Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 21
Текст из файла (страница 21)
и гамильтониан сам в сеоя, Пусть)г один из элементов этой группы. Будем считать, что мы нашли волновую функцию фь, соответствующую некоторому волновому вектору к в зоне Брпллюэна. Применим теперь операцию симметрии к волновому вектору к, при этом мы получим в обратной решетке новый волновой вектор. Подействовав всеми операциями симметрии на вектор й, мы получим так называемую «звезду» векторов )г, При некотором специальном выооре )г, например вдоль осей высо- кой симметрии (типа 1!00], [!11] и т.
п.), определенные операции симметрии оудут оставлять вектор )г неизменным или преооразовывать его в эквивалентный вектор, который можно привести к исходному с помощью трансляции на вектор ооратной решетки. Совокупность таких операций называется группой вектора к. Так как операции симметрии оставляют гамильтониан неизменным, всем состояниям, возникающим в результате преобразования, должна отвечать одна и та же энергия, т, е, любой элемент пз группы вектора к оставляет неизменным состояние, описываемое волновой функцией фь, Поэтому (см.
3 1.7) правильные волновые функции должны являться оазиснымп функциями соответствующих неприводимых представлений группы симметрии той точки зоны Бриллюэна, в которую попадает конец вектора к, При этом в максимально благоприятном случае группа вектора к может совпадать с точечной группой симметрии кристалла (например, для центра зоны Бриллюэна и вершины куба для простой кубической решетки), затем симметрия будет понижаться, вырождения энергетических уровней, соответствующие группе симметрии купа, будут частично сниматься, и, наконец, для векторов к, оканчивающихся в произвольной низкосимметричнои точке зоны Бриллюэна, вырождение орбитальных состояний будет снято полностью.
В этом смысле приведенная в 8 1.7 классификация энергетических уровней пара- магнитных ионов в кристаллах годится теперь, строго говоря, только для состояний, соответствующих точке Г, т. е, центру зоны Бриллюэна. По этой же причине наиболее естественной системой классификации энергетических уровней в металлах является система Баукарта — Смолуховского — Вигнера 115], согласно которой уровень обозначается буквой, соответствующей определенной точке (илп линии) в зоне Бриллюэна, а индекс нумерует неприводимые представления группы симметрии данной точки или линии.
Например Гь 1аь У,з и т. д, Таким образом, зная группу волнового вектора, можно указать, какого именно вырождения следует ожидать вследствие симметрии, а также классифицировать волновые функции в соответствии с непрпводимыми представлениями, по которым они преооразуются. Для характеристики неприводимых представлений данной группы задаются таолицы характеров (см.
таол, 1,8, 2.3), Размерность данного неприводимого представления определяется числом в первом столбце таблицы характеров (см, э" 1,7). Так из таблиц 1.8 и 2,3 следует, что представления Г„ Г„ Х], Т., — одномерные, Гць Г,~., Х,, 7.,— двумерные, Г~з, Гзз, Гпь Г„ — трехмерные, т. е. энергетические зоны, соответствующие пред.тавлениям Г,, Г,, Х,, Е, будут невырожденными, Г„и Г~ — дважды вырожденными и т. д.
Рассмотрим, например, зону Бриллюэна простой кубической решетки. Кубическая группа симметрии имеет десять различных не- приводимых представленцй. Знание вида базисных (см. табл. 1.8) 119 бенно полезно в точках высокой симметрии, где функции с малыми ! относятся к различным представлениям, а в произвольной точке зоны Бриллюэна волновая функция будет представлять набор всех сферических гармоник. В кубе имеются четыре особые точки Г, )с, М, Х и пять особых линий симметрии (рис. 2.13). Точка à †цен зоны Бриллюэна,точка Я лежит в вершине куба и соединена с другими вершина- 2 ми векторами обратной решетки.
При преобразованиях куба все восемь вершин будут Х переходить одна в другую, и, д следовательно, все они являются эквивалентными и представляются одной точкой. т~ Точкам Г и К будут соот- о .о У ветствовать одни и те же пред- (е' г э1 ее к ставления. Точки Х н М также обладают одинаковыми элементами симметрии. Точка Х соответствует выходу осей типа 1001] иа поверхность зоны кубической решетки лентных точек Х. Обычно, когда приводится энергетический спектр реального кристалла, энергетические зоны в нем задают, указывая иеприводимые представления в точках высокой симметрии. В пределах одной энергетической зоны представления в особых точках и линиях не являются полностью независимыми. Эти представления должны быть совместными, Так пред. ставлеиия, имеющие нечетные базисные функции, не могут совмещаться с представлениями, имеющими четные базисные функции.
