Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(1.4.24) -л'~ ! ь' Таким образом, при переходе через середину группы многоэлектронный параметр спин-орбитального взаимодействия изменяет знак, оставаясь по форме (но не по величине!) неизменным. Расстояние между соседними уровнями данного терма определяется правилом интервалов Ланде (вывод формулы совершенно аналогичен выводу формулы (1.4.19) ) ЛГ~.~ — '~ = ь а() —, !). (1.4.25) Из этой формулы, в частности, видно, почему только для ионов Ьт'"' и Епа' в табл.
!.4 пришлось вводить поправку на влияние ближайшего возбужденного уровня, С учетом вышеизложенного легко найти ширину основного герма — разность энергий между верхним и нижним уровнем. Оказалось, что она равна ( 5 (2Л -,'- 1) 5„, для ь ~ 5, т!и шах ~ Т (2Я ' !)ь для ~ ( Я В заключение можно оценить величину а„ь по которой сразу же определяется 3ьв. Прямые расчеты одноэлектронного параметра $„~ в водородоподобном атоме привели к формуле 2т~с~азо и ~! ! ) ! 2 ) Теперь с учетом того, что Ф=- 25 и при предположении, что Ем не зависит от 1, формула (1.4.20) примет вид где Лоо,~,=Л вЂ” о — эффективный заряд ядра с учетом экранировки заряда электронами внутренних оболочек, а о, †боровск радиус В частности, для Зд-электронов ооо = 1,44 10='Ло см-'.
(1.4.28) Экспериментальные значения о~з для Зп'-ионов приведены в табл. !.3„ а значения эм в табл. !.4. Приведем для ориентировки численные значения =,4;, рассчитанные по формуле (!.4.27) при о=35 для двух редкоземельных ионов. Лля празеодима (2=59) а4,=720 см-' и для туллия (2=69) Ь~= 2900 см-~ й кз. ПАРА- и диАмАГннтизм сВОБОдных иОИОВ Рассмотрим систему, содержащую Ж невзаимодействующнх частиц в единице объема, каждая из которых обладает магнитным моментом р,.
В сферической системе координат направление ро можно задать полярным и азимутальным углами 0 и ~р. Угол 0 отсчитывается от оси г, вдоль которой направлено внешнее магнитное поле Н. Энергия магнитного момента ро во внешнем магнитном поле Н не зависит от ~р и равна Ен = — роН = — роН соз О. Фазовый интеграл в этом случае запишется так: (1.5.1) 2а я шнсооа Т. ~~ д ~ е ог !пйг!0~ ( ~~~~ 5 Ро ) о о Термодинамический потенциал Ф = — 'яТ 1п 2, и, следовательно, на- магниченность 7= — — = — А~И,(с!!1 — ' — — ) = дФ г Рои яТ дН дТ РоН =-!ур (сйа — — ~ = Л'роЕ(а), а ) (!.5.2) здесь а=ро17(лТ, а Ь(а) — функция Ланжевена. Видно, что при а- оо (низкие температуры или сильные магнитные поля) 7=А'ро, т.
е. парамагнетик намагничивается до насыщения. При а«1 (средние температуры и малые магнитные поля) (!.5.2) приобретает вид 7= й7ро — = — 77 = — 77, а Аио С 3 З'оТ Т (1,5.3) 35 где С = Ур-',!Зй — константа Кюри. Отсюда можно определить маг- ~~~ную восприимчивость 1 !хне Х (1.5.4) и зат т т. е.
мы получили закон Кюри для парамагнитной восприимчивости. В этом расчете мы предполагали, что каждый магнитный момент может быть направлен произвольно, т. е. рассматривали классический случай, При учете пространственного квантования углового момента количества движения з-компонента магнитного момента щ 1г Р, = 8)!вы, = Р, —. (1.5.5) (1.5.6) фазовая сумма Е =- ') йг„ехр( — Е„(ИТ), л (1.5.7) и, следовательно, Х вЂ”, 1г — ехр (1гр~~О/1ЙТ) 1= — — = Ж)х, Х ехр (1г!г~~Н(1лТ) !т)г 1 с11! а — — с!Ь вЂ” ) = й!)хлгВг (а), (1.5.8) ,„ /21+1 21+! ! а г 1 л1 21 21 21 г арв1Н ~,"И где а = = †, а Вг(а) †функц Бриллюэна.
