А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Значит, ∃ j, для которого имеем kf (xj )k > n. Покажем, что найдётся окрестностьэлемента f , не пересекающаяся с Fn . Пусть g ∈ X ∗ , тогда|(f + g)(xj )| > |f (xj )| − |g(xj )| .Поскольку набор множеств Fn покрывает всё пространство X ∗ , найдётся M , для которого имеем g ∈ FM .Поэтому для всех i имеем |g(xi )| 6 M . Рассмотрим функционал h = λg. Поскольку M уже зафиксировано,число λ можно выбрать таким, чтобы для всех i число |h(xi )| было сколь угодно маленьким. Если это числовыбрать правильно, то можно считать, что сохраняется неравенство|(f + h)(xj )| > |f (xj )| − |h(xj )| > n.Действительно, |f (xj )| > n, значит, можно отнять от него настолько маленькое число так, чтобы результат всёещё был больше n.

Это и означает, что искомая окрестность элемента f найдена.По лемме, множество FN содержит некоторый шар B. Достаточно установить равномерную ограниченностьe — копия шара B с центром вдля функционалов в некотором шаре, содержащем начало координат. Пусть Be можно представить как f1 − f2 , где fi ∈ B. В силу неравенстваначале координат. Каждый функционал g ∈ Bтреугольника и определения множества FN для всех i получаем |g(xi )| = |f1 (xi ) − f2 (xi )| 6 N + N = 2N .Рассмотрим образ исходной последовательности в пространстве X ∗∗ . Докажем, что он ограничен. Но этотолько что было установлено, поскольку мы получили, что некоторое множество коковекторов равномерноограничено на шаре с центром в начале координат. 5.4. Service Pack 3 (Юра Притыкин)Доказательство леммы о слабой компактности шара в гильбертовом пространстве H без свойства сепарабельности:Надо доказать, что из последовательности {xn } можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.Рассмотрим подпространство H0 , порожденное всеми элементами последовательности {xn }, и замкнём его.

Получим некоторое сепарабельное гильбертово подпространство в H. Оно не более чем счётномерно. Выберем внем счетный базис и применим к нему доказанную лемму. Поэтому если мы можем найти такую последовательность в сепарабельном гильбертовом, то и в любом гильбертовом.38.

Характеристики

Список файлов лекций