Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Запишем одно из гюлученных уравнений, например Е,~~~ ') ф» и (1) ~~>д ~ (2) ф ~Хт = ~ ) ф» и (1) фд ~ (2) Н ф ~1т. (2.2,8) Выполняя интегрирование справа и учитывая (2,2.1) и (2.2.2), а также самосопряженность Н, получаем ~~) а (! ) р (2) ~ ф Н ф, (! ) ф» (2) г(т = = ~) а (! ) р (2) ~ ф ~ 2Е, + е' (— — — -,'- — ) ~ ф.
(1) ф,(2) (~. 1, 1 (2.2.9) Подставляя (2.2.9) в (2.2.8), имеем (Е 2Ео) ) а(1) )3(2)~Ы гфф,(!)фь(2) = с = ео ~) а (1) р (2) ~ ф ~ о ) ~р,(1) р (2)г(т. (2.2.10) Аналогичным образом можно получить остальные три уравнения и записать систему уравнений в следующем аиде: ,'~ С,(и,„+(2Е,— Е)5ь,) = 0, о (2.2.11) где Но 5со и Ооь обращаются в нуль, если! и А относятся к различныч результирующим спинам 5, поэтому ф и фо с произвольными коэффициентами С1 и Со являются правильными волновыми функциями нулевого приближения, относящимися к состояниям с и,=! и и,= — 1. Найдем собственное значение энергии Е для первого состояния.
Первое уравнение из (2.2,11) имеет вид Нм + (2Ео — Е) 5м = 0 (2.2.16) где 5„= ~ ь(т (ф. (1) фь (2) — фь (1) Ф. (2)И, (1) фь (2) = 1 — 5', (2 2.17) Н„=С вЂ”,). (2.2.18) При этом + ~ ь(т (2.2.19) гоо гьо гы Г С= е'~фо(1) фьь(2) ( 94 5; = Е5ь ~ (т М. (1) Ч ь (2) (2.2.!2) о Н;ь= ео ~)~~5 ~с(тф; ( — — + ) ф,(1)фь(2), (2.2.13) ~ гоо г,о гьо го у о 5г= а(!)а(2), 5о= р(1) а(2), (2.2.14) 5о = а (1) р (2), 5, = р (1) р (2). (2.2.!5) представляет собой кулоновское взаимодействие атомов водорода, а 1= е~ф,(1) Чь(2)зр (2) фь(!) ( (2.2.20) есть так называемый обменный интеграл. Энергия для случая т,=! согласно (2.2.16) равна Е= 2Ео —, (2,2.21) ! — Бз ' Такое же значение получается и для случая т,= — 1 из четвертого уравнения. Перейдем теперь к случаю т,=О.
Собственные значения энергии теперь получаются нз условия равенства нулю определителя из коэффициентов при Са и Сз во втором и третьем уравнениях (2.2.1 1): Наа + (2Ео Е) Еаа Наз + (2Ео Е) оаз = О, (2.2.22) Нза+ (2Ео Е) Бза Наз+(2Ео Е) Еаз где ф. = (фа — фз),'У2. (2.2.26) в случае же отрицательного знака С вЂ” з' Еа = 2Ео -г —, ° 1 — Бз ' (2.2.26) ф~ = (фа+ фз)/У2 .
(2.2.27) Видно, что второе собственное значение тождественно с собственным значением (2.2,21), полученным при т,= ч=!. Следовательно, три собственные функции фь ф4 и ф, вырождены, Во всех трех случаях результирующий спин имеет величину 5=1. Собственные функции ф, и фа представляют собой произведение пространственной функции на спиновую функцию и соответствуют полному спину 0 и 1 фа = [тьа ( ) фь (2) + фь (1) фа(2)3 [а (1) еа (2) — еа (1) и (2)], 8аа= 8зз= 1 Еаз= оьз = Наа= Нзз= С Нзз= Нза= Поэтому Наа+(2Ео — Е)8за= + [Наз (2Ео — Е)Еаз) (22 23) Выбрав положительный знак, получаем Ез= 2Ео (2.2.24) фь =[фа(1)фь(2) ьРь(1)фа(2)) [а(1)Р(2) — Р(1)а(2)).
Таким образом, из четырех полученных уровней мы имеем три вырожденных — трипзет (5=1) и один отдельно лежащий уровень — синглет (5 = О), Триплетное состояние соответствует «ферромагнитному» состоянию молекулы водорода, а синглетное— «антиферромагнптному». Какое из этих состояний будет реализовано, зависит от знака обменного интеграла.