Видно, что лТ лТ при переходе к классическому пределу 1 в ео функция Бриллюэна переходит в функцию Ланжезена. При а- ео (сильные поля или низкие температуры) 1=А!!гг, т. е. достигается магнитное насыщение. Для тех парамагнитных кристаллов, в которых можно пренебречь воздействием электростатических полей соседних ионов на магнитоактивные ионы, формула (1.5.8) дает превосходное согласие с экспериментом (см.
рис. 1.7). При а~! функцию Бриллюэна Вг(а) можно разложить в ряд Б,(н — 1+ ! (1+ !) +1 (1+ !! нг 31 271г и уравнение (1.5.8) принимает вид ""'" 1(1+ 1). (1,5.9) 36 где 7 — максимальное значение 1„ а р, = й)гвХ вЂ” максимальное значение р,..), принимает значения 7, У вЂ” 1, ..., — (7 — 1), — г. Энергия магнитного момента во внешнем поле 0 10 20 Ю0 90 — х 70 3/ерад Рнс. !0. Зависимость намагниченности от ноля нарамагннтнмх ионов в кристаллах 13) случаев с другим значением момента р. Например, когда орбитальный магнитный момент «заморожен» кристаллическим полем (см.
3 !.8), то следует пользоваться формулой Урз знТ (1,5.1!) Используя нз (1.4,5) выражение рт — — ятрв .!()+1), запишем уравнение (1.5.9) в форме, совпадающей с (1.5.4): (1.5.!О) за7 Используя формулы (1.4.э), можно нз простых физических соображений получить формулы типа (!.5.!О) для различных частных где )лэ= 2Рв 1е о(5-- 1). Когда связь между Е и 5 разорвана и онв дают независимые вклады в парамагнетизм, то у!ле х= (1.5.12) зат где )лекиф = рв(Е(Е - 1) 4о (о — 1)]"-', Мы рассчитали парамагнетпзм системы атомов, находящихся в основном состоянии. Рассмотрим теперь задачу о пара- и диамагнетизме свободных ионов во втором приближении теории возмущений, т. е.
учтем влияние возбужденных состояний. Галмьтьтопиап для одного из невзаимодействующих ионов может быть записан в виде Щ = л~ч — ~ре — — А,) -'; К (х„уо г,), (1.5.13) ~е2т;, ' с Суммирование ведется по всем электронам попа, 1с — потенциальная энергия системы, не зависящая от Н, А — вектор-потенциал. Если Н направлено вдоль г, то компоненты вектор-потенциала можно выбрать такими: А, = — — у,Н, А„= — х;Н, А, = О. (1.5.14) С учетом этого (1.5.13) принимает вид е Я=- э ~ — ' — Н вЂ” (х,р„— уев, ) —: 2т 2тс — Н' ~ — ~ (х'. — у'.)1 — 'г'(хо у;, г,). (1.5.1 5) — (х р, — у ре ) — оператор г-компоненты орбитального магнитно- 2тс го момента, поэтому е ее Я = э ! — ' — Нр, —, Н' — (х-', —,' уг) ~ -'- $е(х;, у,, г;). (1.5.16) .й1 ! 2т втсе е 38 Если теперь предположить, что магнитное поле мало изменяет исходную систему энергетических уровней иона, то члены с Н в (1.5.16) мы можем считать энергией возмущения и во всех дальнейших разложениях ограничиваться членами, квадратичными по Н.
