Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 7
Текст из файла (страница 7)
о Электронный газ для нашей цели удобно рассматривать находящимся в двух подсистемах (подзонах) с противоположным направлением спинов (см. рнс. 1.8), причем в отсутствие внешнего маг40 нитного поля электроны каждой подзоны заполнят равное число состояний ниже уровня Ферми и магнитный момент системы будет равен нулю (а), После включения внешнего магнитного полн энергия электронов каждой подзоны изменится. Для параллельных )-спинов она будет равной Е,— рвН, а для анз ипараллельных )-свинов Ег+ 1свН, кто ! ) 7~,Ю ! ~г Е:д ! ! ! ( г- У Р ГГ1 и Рас.
1.8 т. е. подзона т сместитсЯ вниз на величинУ нвН, а подзона 4 сместится вверх иа ту же величину (рис. 1.8,б). Одинаковое их заполнение уже не соответствует минимуму энергии системы. Требование минимума энергии заставит переходить электроны из подзоны ~ в подзону ) вплоть до равенства Ек и Ек (рис. 1.8,в). т Следовательно, намагниченность можно получить из соотношения ввтявв ви ивв 1= рв(Л1+ — У вЂ” ) = — )св ( ~ м(Е)с(Š—- ! 2 о т(Е) ЙЕ == ер -нвп 1 =- — (зв ~ м (Е) с(Е ам нв Не!Ей 2 вв — нвв и (1.6.2) и.
= рве(Ег). Каи известно, для свободного газа электронов (!.6.3) Г гле У в число электронов в единице объема и, следовательно, (1.6.4) 12т 1 я; ~,з с ЗЛРв ип ( ! рВН и* (,З1 2пв (1.6.5) 41 Эта формула была впервые получена Паули в 1927 г., поэтому парамагпитную восприимчивость металлов называют паулиевской воспрш1мчнвосгью. 1!з формулы (1.6,5), во-первых, следует температурная независимость парамагнитной восприимчивости металлов и, во-вторых, объясняется ее малая величина, поскольку вместо тепловой энершш ЙТ в (1.5.11) здесь стоит на два-трп порядка большая величина — энергия Ферми электронного газа Ее Прп рассмотрении парамагнетпзма Паули мы не учитывали орбитального движения электронов в магнитном поле, т. е.
их дпамагнстнзма. Согласно теореме Бора — Ван-Левен (й 1.3) дпамагнитная восприимчивость электронного газа (как, впрочем, и парамагндтная) должна равняться нулю. Ландау решил уравнение Шредингера для электрона в магнитном поле и показал, что диамагнитная восприимчивость системы свободнык электронов отлична от нуля. Уравнение Шредингера для одного свободного электрона в магнитном поле Н=Не имеет внд 1 ' е ! р — — А ) еР =- Е~ф, 2т с (1.6.6) ф = —. ее(х, у, г)екр ( — е Не ху 2~ Л (1.6.8) Тогда (1.6.7) запишется так: др — — Ле — — = — х — - - х' р = Ееа. 2т тс Е ду 2тс' (1.6.9) Далее, делая подстановку ср(х, у, г) = Л(х) ехр2п!(/г„!/--/е,г), получаем уравнение для Л(х): ЛЛе 1 Ьп ~!ее ет, с / Гвп Это уравнение есть уравнение Шредингера для одномерного гармонического оспиллятора, который колеблется около положения равновесия (1.6.10) 42 или в развернутом виде (см.
(1.5.13) н (1.5.15)): Л' Не Л / д д Неее — — Лф; — ' — - ~ х — — е/ — ) ф -- (хэ ъ - у') ф = Еф, 2т ' 2тс ! ~, ду дх / 8тсе (1.6.7) Теперь уже нельзя пользоваться теорией возмущений, как в ~~ 1.5, так как Е,- 10 эВ, интервал между энергетическими уровнямн АЕ-10-ее эВ, а РвН-10 ' эВ. ПРедставнм ф в виде сл х' = — — lг еН (1.6.11) с частотой ларморовской прецессии е отс О- тс (1.6.!2) Собственные значения энергии для этого случая известны: л«аа Е„= — ~ --'- Йга (п —— 2т «21 (!.6.13) Н,е зне ( — — «у Ьь а! тр„а ась а й (х) стаса .е и е Формула (1.6.13) определяет энергию уровней Ландау.
