Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Интересно отметить, что поверхность Ферми ферромагнигного металла — никеля, которая будет подробно об- суждаться в 5 2.7, относится к этому же типу. У7 7гг)с ЗГВ кгс Рис. 1 1О. Эффеьт зе Гааза — - ааи Альфеяа зля залита (О;; (1111) (41 В закл1очение преобразуем формулу (1.6.23) к виду, когда ею будет удобно пользоваться для конкретных численных расчетов: япе(Ьс 9,55-10т А (1(т)) 11 (1тй) Если подставлять сюда Н в эрстедах, то для сечения поверхности Ферми будем получать значения в (а-пространстве в см -'. Например.
для высокочастотного периода па рис, 1.10 мы получаем А(1/Н) =2Х(0-а Э ' и по формуле (1.6.24) (1.6. 24) 5,ьеп, ек 4,8 10 " см — -' а для низкочастотных Л(1!Н) = 6 !О аЭ вЂ” ' и 5,яееи, си 1,6 !О+" см — '. $1.7. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ИОНОВ В КРИСТАЛЛАХ В данном параграфе мы рассмотрим некоторые элементы тео. рии групп и теории симметрии кристаллов в той мере, в какой они понадобятся для понимания дальнейшего материала, 46 Для первого из сечений радиус йи=(,2 10 ' см ', и, следовательно, орбита занимает почти всю элементарную ячейку в представлении обратной решетки (см. Э 2.6 и 2.7).
Симметрия кристалла определяется совокупностью тех операций, которые совмещают кристалл сам с собой. О таких операциях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представить в виде комбинации трех основных типов преобразований: 1) поворот на определенный угол вокруг некоторой оси, 2) зеркальное отражение в некоторой плоскости и 3) параллельный перенос тела на некоторое расстояние.
Если кристалл совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2л/и, говорят, что он обладает осью симметрии л-го порядка. Операция зеркального отражения в некоторой плоскости соответствует наличию плоскости симметрии, а одновременное применение обоих этих преобразований — поворота и отражения — приводит к так называемым зеркально-поворотным осям. Зеркально-поворотная ось второго порядка представляет собой преобразование инверсии„ эквивалентное отражению в точке— центре инверсии. Совокупность всех преобразований симметрии данного кристалла называют его группой преобразований симметрии, или просто группой симметрии.
Следует подчеркнуть, что в квантовомеханических применениях преобразования симметрии рассматривают как преобразования координат, оставляющие гамильтониан данной системы инвариантным. Изучение групп симметрии удобно производить с помощью общего математического аппарата теории групп Я. Преобразование, входящее в состав группы, называется элементом группы. Лля любых двух элементов определена операция произведения. Мы будем рассматривать группы, каждая нз которых содержит конечное число различных преобразований -- конечные группы. Полное число элементов группы называют се порядком. Группа обладает следующими свойствами: 1.
Произведение любых двух элементов группы (в нашем случае последовательное применение двух преобразований симметрии) есть элемент той же группы. 2. (ЛВ) С=Л (ВС) (ассоциативность произведения). 3. Существует единичный элемент Е~р=зр, 4. У каждого элемента группы существует обратный ему элемент. Последовательное нх применение дает единичный элемент АА '=Е.
Легко показать, что ЛА '=Л 'А, (ЛВ) — '=В 'А '. При неценные свойства полностью определяют понятие группы. Группа в абстрактном смысле полностью определяется зада нием таблицы произведений ее элементов, хотя конкретно за символами элементов могут скрываться совершенно различные опера. ции. Две группы с совпадающими таблицами произведений называются изоморфными. Коммутативности в общем случае нет, т.
е. АВэьВА. Если же группа коммутатнвна, то она называется абелевой. Частным случаем абелевых групп являются так называемые циклические группы, все элементы которых могут быть получены путем возведения одного пз элементов в последовательные степени. Если из группы 6 можно выделить такую совокупность элементов, что она тоже составляет группу, то ее называют подгруппой группы б. Два элемента А и В называются сопряженными, если А = = СВС ', где С вЂ” элемент этой же группы.
Если А сопряжено с В, а В с С, то и Л сопряжено с С. В этом случае можно говорить о совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом. Такие совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом, называют классами группы. Единичный элемент группы сам по себе составляет и класс и подгруппу. Но, вообще говоря, класс группы отнюдь необязательно является ее подгруппой.
Преобразования, входящие в состав группы симметрии кристалла, могут быть такими, чтобы по крайней мере одна точка кристалла оставалась неподвижной при применении любого из этих преобразований. Группы симметрии, обладающие указанными свойствами, называют точечными группами. Приведем примеры некоторых точечных групп. 1 Группы С„содержат всего одну ось и-го порядка. 2. Группа С„ь получается присоединением к оси и-го порядка перпендикулярноп к ней плоскости симметрии. 3. Группа С„,.
Если присоединить к оси симметрии л-го порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще (л — 1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами л/л. 4. Группа 0„. Если к оси л-го порядка добавить перпендикулярную ен ось второго порядка, то это приведет к появлению еще 1л — 1) таких же осей, так что будет всего а горизонтальных осей второго порядка, пересекающихся под углами л/п.
Наиболее интересны для нас группы, названные кубическими, потому что их элементы симметрий можно набрать нз числа элементов спмметрпп куба. 5. Группа Т (группа тетраэдра) состоит из осей симметрии тетраэдра. Оси второго порядка соответствуют осям, проходящим через центры противоположных граней куба, оси третьего порядка в пространственным диагоналям куба. Группа содержит 12 элементов, распределяющихся по четырем классам. б. Группа Гь Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра, которые можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и одну ось третьего порядка. Эти плоскости содержат каждая по два противоположных ребра куба и соответственно по две диагонали, соединяющие их вершины.
Порядок группы равен 24, она содержит пять классов. 48 7. Группа О (группа октаэдра) состоит из осей симметрии куба. Группа О нзоморфна с группой Та. 8. Группа Оа включает все преооразования симметрии куба н может быть получена добавлением к группе О центра инверсии. Группа содержит 48 элементов, разбитых на Гб классов. Применение операции симметрии к некоторой функции координат ф; преобразует ее в некоторую новую функцию ~рь Пусть теперь мы имеем систему линейно преобразующихся друг в друга при преобразованиях симметрии функций фы ., ф„. Операторы, осуществляющие этн линейные преобразования, можно задать в анде квадратных матриц, Очевидно, что этн матрицы подчиняются таблице умножения данной группы.
Совокупность этих матриц называется представлением группы, а совокупность функций, с которыми осуществляются линейные преобразования — базисом, на котором определено данное представление. Если теперь удается, взяв произвольные линейные комбинации исходных базисных функций, преобразовать одновременно матрицы представления к однотипному блочному виду (блоки — симметричные относительно диагоналей матриц «квадраты» отличных от нуля элементов), то представление называется приводимым. В этом случае, очевидно, можно понизить ранг матриц представления путем перехода к матрицам-блокам н соответственно число базисных функций по сравнению с исходными. Если дальнейшего понижения ранга матриц провести нельзя ни при каком линейном преобразовании базисных функций, то полученные представленпя называются неприводимымй. Ранг матриц представления определяег размерность представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
