Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Совокупность сумм диагональных элементов матриц представления называется характером представления. Приведем без доказательства следующие теоремы, доказанные в теории групп. а) число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов группы, б) сумма квадратов размерностей неприводимых представлении равна числу элементов группы (порядку группы), в) суммы диагональных элементов матриц представления для различных элементов одного класса совпадают, г) сумма характеров неприводимых представлений равна характеру того приводимого представления, из которого они образованы. Эта операция называется разложением характера приводимого представления на характеры неприводимых представлений. Чрезвычайно существенны теоремы о единственности указанного разложения и разложения порядка группы на квадраты размерностей неприводимых представлений.
Пронллюстрнруем все изложенные утверждения на примере простейшей группы симметрия равностороннего треугольника (группа 0« или изоморфная ей группа Сз„). Обозначим вершины треугольника буквами А, В, С, а центры противоположных сторон соответственно а, Ь, с, Операции поворота вокруг осей второго порядка Аа, ВЬ и Сс, совмещающие треугольник сам с собой, обо- 49 2а значим А, В, С, а операции поворота на угол — вокрут верти- 3 кальной оси Р и Е.
Для группы С„. элементам А, В, С будет соответствовать отражение в вертикальных плоскостях, проходящих через Аа, ВЬ и Сс. добавляя к этим пяти элементам единичный элемент Е, получаем группу шестого порядка Е, А, В, С, Р, Е. Таблица умножений этой группы приведена в табл. 1.5.
В этой Таблица !.б Таблица умножения группы О, группе содержатся три подгруппы; 1) Е, 2) Е, А и 3) Е, Р, Е и трикласса: 1) Е,2) А,В,СнЗ) Р,Е. Непрнводиа!ые представления группы Р, приведены в табл. 1,6, а характеры неприводимых представлений даны с учетом олина- Таблица !,б Непрнводимые представления группы О, а Г, ! г (1 О ! О !/2 г'3:2 ! 2 у 3/2 — !/2 Уз/2 ' — !/2 )/3(2' 50 ковости сумм диагональных элементов для матриц представления соответствующих операциям симметрии одного класса в табл.1.7.
Таблица С7 Характеры неприводимых представлений группы Па тс, ( с, ад тр о Матрицы двумерного представления Га в табл. 1.6 имеют наглядный смысл матриц преобразования координат х, у в плоскости 2л при повороте на угол — ' для операций Р и Г и отражения отно- 3 сительно линий Аа, ВЬ, Сс для операций А, В, С. На примере этой группы видно выполнение приводившихся без доказательства теорем. Отметим дополнительно, что цифры в таблице характеров группы, стоящие в первом столбце (Е), характеризуют размерность непрнводпмого представления. Перейдем теперь к нашей главной цели — применению теории групп к систематике энергетических уровней ионов и анализу изменения их волновых функций прн изменении симметрии поля, которое действует на ион.
Введение естественного требования пниариантности уравнения Шредингера по отношению к преобразованиям симметрии кристалла приводит к естественному следствию, что после применения элементов группы к во.тновой функции, удовлетворяющей этому уравнению прп некотором собственном значении энергии, должно снова получиться р~шение уравнения с тем же значением энергии.
Иначе говоря, множество всех преобразований симметрии, оставляющее гамильтониан системы инвариантным, образует группу, причем волновые функции (точнее, угловые части этих функций) системы есть базисные функции, на которых определены не- приводимые представления группы.
Следовательно, уровни энергии системы можно нумеровать символами, обозначающими неприводимые представления группы симметрии, а кратность выРождения уровня будет равна размерности неприводимого представления. Понижение симметрии окружения иона или воздействие па ион некоторого низкосимметричного поля может привести к расщеплению уровней, т. е. к понижению нх кратности вырождения. На языке теории групп это означает, что соответствующее дан- 51 ному уровнго представление, которое было неприводимым в случае высокой симметрии, при понижении симметрии становится приводимым.