Синглетный уровень обладает большей энергией, если С+Л С вЂ” Х (2.2.28) ! -1-у ! — у т. е. если 7>С5', но кулоновское взаимодействие того же порядка, что обменный интеграл 1, кроме того, собственные функции ьР, и почти ортогональны, так что 5«1. Таким образом, условие (2.2,28) практически принимает вид У>0. Для молекулы водорода ь' отрицательно и велико.
Мы установили таким образом, что в квантовой механике появляется связь энергии кулоновского взаимодействия электронов с их суммарной намагниченностью. Часть электростатической энергии является энергией обмена. Эта энергия не имеет классического аналога и исчезает в пределе й — ~-0.
й 2.3. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ НА У АТОМОВ. МОКСЕЛЬ ФРЕНКЕЛЯ вЂ” ГЕИЗЕНБЕРГА Основная идея, внесенная в теорию ферромагнетнзма Френкелем [21 и Гейзенбергом [31, заключается в том, что та существенная зависимость энергии от намагниченности, которая вытекает из принципа Паули, может сделать намагниченное состояние энергетически более выгодным. Простейшая модель ферромагнетизма основывается на представлении, что вся обусловленная принципом Паули зависимость энергии от намагниченности проявляется посредством энергии обмена, а математически задача представляет собой непосредственное обобщение на случай большого числа атомов теории молекулы водорода Гайтлера — Лондона. Итак, рассмотрим совокупность М водородоподобных атомов, настолько удаленных друг от друга, что в нулевом приближении их взаимодействием можно пренебречь.
Предположим, что во всех этих атомах периферический электрон находится на з-орбите. В таком случае имеется 2и возможных состояний для кристалла, так как каждый электронный спин имеет два направления, Отдельные атомы пронумеруем от 1 до У и будем обозначать их латинскими буквами и и ьп, электроны обозначим греческнми буквами 1ь, т, которые также пробегают значения от 1 до Х.
Собственная функция ф„(т) т-го электрона, находящегося у и-го атома, удовлетворяет уравнению Шредингера 96 а» / «2 — б ф«(гъ) 1- ( Ео — ' —,) ф„~(гр) = О. (2.3.1) и« Собственные функции отдельных атомов предполагаем ортогональ- ными ~ ф (г )ф„(г~)«(т= О при тчьп. (2.3.2) Уравнение Шредингера для кристалла можно записать в следующем виде: к 'и м и=! р=-! «=! (2.3.3) Оно приближенно удовлетворяется волновыми функциями, выбранными в виде детерминантов Слетера М-го порядка $»а(1) ф»а(1) ...
ф., !а(1) ф.,Р(1)... »Р.,(!(1) ф»а(2) ф»а(2) ... ф,, ! а(2) фр,() (2) ... ф„, р(2) ф!«!) = »р«м, ф! а (Л!) ф» а (Л!)... ф,, !а (Л!) фыр (Л!)... »р,,р(М) (2.3.4) Индексы у ф указывают, у каких атомов имеются «отрнцательные» спины. »р („!) удовлетворяют принципу Паули (перестановка столбцов эквивалентна перестановке двух электронов), но еще не являются правильными вочновымн функциями нулевого приближения. Д~ля решения задачи нам необходимо будет отыскание матричных элементов типа ) ф( „) Н ф( ) «Х т. Ф(„!) = ф»(1) ф»(2) ...
ф,(Л!) а,(1) а(2) ... р(п!) а(п, —; 1) ... ... а (п» вЂ” 1) () (и ) ... а (Л!) = П ф! (!) 5(„!) (2.3.5) В силу симметрии ф и Н матричные элементы будут распадаться на Л!1 (аналогично 2! слагаемым предыдущего ф 2.2) равных сла- гаемых 4 г.
