 (Арцела – Асколи). Множество M ⊂ C[a, b] предкомпактно тогда и только тогда, когдаоно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Изложено в [2, гл.
II, § 7, п. 4]. Теорема 4.22 (Обобщённая теорема Арцела – Асколи). Пусть X и Y — компактные метрическиепространства, и C := C(X, Y ) — пространство непрерывных отображений из X в Y с чебышёвской метрикой.Тогда подмножество Φ ⊂ C предкомпактно тогда и только тогда, когда Φ равностепенно непрерывно. Мы докажем только достаточность этого утверждения. Доказательство необходимости ничем не отличается от доказательства необходимости в обычной теореме Арцела, да и не потребуется нам в дальнейшем.Пусть F — пространство всех отображений f : X → Y , на котором введена метрикаρ(f, g) := sup ρ f (x), g(x) .x∈XРавномерный предел непрерывных отображений на компакте непрерывен, поэтому C замкнуто в F .
Следовательно, если Φ предкомпактно в F , то оно предкомпактно и в C.Возьмём ε > 0 и по нему выберем δ, участвующее в определенииравностепенной непрерывности. Возьмёмв X 2δ -сеть x1 , . . . , xn и рассмотрим шары Bi := B xi , δ2 . Их объединение покрывает X. Получим из этогопокрытия дизъюнктное покрытие. Таким будет, например, покрытие[Ei := Bi rBj .j<iЗаметим, что diam Ei < δ.Рассмотрим в компакте Y некоторую ε-сеть y1 , . . . , ym .
Рассмотрим набор функций {g}, которые принимаютна Ei значения yj . Такой набор, очевидно, конечен. Покажем, что они образуют 2ε-сеть для Φ в пространстве F .В самом деле, пусть f ∈ Φ. Очевидно, для всякой точки xi найдётся yj(i) , для которой ρ(f (xi ), yj ) < ε. Возьмёмв качестве g функцию со значениями yj(i) на множествах Ei . Тогдаρ f (x), g(x) 6 ρ f (x), f (xi ) + ρ f (xi ), g(xi ) + ρ g(xi ), g(x) < 2ε,что и требовалось доказать. Теорема 4.23.
Оператор, сопряжённый компактному в банаховом пространстве, компактен. Пусть A : X → Y — компактный оператор. Пусть B ⊂ X — единичный шар с центром в начале координат. По определению компактного оператора, множество A(B) предкомпактно. Докажем предкомпактностьмножества A′ (B ′ ), где B ′ := {g ∈ Y ′ : kgk 6 1} — единичный шар в Y ′ .Рассмотрим семейство функционалов из B ′ на множестве A(B). Пусть g ∈ B ′ , а y = Ax ∈ A(B), тогда|g(y)| 6 kgk · kyk = kgk · kAxk 6 kgk · kAk · kxk 6 kAk .29304.3.1. Вспомогательные леммыСледовательно, функционалы из B ′ равномерно ограничены на A(B).Пусть теперь y1 , y2 ∈ A(B), а g ∈ B ′ .
Тогда|g(y1 ) − g(y2 )| = |g(y1 − y2 )| 6 kgk · ky1 − y2 k 6 ky1 − y2 k ,а это означает равностепенную непрерывность семейства B ′ на A(B). В силу обобщения теоремы Арцела множество B ′ предкомпактно в смысле равномерной сходимости на A(B).Теперь рассматриваем произвольную последовательность {A′ gn } ⊂ A′ (B ′ ). Поскольку множество B ′ предкомпактно в смысле равномерной сходимости, из последовательности {gn } можно выделить фундаментальнуюотносительно равномерной сходимости на A(B) подпоследовательность. Иначе говоря,sup gni (y) − gnj (y) = sup gni (Ax) − gnj (Ax) → 0, ni , nj → ∞.x∈By∈A(B)Но sup gni (Ax) − gnj (Ax) = sup A′ (gni − gnj )(x) = A′ gni − A′ gnj .x∈Bx∈B′А это означает, что последовательность {A gnk } фундаментальна в X ′ и тем самым компактность доказана. 4.3. Теория Фредгольма в банаховых пространствах4.3.1.
Вспомогательные леммыЛемма 4.24. Пусть A — компактный оператор. Тогда K := Ker(A − I) конечномерно. Пусть M ⊂ K — произвольное ограниченное множество. Тогда для ∀ x ∈ M имеем (A − I)x = 0, то естьAx = x. Значит, A(M ) = M , но по определению компактного оператора, множество A(M ) предкомпактно. Такимобразом, каждое ограниченное подмножество в ядре предкомпактно, поэтому по лемме 4.8 K конечномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
