А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1128638), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Лемма 2.14. Положим B := A − λI. Если λ ∈ Σc (A), то существует непредкомпактная последовательность xn ∈ X такая,что kxn k = 1 и Bxn → 0. Пусть λ ∈ Σc (A). Точки непрерывного спектра бывают двух видов, и придётся разобрать два случая.Пусть сначала dim Ker B = ∞. Так как единичная сфера в бесконечномерном пространстве не является предкомпактом, можновыбрать непредкомпактную последовательность {xn } ⊂ Ker B. Но в этом случае Bxn = 0, поэтому всё доказано.Во второму случае применим только что доказанную лемму, которая говорит, что оператор C := B −1 , (определённый, впрочем,только на Im B) является неограниченным. Тогда, как несложно видеть, существует последовательность {yn } ⊂ Im B, для которойkyn k = 1 и kCyn k > n, поэтому, положивCynxn :=,kCyn k1получаем искомую последовательность, ибо kBxn k 6 n.Осталось показать, что полученная последовательность непредкомпактна.
Допустим противное, тогда из неё можно выделитьфундаментальную подпоследовательность, которая в силу полноты пространства сходится к некоторому вектору x ∈ X. Перенумеруем её, тогда xn → x. В силу непрерывности B имеем Bxn → Bx, с другой стороны, Bxn → 0. Таким образом, Bx = 0.
Нопоскольку Ker B = 0, то и x = 0, с другой стороны, kxn k = 1 и xn → x, поэтому kxk = 1. Противоречие. При данном определении непрерывного спектра обратное утверждение леммы неверно, поэтому далее в этомразделе будет использовано такое определение непрерывного спектра:Определение. Положим B := A − λI. Точка λ ∈ Σc (A) тогда и только тогда, когда существует непредкомпактная последовательность xn ∈ X такая, что kxn k = 1 и Bxn → 0.13142.2.1.
Теорема Гильберта – ШмидтаОпределение. Множество векторов {xn } называется ε-ежом, если для ∀ n, m имеем kxn − xm k > ε.Теорема 2.15. Пусть A : X → X — ограниченный оператор в сепарабельном гильбертовом пространствеX, а K : X → X — компактный оператор. Тогда Σc (A + K) = Σc (A). Пусть λ ∈ Σc (A). Положим B := A − λI.
По лемме1 существует непредкомпактная последовательность {xn } такая, что kxn k = 1 и Bxn → 0. Из доказательства критерия Хаусдорфа следует, что найдётсяподпоследовательность {yn } ⊂ {xn }, образующая ε-ежа. Поскольку {yn } ограничена, по теореме о слабой компактности2 , из yn можно выделить слабо сходящуюся последовательность {zn }.Покажем, что последовательность {zn − zn+1 } будет непредкомпактной. Действительно, допустим, что изнеё можно выбрать фундаментальную. Тогда в силу полноты пространства получаем∆zk := znk +1 − znk → z ∈ X.Пусть f — произвольный ограниченный функционал.
В силу слабой сходимости имеемf (∆zk ) = f (znk +1 ) − f (znk ) → 0,wпоскольку каждое слагаемое сходится к одному и тому же числу. Таким образом, ∆zk −→ 0. Но у этой последовательности существует и сильный предел z, поэтому z = 0, то есть znk +1 − znk → 0. Но это противоречиттому, что последовательность {zn } является ε-ежом.Осталось показать, что (B + K)(zn − zn+1 ) → 0. В самом деле, имеем(B + K)(zn − zn+1 ) = Bzn − Bzn+1 + Kzn − Kzn+1 .Первые два слагаемых идут к нулю в силу выбора {zn }, а вторые два сходятся к одному и тому же вектору, поскольку слабо сходящаяся последовательность {zn } перерабатывается компактным оператором K в сходящуюсяпо норме. Применяя лемму в обратную сторону, получаем, что λ ∈ Σc (B + K). 2.2.
Компактные операторы в гильбертовых пространствах2.2.1. Теорема Гильберта – ШмидтаВ этом разделе A — компактный самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H.Введём обозначение Q(x) := (Ax, x). Заметим, что это число всегда вещественно в силу самосопряжённостиоператора.wЛемма 2.16. Пусть xn −→ x. Тогда Q(xn ) → Q(x).
