Семинары 7-15 по специальным функциям одним файлом (1127984), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Ткаченко-103-Zdrf (r, t)X (r) dr.(1.26.14)rϕ(r)X (r) dr.(1.26.16)bZdbНачально – краевые задачи в кольцеПоскольку в нашем случае f (r, t) ≡ 0, а ϕ(r) ≡ U , то нам надо посчитатьRdrϕ(r)X (r) dr.bZdZd rϕ(r)X (r) dr = U r N0 (µk b) J0 (µk r) − J0 (µk b) N0 (µk r) dr =bbZdZdrJ0 (µk r) dr − U J0 (µk b)= U N0 (µk b)birN0 (µk r) dr = x = µk r, в силу (1.1.9) =bU= 2 N0 (µk b)µkZµk d0xJ1 (x)µk b=h0Zµk dUdx − 2 J0 (µk b)xN1 (x) dx =µkµk bUd  Ub N0 (µk b) J1 (µk d) − J0 (µk b) N1 (µk d)−N0 (µk b) J1 (µk b) − J0 (µk b) N1 (µk b)  =| {z }| {z }| {z }| {z }µkµk=−J00 (µk d)=−N00 (µk d)=−J00 (µk b)=−N00 (µk b)J0 (µk b)= в силу (1.26.10) N0 (µk b) =· N0 (µk d) =J0 (µk d)U d J0 (µk b)00=· J0 (µk d) N0 (µk d) − N0 (µk d) J0 (µk d) −·µk J0 (µk d)Ub00J0 (µk b) N0 (µk b) − N0 (µk b) J0 (µk b) =−µkiU d J0 (µk b) J0 (µk d) N0 (µk d) U b J0 (µk b) N0 (µk b) h−= в силу (3.1.12) =··=·µk J0 (µk d) J00 (µk d) N00 (µk d) µk J00 (µk b) N00 (µk b) 22UJ0 (µk b)2U J0 (µk b) − J0 (µk d)·− b·.=d·=·µkJ0 (µk d) πµk dπµk bπµ2kJ0 (µk d)Поэтому для коэффициентов ϕk получаем формулу:π 2 J02 (µk d)·ϕk = 22 J0 (µk b) − J02 (µk d)Zdrϕ(r)X (r) dr =bπ 2 J02 (µk d)2U J0 (µk b) − J0 (µk d)·= 2·=2πµ2kJ0 (µk d)2 J0 (µk b) − J0 (µk d)a−b122= по формуле разности квадратов a − b = (a − b)(a + b) ⇒==a2 − b 2a+bπU J0 (µk d)= 2µk J0 (µk b) + J0 (µk d)Итак, мы уже готовы записатьОтвет:∞Xµ a 2−( kR ) tu(r; t) =ϕk eN0 (µk b) J0 (µk r) − J0 (µk b) N0 (µk r) ,k=1где µk – положительные решения уравнения (1.26.10)J0 (µk b) N0 (µk d) − J0 (µk d) N0 (µk b) = 0,-104-1.27.

№ 780 Б)а ϕk задаются формулой:ϕk =µ2kπU J0 (µk d)J0 (µk b) + J0 (µk d)1.27. № 780 б)В начальный момент времени t = 0 температура бесконечной однородной трубы b 6 r 6 d равна U . Найти распределение температуры в трубе при t > 0если внутренняя поверхность трубы теплоизолирована, а внешняя поддерживаются при температуре T .Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, t) из условийb < r < d, t > 0; ut = a2 · 1r · (rur )r + f (r, t),u(r, 0) = ϕ1 (r),b < r < d;(1.27.1)ur (b, t) = 0, u(d, t) = T,t>0при f (r, t) ≡ 0 и ϕ1 (r) = U .Шаг 0. Избавление от неоднородности в краевом условииВ данном случае естественно искать решение в виде суммыu(r, t) = T + v(r, t).Тогда функция v(r, t) есть решение задачи vt = a2 · 1r · (rvr )r + f (r, t),v(r, 0) = ϕ(r),vr (b, t) = 0, v(d, t) = 0,b < r < d, t > 0;0 6 r < R;t>0(1.27.2)при f (r, t) ≡ 0 и ϕ(r) = U − T .Шаг 1.