Определить характер расщепления вырожденного уроння— значит разложить указанное приводимое представление на неприводимые представления новой группы более низкой симметрии, а в силу единственности разложения характеров это расщепление будет определено однозначно и правильность его легко проверить, пользуясь таблицами характеров. Поясним теперь все сказанное на примере расщепления атомных з-, р- и гз-уровней в поле кубическои симметрии (группа Оь) В табл. 1.8 даны сведения о характерах неприводимых представлений группы Оь и базисные функции з-, р- и г(-симметрии, принадлежащие неприводимым представлениям' (уровням энергии) Гь Г„, Гзз и Гнн Заметим, что верхняя левая четверть этой таблицы есть таблица характеров групп Та и О. Итак, мы видим, что р-уровни не расщепляются в поле кубической симметрии (трехкратное вырожденне р-уровня свободного иона сохраняется), а пятикратно вырожденный с(-уровеггь расщепляется на дублет Г,з и триплет Г.з.
Воспользуемся случаем, чтобы показать простым способом принадлежность р-функций представлению Гць В табл. !.9 пока- Таблица 1.9 Таблица преобразовании координат (х. у, а) аля элементов симметрии группы 0» зуг зс хух, хух, хйх ухх, ухх, хху, хху, хух, хух бс ухх,хух. хгу, ухз. х;х, хху 8Сз хху, ухх, хху, ухх, зху, ухх, хху, узх вано, как преобразуются координаты точки (х, у, г) при 24 преобразованиях симметрии группы Оь при ориентации координатных осей вдоль главных осей куба. Остальные 24 элемента группы получаются при добавлении инверсии У и смене знаков у всех ' В первом столбце дэны обозначения неврпволнмых прелставлений по Баукарту, Смолуховскому н Внгнеру, ва втором — хнмн ~еские обозначения, принцип которых слслуюгцнй: А — синглет, Š— дублет, 1 — триплст, и — четный уровень (негабе), а — нечетный уровень (ппхсгадс).
координат в таблице. Первое нз преобразования симметрии С8 осушествляется матрицей ΠΠΠ— ! О О О ! сумма диагональных элементов которой равна — !. Рассматривая аналогичным образом остальные преобразования симметрии и соответствующие нм матрицы, получим, что следы этих матриц дают характер представления Г,6 из табл, !.8, Следовательно, набор этих матриц осушеств.тяет неприводимое представление группы О,„ которому принадлежат базисные р-функции х, у, г. Рассмотренная выше полная кубическая группа Оа — наиболее симметричная из точечных групп. Но на цее тоже полезно взглянуть с позиций понижения симметрии.
Волновые функции свободного водородоподобного атома можно рассматривать как базисные функции трехмерной группы вращений (цептральная симметрия кулоновского поля). В табл. !.(О приведены характеры атомных Таблица 1.10 Характеры атомных 8-, р.. б-функций дап преобразований симметрии группи 08 1 31С! 6г С4 Е зс! 6С4 6С. 8С сэс 8 / Са 5 ( 5 ~' — ~ / 5 з-, р- и г!-функци(1 для преооразований симметрии группы, 08. Сравнцвая эту таблицу с табл. !.8, видим, что характеры представлений для з- и р-функций совпадают, т, е.
представления сохраняют нсприводимость при переходе к группе 06, а представление для Ы-функции стало приводимым и должно быть разложенным на Г„н Газ. Это и значит, что д-уровень свободного иона при помещении его в поле кубическоп симметрии расшепится на дублет и триплет. Дальнейшее понижение симметрии вызовет дополнительное расщепление уровней вплоть до орбитальных спнглетов. Например, для рассмотренной нами группы равнобедренного треугольника получаем, сравнивая табл.
!.!О и !.7, что 6(-уровснь при воздействии на него поля с симметрией 08 или Сз, расшепптся на два дублета (2 Гз) и синглет (Г,). Произойдет это 54 таким образом: дублетный кубический уровень Г„не расщепится (характеры совпадают), а трнплетный уровень Г,з расшепится на дублет и синглет.
Это следует из сравнения табл. 1.10 и 1.8. Ценность теоретико-группового подхода состоит в том, что, пользуясь вм, можно только из соображений симметрии получить физические выводы о классификации энергетических уровней, о расщеплении уровней при понижении симметрии окружения, а также ряд других важных выводов, которые здесь не рассматривалнсь, например о спин-орбитальном расщеплении уровней, о правилах отбора для матричных элементов перехода, наконец, рассмотреть аналогичные проблемы прн учете трансляционной симметрии кристаллов (см. й 2,6). Однако теория групп не в состоянии предсказать порядок следования энергетических уровней и величину их расщепления. К рассмотрению этой задача мы н перейдем в след)тощем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