с. к»и«чик В качестве «представителя» детерминантных волновых функций будем брать произведение диагональных элементов в (2.3.4) !р(" ) ф(«') т= )у! ) !ф("!) Губз '! Ж1~ф( )~МЕ е ~ 7' ~~~Р ~ з ~'~ )~Ф ° дт. (2.3,6) Точно так же (2.3.7) При этом УС=с'1ПФ„(и)~ Х 1 Х ! + Х ! ),(т= и=! < «Ф» э<» С „= ~~1~ е'~ ~4(!) ф«(2) !'— ! г„щ г«,» а<« я<« 1, 1 — — — — ) с(т,о!т« бв гм / (2.3.9) представляет собой сумму кулоновских взаимодействий всевоз- можных пар атомов т, л, а ,7.„= г~ф. (1) ф„(1) ф.(2) ф„(2) ~ — ' ~юил о«2 — — — ', — ) ~!т,г(т» 1, 1 (2.3.!0) он гь« представляет собой обменный интеграл между атомами лт и и. Спи- В «энергию возмущения» в уравнении (2.3,6) входят члены, зависящие от координат самое большее двух электронов. С другои с~проны Ф(«,)детерминант Л'-го порядка содержит )у! членов, причем в первом члене все электроны находятся у «своих» атомов, в С~ членах два электрона переставлены, в остальных — большее число электронов.
Так как мы выбрали ортогональные орбитальные функции различных атомов, то в (2.3.6) дадут вклад только те члены из ф, у которых переставлено не более двух электронов. А в (2.3.7) обращаются в нуль все вклады от членов ф, кроме доли от «представителя», орбитальная часть которого, как у ф,,„ равна ф~(1)ф»(2) .. !ри(Ж), т. е. каждый электрон находится у «своего» атома. !«'! Матричные элементы й и теперь можно записать в более 11» простом виде ~~)' ') ф(„,) НФ с(т = Ж(Е« -1- С) ~5(„,) 8 - — ~'Я«„!) 5( / а а »« (2.3.8) (2.3.1!) где т означает число соседств атомов с параллельными спинами. б) Недиагональные элементы п„и, ... ~ьп,, и», ...
Первый член в (2.3.8) обращается в нуль. От второго члена остается»р„если ряд чисел п~п, отличается от ряда и, и, только тем, что в одном ряду вместо д стоит р, т. е. состояния должны отличаться только одной перестановкой. Так как Хр«велико только для соседних атомов, то интересны только те распределения п~ и», которые получаются из и~и, путем перестановки двух соседних неодинаковых спинов. Соответствующие недиагональные элементы также будут иметь значение У. В частности, недиагональные элементы обращаются в нуль, если число отрицательных спинов в обоих состояниях различно. Рассмотрим поэтому систему с фиксированным числом г «правых» спинов. Пусть Л'=-2п — полное число электронов в системе, г — полное число электронов с «правой» ориентацией спина и Л' — г — с «левой».
Величина г однозначно связана со слагающей полного сппнового момента 7, вдоль <правого» направления 1, ='1г — (Ж вЂ” гЦ)«в= 2(г — п) рв = 2трв, (2.3.12) где г — и=щ, Так как матричные элементы энергии исчезают, если чисто левых спиноз в начальном и конечном состояниях различно, то можно в качестве правильной функции нулевого приближения выбрать волновую функцию с определенным числом' г «правых» спинов (физически это является следствием того, что в модели Гейзенберга спиновые силы не учитываются, и, следовательно, т, является интегралом движения).
Будем обозначать «правые» спины индексами п:и~пз...п„а «левые» индексами А':й~й» /гк-. Тогда выражение для диагонального матричного элемента энер- гии можно записать следующим образом: 99 новая функция 5~('„,) образуется нз 5(„,) путем перестановки спинов атомов р и д. Учтем теперь ортогональность спиновых волновых функций при суммировании по о в (2.3.8). а) Диагональные матричные элементы п„п, ... = п~, пз, ... В этом случае Г5(„)5 = 1, а во втором слагаемом (2.3.8) Х с (.,')= « И) 5»(«„) 5 = 1 только в том случае, если р и д имеют одинако(а~) а вые спины.
Так как з'р«экспоненциальио умеиыпаются с возрастанием расстояния гр«, то интегралы Хр«относительно велики только для соседних атомов. Обозначая У»«для соседних атомов через з, получаем для диагональных матричных элементов выражение Нг„,') = Л1(Е« С) Н'„",'„*,".,,'".' = й((Е, + С) — ~,).„., — ~~,)„,, (2.3. 13) р>р р>р~ )а а ° = )'„)л л ° (2.3.14) р>р' р'Фр Среднее значение этого выражения равно сумме всех выражений такого типа для всевозможных выборов номеров п,,а„, деленной на число этих выборов, равное ( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