Предварительные рассужденияЕсли искать решение задачи (1.27.2) в видеv(r; t) =∞XXk (r)Tk (t),(1.27.3)k=...и предположить, что для f (r, t) справедливо аналогичное представление рядом:f (r; t) =∞XXk (r)fk (t),k=...то, подставив (1.27.3) и (1.27.4) в уравнение vt = a2 · 1r · (rvr )r + f, получим:∞Xk=...Xk (r)T0k (t)∞∞XX1 ∂∂Xk (r)=a·rTk (t) +Xk (r)fk (t).r∂r∂rk=...k=...2Это равенство заведомо верно, если ряды в левой и правой частях равны почленно:a2 ∂∂Xk (r)0·rTk (t) + Xk (r)fk (t),∀k.Xk (r)Tk (t) =r ∂r∂rc Д.С. Ткаченко-105-(1.27.4)Начально – краевые задачи в кольцеПоделив последнее равенство на a2 Xk (r)Tk (t), получим:∂Xk (r)1∂r·0r ∂r∂rTk (t) − fk (t)=.a2 Tk (t)Xk (r)Левая часть зависит только от t, правая – от r, следовательно равны они могут быть тольков случае, когда ∃λk ∈ R :∂Xk (r)1∂r·0r ∂r∂rTk (t) − fk (t)== −λk .2a Tk (t)Xk (r)Таким образом, для функций Tk (t) получаем уравнениеT0k (t) + a2 λk Tk (t) = fk (t),(1.27.5)а для функций X(r) – уравнение:1 ∂·r ∂rкоторое мы перепишем в виде:∂∂r∂Xk (r)r∂r∂Xk (r)r∂r+ λk Xk (r) = 0,= −λk rXk (r).(1.27.6)Это – в точности уравнение Бесселя из задачи (1.1.17) с ν = 0.

Выясним, какие краевыеусловия на X(r) следуют из условий задачи (1.27.1).Условия vr (b, t) = 0 и v(d, t) = 0 превратятся вX0k (b) = 0,Xk (d) = 0.(1.27.7)Шаг 2. Решение задачи Штурма-ЛиувилляДля функций Xk (r) мы получили задачу Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя с ν = 00b < r < d; rX0k (r) = −λk rXk (r),(1.27.8)X0k (b) = 0,Xk (d) = 0.Воспользуемся результатом теоремы 1.1.1, стр. 2.Общее решение уравнения Бесселя (1.1.1)x2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 − ν 2 Z(x) = 0(1.1.1)задаётся формулойZν (x) = c1 Jν (x) + c2 Nν (x),ν ∈ R.0Наше уравнение rX0k (r) = −λk rXk (r) обычной уже заменойpx = λk r,λk = µ2k > 0сводится к уравнениюx2 Z00 (x) + xZ0 (x) + x2 Z(x) = 0,которое совпадает с (1.1.1) при ν = 0.

Поэтому его общее решение задаётся формулойppλ k r + c 2 N0λk r = c1 J0 (µk r) + c2 N0 (µk r) .(1.27.9)Xk (r) = c1 J0-106-№ 780 б)В силу краевых условий X0k (b) = Xk (b) = 0 имеемc1 J00 (µk b) + c2 N00 (µk b) = 0,c1 J0 (µk d) + c2 N0 (µk d) = 0.(1.27.10)Если рассматривать (1.27.10) как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно переменных c1 и c2 , то, учитывая, что нас интересуют нетривиальные решенияc21 + c22 6= 0,определитель этой системы должен равняться нулю: 0 J0 (µk b) N00 (µk b) 00 J0 (µk d) N0 (µk d) = J0 (µk b) N0 (µk d) − J0 (µk d) N0 (µk b) = 0.(1.27.11)Тогда, решив систему (1.27.10), получимc2 = −J00 (µk b) ≡ J1 (µk b) .c1 = N00 (µk b) ≡ −N1 (µk b) ,(1.27.12)Итак, при µk > 0, при которых выполнено равенство (1.27.11), существует нетривиальноерешение (1.27.9) задачи (1.27.8):Xk (r) = J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r) ,(1.27.13)где µk – положительные решения уравнения (1.27.11)J0 (µk d) N1 (µk b) − J1 (µk b) N0 (µk d) = 0.(1.27.11)Шаг 3.