Условия, связывающие неприводимые представления в соседних точках, линиях н плоскостях, называют «соотношениями совместности». Реальные ферромагнетики Ре и % обладают объемноцентрированной и гранецентрированной решетками соответственно. Обратные решетки для них меняются местами. Зоной Бриллюэна для Ре является ромбододекаэдр (рис. 2.14), а для % — октаэдр (усеченный) (рис. 2.15). Точками высокой симметрии в случае объемноцентрированной кубической решетки являются Г, Н, Р, М. Г и Н обладают полной кубической симметрией. Р соответствует выходу осей типа [111]. Линиями высокой симметрии являются направления Л (оси типа 1001]), Л (оси типа 1111]) и Š— направление, соединяющее центр Г с серединой грани. Для всех этих точек и линий симметрии имеются таблицы характеров неприводимых представлений и найдены базисные функции 116].
121 Кг к Рис. 2.14. Зона Брнллюэна объемнонент- рированной нубичесной решетни Рис. 2.!5. Зона Бриллюэна граненент- рированной нубичесной решетни ческих уравнений вблизи этих особых точек связаны многие интересные особенности ферромагнитного никеля. Отметим также линии высокой симметрии Л (оси типа 111Ц) и Л (оси типа 1100)). Следует отметить, что не все неприводимые представления, соответствующие данной пространственной группе, отвечают реальным энергетическим уровням.
Большинство из них могут оставаться незаполненными. Конкретный порядок следования уровней, степень их заполнения и расстояние между ними может быть установлено только после задания потенциала взаимодействия. Обратим внимание еще на одно свойство симметрии энергетических зон. Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению Шредингера: (Офн)'= Еф„Йтр н = Етр — и Гамильтониан, будучи эрмитовым, переходит при этом сам в себя, но волновой вектор )с меняется на — й.
Это справедливо при любой симметрии кристалла. Следовательно, энергетические зоны обладают симметрией по отношению к операции инверсии, даже если группа кристалла инверсии не содержит. Это свойство энергетических зои является следствием симметрии уравнения Шредингера относительно инверсии времени. 122 Наиболее интересными точками для гранецеитрнрованной решетки являются центры шестиугольных граней Е, центры квадратных граней Х и вершины (е', представляющие точки соприкосновения двух шестиугольников и одного квадрата.
Именно в этих точках поверхность Ферми лежит в гг-зоне, и с поведением энергети- й 2.7. ЗОННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНИТНОГО НИКЕЛЯ В настоящее время детально разработаны многочисленные методы расчета энергетического электронного спектра. Все их можно разбить на две большие группы — вычисления из первых принципов, когда непосредственно решается уравнение Шредингера с соответствующим одноэлектронным потенциалом: метод присоединенных плоских волн (ППВ), метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ) и метод функций Грина — метод Корринги — Кона— Ростокера (ККР), а также различные интерполяционные методы расчета, в которых матричные элементы гамильтониана рассматриваются как некоторые подгоночные параметры, определяемые из эксперимента.
Интерполяционные методы расчета особое значение приобрели для расчета энергетической структуры переходных металлов. В этом случае Ы-эоны строятся в приближении сильной связи (методом атомных орбиталей), а (з — р)-зоны — в приближении почти свободных электронов (методом ОПВ), кроме того, учитывается гибридизация Н- и з-зон. Таким способом устанавливают общий вид электронного энергетического спектра с помощью одноэлектронных методов расчета (точность таких расчетов несколько десятых электрон-вольт), а затем на основании имеющихся экспериментальных данных о Ферми-поверхности и определения различных межзонных интервалов с помощью оптических, магнитооптических методов проводится корректировка относительного расположения энергетических зон с помощью интерполяционных методов расчета.
Знание электронного энергетического спектра необходимо для понимания любых физических процессов в твердом теле. Первым металлом, для которого была восстановлена Ферми-поверхность, является медь 1171. Никель в некоторых существенных особенностях зонной структуры должен быть аналогичен меди, поскольку они имеют одинаковую кристаллическую структуру и являются соседями в периодической таблице, но медь диамагнитна, а никель ферромагнитен. К настоящему времени можно считать, что основные особенности зонной структуры, обуславливающие такое различие, уже выяснены. На рис. 2.16 показана зонная структура меди ~18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