Тогда, обозначив энергию а-го основного уровня иона без внешнего магнитного поля через Е„, а возбужденных уровней через Е„ получим для энергии з-го уровня в присутствии поля Н выражение Ее= Есе — О(Рг)ь-: — ., В(х-; — У-';)~ — Е 7 .(1 ')Т) „ч-ч ~ (н.)„!е 8тсе Е;е — Ет Б х5 Индекс з означает среднее значение в а-том состоянии, двойной индекс Ы вЂ” матричные элементы при а че з'. Сумма состояний после разложения экспоненты д =~~) ехр( — — "(1-- н')е — — ~, ~ (х! -У),— УТ ! аТ аТ ! 8тсе 5 у ~ (8.),г р (н,)'-,' Ег„— Е,е 'МТ (1.5.18) Н дсв М х Х Н дН ~„ехр ( — Е,е(еТ) 5 Х ~~~~ехр ~ — —" ~ ',:- 2 ~)~ '" ' (х-", У!) ~~ (!.5.19) Первое слагаемое в квадратной скобке дает уже полученные выше формулы для парамагнитной восприимчивости, третье слагаемое — атомный диамагнетизм.
Наиболее интересно второе слагаемое, приводящее к так называемому парамагнетизму Ван-Флека !3!. Обращая внимание на те1шературную независимость этого слагаемого и пренебрегая вкладом диамагнитного члена, можем записать л'и,(, х= '' ф -,'-Л'и, З(сТ (1.5.20) где первое слагаемое может обратиться в (!.5.10), (!.5.11) нлп (1.5.!2), а второе слагаемое определяет вклад парамагнетизма Ван-Флека. Расшифровка квантовых чисел иона, скрывающихся в формуле (1.5.19) под индексом з, и выполнение суммирования привели к следующим конкретным выражениям для х.
В случае узких мультнплетов Е,' — Еее=йч(/, .(') к,йТ, н и=О, что формально является следствием равенства йт((, .(') = = — йч((, .(). В случае широких мультиплетов йч((,,(') »йТ, и первое слагаемое (1.5.20) совпадает с (1.5.10), а 39 Учитывая, что ') ехр ( — Е„(йТ) (р,), =- О, для восприимчивости 5 системы У ионов получим А' — ~ () 1 (1521) а ~ 1 где Е(У) = — ((5 -- У.
— !)е — Ух) (Ух — (5 — У.)е). В случае средних мультиллетов йт(У, У') =)еТ естественно получается наиболее сложное выражение 1 ~~а' А: ~„(Р~)Заг-„'-а„) (2У+ 1) ехр ( — — ) (1.5.22) ( Еаа (-,Т (22+ 1) ехр Ь вЂ” — У) где значок У при а означает, что перед подстановкой в каждое слагаемое суммы в числителе нужно рассчитать а в (1.5.20) при фиксированном У. По этой формуле были рассчитаны значения магнитных моментов ионов Ьшо и Еп', приведенные в табл. 1.4. й 1.6. ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ МЕТАЛЛОВ Прежде чем перейти к подробному рассмотрению поведения парамагнитных ионов в диэлектрических кристаллах, обратимся к парамагнитным металлам. Если бы газ электронов проводимости в металле подчинялся законам классической механики для невзаимодействующих магнитных ионов, то его парамагнитные свойства были бы аналогичны свойствам только что рассмотренного ланжевеновского газа.
Однако эксперимент показал, что ни один из металлов не обладает магнитной восприимчивостью, следующей закону Кюри. Восприимчивость ларамагнитных металлов очень мала по абсолютной величине, примерно на два порядка меньше, чем это следует нз формулы (1.5.1!), и практически не зависит от температуры. Для объяснения поведения электронного газа в металле оказалось необходимым учитывать принцип Паули, приводящий к статистике Ферми — Дирака. Рассмотрим электронный газ с произвольной зависимостью плотности состояний х от энергии. Очевидно, что при абсолютном нуле полное число занятых состояний будет равно еа т(Е) х(Е = й(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