Разложение функций f (r, t) и ϕ(r) в ряд по собственным функциям задачиШтурма-ЛиувилляВыясним, какие формулы будут справедливы для коэффициентов разложения функции ϕ(r)в ряд по системе собственных функций задачи Штурма–Лиувилля (1.27.8). В соответствии стеоремой 3.1.10 (аналог теоремы Стеклова) и теоремой 3.1.11 о собственных функциях задачиШтурма–Лиувилляf=∞XRb(f, Zk )ck ==kZk k2ck Zk (x),k=1xf (x)Zk (x)dxaRb,гдеxZ2k (x)dxakZ(µr)k2 =ZbrZ(µr)dr =12"2r2 −νµ2ar=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).r=ar=aПоэтому функция f (r, t) разлагается в ряд Фурьеf (r, t) =∞Xk=1fk (t) =d2fk (t)X(r) =∞Xfk (t) J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r)2·2Z2 (µk d) + Z0 (µk d) − b2 Z2 (µk b) + Z0 2 (µk b)Zdrf (r, t)X (r) dr.bc Д.С. Ткаченко,k=1-107-(1.27.14)Начально – краевые задачи в кольцеДалее, так как X(r) = J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r),2202Z (µk d) + Z (µk d) = J1 (µk b) N0 (µk d) − N1 (µk b) J0 (µk d) +|{z}=0 в силу (1.27.11)2200+ µk J1 (µk b) N0 (µk d) − N1 (µk b) J0 (µk d)=2J1 (µk b)J1 (µk b)2= так как µk – корни (1.27.11), N1 (µk b) =N0 (µk d) = µk·J0 (µk d)J0 (µk d)2 2 J (µ d) N0 (µk d)J1 (µk b)002· 00 k· J0 (µk d) N0 (µk d) − N0 (µk d) J0 (µk d) = µkJ0 (µk d) N00 (µk d)J0 (µk d)20222J1 (µk b) N0 (µk b) − N1 (µk b) J0 (µk b) +22 J0 (µk b) N0 (µk b)200= µk 0+ µk J1 (µk b) N0 (µk b) − N1 (µk b) J0 (µk b)J0 (µk b) N00 (µk b){z}|=0 тождественноZ (µk b) + Z (µk b) =В силу тождества о Вронскиане из утверждения 3.1.1 J (x) Nν (x)W [Jν , Nν ] (x) = ν0Jν (x) Nν0 (x)2d= 2 , πx2(3.1.12)2202Z (µk d) + Z (µk d) − b Z (µk b) + Z (µk b) =2 22J1 (µk b)222 22 2= d µk·− b µk=J0 (µk d)πµk dπµk b4 J 2 (µk b) − J02 (µk d)= 2· 1πJ02 (µk d)022Итак,f (r, t) =∞Xfk (t)X(r) =k=1∞Xfk (t) J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r)(1.27.14)k=1π 2 J02 (µk d)·fk (t) =2 J12 (µk b) − J02 (µk d)Zdrf (r, t)X (r) dr.(1.27.15)bАналогично, для функции ϕ(r) справедливо разложение в ряд∞∞XXϕ(r) =ϕk X(r) =ϕk J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r)k=1,(1.27.16)k=1с коэффициентамиπ 2 J02 (µk d)·ϕk =2 J12 (µk b) − J02 (µk d)-108-Zdrϕ(r)X (r) dr.b(1.27.17)№ 780 б)Шаг 4.

Составление и решение задачи для Tk (t)Если искомый вид (1.27.3), стр. 105, решения u(r, t) и разложение (1.27.16) функции ϕ(r)подставить в начальное условиеu(r, 0) = ϕ(r),получим, что это начальное условие будет заведомо выполнено, если все слагаемые ряда влевой части окажутся равны соответствующим слагаемым ряда в правой части, то есть будутвыполнены соотношенияXk (r)Tk (0) = ϕk Xk (r).Таким образом, получаем начальные условия на функции Tk (t):Tk (0) = ϕk . 2В совокупности с полученным ранее уравнением (1.27.5), стр.

106, и учитывая, что λk = µRk ,получаем задачу Коши:2 [µ ]2kTk (t) = fk (t),T0k (t) + a R2(1.27.18)Tk (0) = ϕk .Эту задачу мы уже решали не раз (например, в № 780 а)), воспользуемся результатом:Tk (t) = ϕk e−(µk a 2tR) +Ztfk (τ )e−(µk a 2(t−τ )R)dτ.(1.27.19)0Ответ в общем виде:v(r; t) =∞Xk=1−(ϕ k eµk a 2tR) +Zt−(fk (τ )eµk a 2(t−τ )R)dτ  J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r),0где µk – положительные решения уравнения (1.27.11)J0 (µk d) N1 (µk b) − J1 (µk b) N0 (µk d) = 0.а fk (t) и ϕk задаются формулами (1.27.15) и (1.27.17):π 2 J02 (µk d)·fk (t) =2 J12 (µk b) − J02 (µk d)π 2 J02 (µk d)·ϕk =2 J12 (µk b) − J02 (µk d)c Д.С.