Имеем|Q(xn ) − Q(x)| = |(Axn , xn ) − (Ax, x)| = |(Axn , xn ) − (Ax, xn ) + (Ax, xn ) − (Ax, x)| 6 ! 6 |(Axn , xn ) − (Ax, xn )| + |(Ax, xn ) − (Ax, x)| = A(xn − x), xn + x, A(xn − x) 66 kA(xn − x)k · kxn k + kxk · kA(xn − x)k → 0.Здесь равенство «!» следует из свойств самосопряжённого оператора, а сходимость к нулю вытекает из свойствкомпактных операторов и ограниченности kxn k (а это — следствие слабой сходимости). Лемма 2.17. Если |Q(x)| достигает на единичной сфере своего максимума в точке x0 , то для любоговектора y такого, что (x0 , y) = 0, выполнено (Ax0 , y) = 0, то есть hx0 i⊥ ⊂ hAx0 i⊥ .
Рассмотрим векторx0 + ay, a ∈ C.v :=kx0 + aykИспользуя самосопряжённость оператора и теорему Пифагора для векторов x0 и y, получаемQ(v) =1221 + |a| · kyk2· Q(x0 ) + 2 Re a(Ax0 , y) + |a| Q(y) .Если (Ax0 , y) 6= 0, то выбирая a малым по модулю и подкручивая его аргумент, можно сделать так, что числоRe a(Ax0 , y) будет ненулевым вещественным и будет иметь тот же знак, что и Q(x0 ). Тогда |Q(v)| > |Q(x0 )|, амы предположили, что x0 максимизирует модуль Q. Полученное противоречие показывает, что (Ax0 , y) = 0. 1 Тоесть по новому определениюдоказывали её для сопряжённого пространства. Но в случае гильбертовых пространств мы пользуемся антиизоморфизмомH и H ∗ , и потому шар в гильбертовом пространстве слабо компактен. Заметим, что именно здесь используется сепарабельность.2 Мы14152.2.1.
Теорема Гильберта – ШмидтаСледствие 2.4. Если |Q(x)| достиг максимума на векторе x0 , то это собственный вектор оператора A.⊥⊥ По лемме имеем hx0 i⊥ ⊂ hAx0 i⊥ , поэтому hx0 i⊥ ⊃ hAx0 i⊥ , то есть hAx0 i ⊂ hx0 i. Теорема 2.18 (Гильберта – Шмидта). Компактный самосопряжённый оператор A в сепарабельном гильбертовом пространстве H обладает базисом из собственных векторов. Будем строить элементы базиса по индукции в порядке убывания модулей собственных значений.Покажем, что на единичной сфере функция |Q(x)| достигает своего максимума.
Пусть S := sup |Q(x)|, а xn —последовательность единичных векторов, реализующая S. Поскольку единичный шар слабо предкомпактен,wможно выбрать подпоследовательность yn −→ y. При этом в силу первой леммы получаем |Q(yn )| → |Q(y)|,поэтому |Q(y)| = S.⊥В качестве первого базисного вектора e1 возьмём вектор y.
Теперь рассмотрим подпространство he1 i . Оно всилу самосопряжённости оператора инвариантно относительно A. В нём повторим эту же процедуру, найдём e2 ,и так далее. Если начиная с какого-то момента мы получаем Q(x) ≡ 0, это означает, что ненулевые собственные значения кончились, и мы попали в ядро оператора. Во противном случае получаем последовательностьненулевых собственных значений {λn }.
Они, очевидно, сходятся к нулю. В самом деле, если бы их модули были ограничены снизу, то образы единичных базисных векторов образовывали бы ежа, а не предкомпактноемножество.Таким образом, мы представили произвольный вектор x ∈ H в видеXx=ci ei + z,(1)где z ∈ Ker A, причём оператор действует диагонально: Ax =Pλi ci ei . Следствие 2.5 (Об общем виде компактного оператора в гильбертовом пространстве). Для всякого компактного оператора A : H → H существуют ОНС {ϕk } и {ψk }, такие, что рядAx =∞Xλk (x, ψk )ϕkk=1сходится по норме.