УНЮ Интервал между двумя соседними уровнями равен нас ЬЕ= — = геев„= 2рвО. 2ятс (1.6.15) (1.6.!4) Следует отметить, что движение электрона вдоль оси г не изменяется магнитным полем, остается свободным (см. 1.6.14) н не квантуется. Квантование траекторий происходит только Г при движении электрона в 2 !гете с,о, Ел плоскости хйт Наглядно это 2 2' можно себе представить га!сим образом, Если для сво. Рнс. 1.9, Плотность соетоянай элекбодных электронов до вкл отронного газа с учетом квантованнн Ландау чення маги!много поля все состояния внутри сферической поверхности Ферми были заполнены равномерно, то после включения поля они стягиваются на поверхности коаксиальных цилиндров, параллельных оси г и имеющих в импульсном пространстве радиусы р„, определяемые из соотношения — лое 5 г (! .6.! 6) где п=0, 1, 2 ...
— номера уровней .Чандау, Соответствующая собственная волновая функция, найденная с учетом (1,6.10) и (1.6.8): л ~г — — (ха-'-1)рао г(й„ (!.6.17) га где множитель перед знаком интеграла есть д„— статистический вес, кратность вырождения уровня Ландау. Выполняя интегриро- вание, получаем «=0 Суммирование также выполняется непосредственно. Поскольку 711 е 'ъ ' е ы ) ! 2 зя х гао (ЗяпФТ)' -' (1.6.!9) а'" ран зь ИТ н, следовательно У = — й(ра ~ сбз — — ) = — й7рв(.
( ), (1.6.20) рао ат ~ ~ рагг ' ат рвн ) , ат при !хвН(( йТ а/и~а Х 3 ИТ (!.6.21) Таким образом, диамагнптная восприимчивость обратна по знаку и составляет одну треть соответствующей парамагнитпой восприимчивости (1.5.!1). Этот вывод сохраняет силу и для вос- 44 Г!лотность состояний электронного газа приобретает вследствие этого «зубчатый» характер (рнс. !.9) на фоне исходной параболы. Суммирование по этим состояниям приводит к термодинамическому потенпиалу, который соответственно дает два вклада в восприимчивость, первый из которых определяет диамагнетизм Ландау свободного электронного газа, а второй приводит к осцилляционным эффектам, в частности к эффекту де Гааза — ван Альфена.
Расчет диамагнитной восприимчивости Ландау приводит к одинаковому ее отношению к парамагнитной восприимчивости как для невырожденного, так и для вырожденного электронного газа. Мы приведем здесь только более простой вывод диамагнитной восприимчивости невырожденного электронного газа, а второй результат приведем без вывода. Для невырожденного электронного газа мы можем пользоваться статистикой Больцмана: приимчивости вырожденного электронного газа, когда нужно вос- пользоваться распределением Ферми — Дирака ! и =- — — х„ ""а 3 (!.6.22) где восприимчивость Паули я, определяется формулой (1.6.5).
Учет «зубчатой» структуры кривой плотности состояний, учет осциллирующей добавки к термодинамическому потенциалу приводит к осцилляционным квантовым эффектам, подробная теория которых дана во многих монографиях, например в 14!. Физическая основа появления всех осцилляционных эффектов состоит в том, что изменение магнитного поля, практически не влияя на положение уровня Ферми, изменяет в соответствии с (1.6.!6) интервал между уровнями Ландау и поэтому при монотонном изменении магнитного поля уровни Ландау, пики плотности состояний на рнс. 1.9, периодически проходят через уровень Ферми.
Ясно, что ситуация, когда уровень Ферми совпадает с пиком плотности состояний, отличается по энергии от ситуации, когда уровень Ферми попадает в провал между двумя пиками, что приводит к осцилляции термодинамического потенциала и вследствие этого к осцилляциям всех физических характеристик металла при низких температурах, если их измерять при монотонном изменении внешнего магнитного поля. Первыми были экспериментально обнаружены осцилляции диамагнитной восприимчивости металлов при низких температурах — эффект де Гааза †в Альфена.
Количественная теория этого эффекта привела к следующей формуле для периода осцилляций по обратному магнитному полю А(!,~Н) = 2ла!йс5, (1.6.23) 45 где о' — экстремальное сечение поверхности Ферми. Отсюда следует, что, измерив экспериментально периоды оспилляций, т. е. Расстояния между максимумами магнитной восприимчивости в зависимости от магнитного поля, мы получаем замечательную возможность определить все экстремальные сечения Ферми-повеохности данного металла. Изменяя ориентацию магнитного поля относительно кристаллографических осей, можно, очевидно, получить полезнейшую информацию об электронной структуре металла„причем различные осцилляционные эффекты дают количественные характеристики Разных параметров поверхности Ферми.
На рис. 1.10 приведена экспериментальная кривая осцилляций магнитной восприимчивости золота, полученная при ориентации Н~! 111!1. Ясно видны два типа осцилляций: высокочастотные, соответствующие большим центральным экстремальным сечениям поверхности Ферми золота (см. в 2.7), и низкочастотные, соответствующие так называемым :шейкам в местах контакта поверхности Ферми с поверхностью зоны Бриллюэиа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