Ткаченко-109-Zdrf (r, t)X (r) dr,(1.27.15)rϕ(r)X (r) dr.(1.27.17)bZdbНачально – краевые задачи в кольцеПоскольку в нашем случае f (r, t) ≡ 0, а ϕ(r) ≡ U − T , то нам надо посчитатьRdrϕ(r)X (r) dr.bZdZd rϕ(r)X (r) dr = (U − T ) r J1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r) dr =bbZd= (U − T )J1 (µk b)ZdrN0 (µk r) dr − (U − T )N1 (µk b)bhirJ0 (µk r) dr = x = µk r =b(U − T )=J1 (µk b)µ2kZµk d0xN1 (x)µk b(U − T )d=µkU −TN1 (µk b)dx −µ2k0Zµk dxJ1 (x) dx =µk bJ1 (µk b) N1 (µk d) − N1 (µk b) J1 (µk d) −(U − T )b J1 (µk b) N1 (µk b) − N1 (µk b) J1 (µk b)  =µk{z}|=0 тождественноJ1 (µk b)N0 (µk d) == так как µk – корни (1.27.11), N1 (µk b) =J0 (µk d)−=(U − T )d J1 (µk b) ·· J0 (µk d) N1 (µk d) − N0 (µk d) J1 (µk d)  =| {z }| {z }µkJ0 (µk d)=−N00 (µk d)(T − U )d J1 (µk b)=··µkJ0 (µk d)(T − U )d=µkJ0 (µk d) N00J1 (µk b)·J0 (µk d)· (µk d) −N0 (µk d) J00=−J00 (µk d)(µk d) =iJ0 (µk d) N0 (µk d) h=всилу(3.1.12)=J00 (µk d) N00 (µk d) (T − U )d J1 (µk b)22(T − U ) J1 (µk b)=·=·.·µkJ0 (µk d) πµk dπµ2kJ0 (µk d)Поэтому для коэффициентов ϕk получаем формулу:π 2 J02 (µk d)·ϕk =2 J12 (µk b) − J02 (µk d)Zdrϕ(r)X (r) dr =b2(T − U ) J1 (µk b)π(T − U )J0 (µk d) J1 (µk b)π 2 J02 (µk d)=··=πµ2kJ0 (µk d)2 J12 (µk b) − J02 (µk d)µ2k J12 (µk b) − J02 (µk d)Итак, мы уже готовы записатьОтвет:∞Xµ a 2−( kR ) tu(r; t) =ϕk eJ1 (µk b) N0 (µk r) − N1 (µk b) J0 (µk r) ,k=1где µk – положительные решения уравнения (1.27.11)J0 (µk d) N1 (µk b) − J1 (µk b) N0 (µk d) = 0.-110-1.28.

№ 780 В)а ϕk задаются формулой:ϕk =π(T − U )J0 (µk d) J1 (µk b)µ2k J12 (µk b) − J02 (µk d)1.28. № 780 в)В начальный момент времени t = 0 температура бесконечной однородной трубы b 6 r 6 d равна U . Найти распределение температуры в трубе при t > 0если в трубе действуют постоянные источники тепла плотности Q, а еёповерхности поддерживаются при температуре U .Записав эти условия математически, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(r, t) из условийb < r < d, t > 0; ut = a2 · 1r · (rur )r + f (r, t),u(r, 0) = ϕ1 (r),b < r < d;(1.28.1)u(b, t) = u(d, t) = U,t>0Qи ϕ1 (r) = U .при f (r, t) = cρШаг 0. Избавление от неоднородности в краевых условияхВ данном случае естественно искать решение в виде суммыu(r, t) = U + v(r, t).Тогда функция v(r, t) есть решение задачи vt = a2 · 1r · (rvr )r + f (r, t),v(r, 0) = ϕ(r),vr (b, t) = 0, v(d, t) = 0,b < r < d, t > 0;0 6 r < R;t>0(1.28.2)Qпри f (r, t) = cρи ϕ(r) ≡ 0.Шаг 1.

Характеристики

Список файлов лекций