Рассмотрим оператор A∗ A. Он будет самосопряжённым и компактным, поскольку является произведением компактного и ограниченного. По предыдущей теореме, существует ортонормированная система {ψk }, в√которой A∗ Aψk = µk ψk . Легко видеть, что µk > 0. Положим λk := µk и рассмотрим ϕk = λ1k Aψk . Можносчитать, что µk были упорядочены по убыванию. Осталось проверить, что для произвольного вектора x имеетместо разложение∞XAx =λk (x, ψk )ϕk .k=1В самом деле, имеемx=∞X(x, ψk )ψk + x0 ,k=1x0 ∈ Ker A∗ A.Покажем, что Ax0 = 0. В самом деле, если A∗ Ax0 = 0, то (A∗ Ax0 , x0 ) = 0, а это эквивалентно (Ax0 , Ax0 ) = 0,значит, Ax0 = 0.Следовательно,∞∞XXAψkAx =λk (x, ψk )=λk (x, ψk )ϕk ,λkk=1k=1что и требуется. Теперь нужно проверить ортонормированность системы {ϕk }. ИмеемAψk Aψk11(ϕk , ϕk ) =,= 2 (A∗ Aψk , ψk ) = 2 λ2k ψk , ψk = 1.λkλkλkλkДалее приводим доказательство Стёпина.
Не факт, что оно правильное, а вот приведённое выше доказательство являетсяабсолютно строгим.Определение. Мера Дирака δp — это мера, сосредоточенная в одной точке p ∈ X. Она обозначается δp и определяется так:(1, p ∈ A;δp (A) :=0, p ∈/ A.15162.2.2. Интегральные операторы Гильберта – ШмидтаМожно рассмотреть новую меру, которая есть линейная комбинация дираковских мер:Xσ(A) =λi δpi (A).Замечание.
Пусть σ — мера на отрезке [a, b]. Пространство L2 (σ) конечномерно тогда и только тогда, когда σ-линейнаякомбинация дираковских мер.Теорема 2.19 (Гильберта). Для компактного самосопряжённого оператора в сепарабельном гильбертовом пространствесуществует ортонормированный базис из собственных векторов. В силу спектральной теоремы, оператор A может быть реализован как умножение на независимую переменную: A : f (λ) 7→λf (λ).
Нам хочется рассмотреть оператор, обратный к A, но этому препятствует деление на λ. Откусим от нуля окрестность U ,1f (λ). Но в силу замечания перед доказательствомтогда на множестве K = [− kAk , kAk] r U (0) оператор A обратим: A−1 : f (λ) 7→ λтеоремы, в бесконечномерном пространстве не бывает обратимых компактных операторов. Значит, L2 (σ) конечномерно на K,поэтому на всём отрезке [− kAk , kAk] может быть не более чем счётное число атомов меры σ, причём им разрешено сгущатьсятолько в окрестности λ = 0.
Ясно [?], что δ-функции будут собственными. Так как спектр замкнут, то если оператор имеет счётноемножество точек в спектре, то и ноль принадлежит спектру.Если пространство сепарабельно, то можно рассмотреть и общий случай, когда циклического вектора не существует. Пусть{fn } — счётное всюду плотное множество в H. В этом случае будем рассматривать циклические подпространства, порождённыевекторами fn . Берём первый вектор f1 и рассматриваем hf1 i, для которого проходит наша процедура. Затем берём ортогональное∞Lдополнение к hf1 i, в нём выбираем ещё один вектор, и так далее.
. . В итоге получим прямую суммуhfnk i. k=12.2.2. Интегральные операторы Гильберта – ШмидтаОпределение. Рассмотрим функцию K(x, y) ∈ L2 [a, b]2 и оператор A : L2 [a, b] → L2 [a, b], заданный так:A(f ) :=ZbK(x, y)f (y) dy.aЭтот оператор называется интегральным оператором Гильберта – Шмидта. Функция K называется ядроминтегрального оператора. Через AK мы будем обозначать оператор с ядром K.Задача 2.1. Доказать, что A∗K = AK .Определение. Свёртка двух ядер K и L — это ядро(K ∗ L)(x, z) :=ZbK(x, y)L(y, z) dy.aЗадача 2.2.
Докажите, что AK AL = AK∗L .Для сокращения записи не будем писать пределы интегрирования по [a, b]. Все нормы для функций понимаются в смысле тех пространств, где эти функции живут.Утверждение 2.20. Интегральный оператор A с ядром K ограничен.R По теореме Фубини интеграл K(x, y)f (y) dy существует. По неравенству Коши – БуняковскогоZ2 ZZ K(x, y)f (y) dy 6 |K(x, y)|2 dy · |f (y)|2 dy.Это неравенство можно проинтегрировать по x, поскольку интеграл в правой части существует. ПолучимZ2 ZZZZ22222kAf k = dx K(x, y)f (y) dy 6 dx |K| dy · |f | dy = kKk · kf k .Следующая теорема на лекциях не формулировалась, однако будет использоваться при доказательстве компактности операторов Гильберта – Шмидта. Доказательство этой теоремы можно найти в [2, гл.VII, § 3, п. 5].Теорема 2.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
