Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При всевозможных 1Г!' выборах и каждый обменный интеграл,)л „, встретится в сумме л«"р' ) раз, В итоге получаем г — 2) 1~~ ) 1 ~У вЂ” 2) ~'1 ) (Ж) 1 ( — 1) рФр' рррр' рррр' (2.3.15) Совершенно аналогично Ф вЂ” л Х 1 )л 1р.=— 2 р>р' ~~)~~ .)рр, (2.3.16) М (У вЂ” !) или окончательно и 1 Я 2 Х 1 2л(2л — 1) рФр' '~Фр' Часть энергии, зависящая от намагниченности, есть Й(лр) = ~~)~~ Урр Выражение (2,3.18) можно несколько упростить для тех случаев, когда все атомы рассматриваемого вещества одинаковы, причем каждый из них расположен по отношению ко всем так же, (2.3.18) 100 Известно, что сумма всех собственных значений какой-нибудь матрицы всегда равна сумме ее диагональных элементов. Поэтому для решения задачи о нахождении средней энергии системы с определенным спиновым распределением (с заданным и), а именно а,п,.„л такую задачу и решал Гейзенберг, нужно взять среднее от Н.
л„„л' по всевозможным перестановкам спинов прн фиксированном г. Рассмотрим первую из сумм в (2.3,13) как и .любой другой (что имеет, например, место в кристаллическом Ре, Со и )ч!). Тогда можно написать ~' У„г = Л11,, в~~' (2.3.19) где (2,3.20) представляет собой сумму всех интегралов обмена, относящихся к какому-то одному произвольно выбранному атому. Это дает м' Н(т) = — — l,. У (2.3.21) Из (2.3.21) наиболее ярко видна эквивалентность теории Гейзенберга и теории молекулярного поля Вейсса. Но в теории Гейзенберга уже получен правильный порядок величины Х, который определяется величиной интеграла обмена между соседними атомами металла. Критерием ферромагнетизма в теории Гейзенберга является условие Х>0. Выражение (2.3.21) можно легко получить и с помощью дираковской векторной модели 112).
Оператор энергии в данном случае можно записать в виде (Х вЂ” суммирование по ближайшим соседствам) (2.3.22) е= Й= — 2115 5р „ (2.3.23) Результирующий спин отдельного атома 5 порядка 1, а 5'-пх 101 а квадрат результирующего вектора спина всего кристалла в виде ч~ ~,х ~5з Ж5(5 ' 1) — ~ 5 5, = 5'(5' — 1), (2.3.24) ДфФ' где 5' — спин всего кристалла из Ж атомов, а 5 — спин отдельного атома. Число членов в двойной сумме равно М(Ж вЂ” 1), поэтому среднее значение отдельного члена в двойной сумме равно 5' (5'+ 1) — УЗ (5+ 1) (2.3.25) Л/ (М вЂ” 1) Число членов в сумме (2.3.23) равно — Уг, где з — число ! 2 ближайших соседей. Поэтому собственное значение Й есть Н =- [5' (5' — , '1) — У5(5 '- 1)]. (2.3.26) и для ферромагнетиков -А'.
Поэтому с точностью до 0 (1/АГ) имеем Й= — а(ш»гТ аналогично (2.321). й 24. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ. ЗАКОН БЛОХА В предыдущем параграфе найдена зависимость от намагниченности для средней эчергии системы. Будем искать теперь точное решение для энергетического спектра системы Х атомов. В качестве собственной волновой функции нулевого приближения возьмем сумму (2.4. 2) (2.4.6) (2.4.8) ф =-Ха,,„ч „ф„,„,, (2.4.1) Подставляя в уравнение Е')~~ Ф„,„.
4)х(т = '~ Ф„,„,Опт « « ф из (2.4.1) н используя результаты $ 2.3, получаем Еа„,„, —. (Агń— ЖС вЂ” в,!) а„,„, —.l'~ а .. (2.4.3) ! 2 Л~Л~ Число пар соседних неодинаковых спинов (т. е. число чченовсуммы) плюс число т пар соседних равных спинов независимо от распределения спинов равна Ага(2. Пусть Е = М (!Е, + С вЂ” — )г~ -'. 2/е (2.4.4) 2 Тогда из (2А.З) получим систему уравнений 2са(„) = ~ (а(„,) — а~, ~). (2.4.5) (лр При этом наименьшее значение е при У>0 соответствует самым низким энергиям, при У<0 — самым высоким.
Будем искать теперь решение (2.4.5). Для различных значений г )рассмотрим линейную цепочку А атомов, в которой каждый из атомов имеет два ближайших соседа. !.,г=О, все спины направлены «налево». При этом имеется только одно состояние и энергетический спектр состоит из одного уровня (е=О). В случае (>О этот уровень соответствует минимальному значению энергии Е; получаем спонтанное намагничивание, т. е. ферромагнстизм.
2 г=!, один спин направлен «направо». Перевернутый спин ~ может находиться у каждого из п атомов и 'система уравнений (2.4.5) в данном случае запишется в виде 2еа„= (а„— а«+1) + (а„— а„|). Решение дается формулой а = ем", где я= — ~, 4=0, 1 ... Аг — 1; (2А.7) 2пу л У е= 1 — соэй. 102 Решение (2.4.7) называют спинозой волной, так как собственная функция, описывающая вероятность нахождения перевернутого спина у данного атома решетки, имеет периодический характер. В квазиклассическом приближении спиновую волну можно представить как волну малых отклонений спина от оси г, возникающую благодаря прецессии спинов около положения равновесия с малой амплитудой (рис. 2.5).
Рис. 2ЗЬ Полуклассическая наглядная картина спиновык воли Энергия спиновой волны при малых и запишется в виде 6= — Е = Ог'. (2.4.9) 2 Можно ввести эффектщ1ную массу тяьф=гг/2У и рассматривать распространение спиновфй волны как движение магнона — квази- частицы с такой зфф~кктивной массой. Энергетический спектр в данном случае имеет вид полосы, ширина которой определяется величиной обменного. интеграла е„,!и=-0 (й=О); е„„,=2 (й=п), шпак Еппп =- 2кт. 3. г=2. В этом случае имеют место два различных распределения двух «правых» спинов.
а) Правые спины и! н пт не являются ближайшими соседями паап!ч-1 и уравнение (2.4.3) записывается в виде 2ва,,„, =- а„,п, — а, !оь — ' а„... — Йгн >!,и, + Йго ю~ — ! Йа1п Йаопкн!. (2.4,10) б) Правые спины а! и пя — ближайшие соседи. В таком случае перестановка и! с пт никакого нового распределения не дает и уравнение (2.4.3) сводится при этом к 2еа,к„+! =- Й„„ч! — Й,„ят+ап,п+! — а, !и и!. (2.4.11) Совместное решение уравнений (2.4.!О) и (2.4.1!) является сложной задачей.
Эта задача была решена точно Бете. Если число правых спинов мало и к,Лг, то число уравнений (2.4.11) меныпе числа уравнений (2,4,10). Приближенно можно считать правые спины 103 е(Й,, Йз) = (1 — совй,)-- (1 — сов й») (2.4.13) складываются из собственных значений обеих спиновых волн с волновыми векторами А, и й» Решение (2.4.!2) удовлетворяет (2.4.11) лишь для Ф~ и Ф,<<2п (при условии а=()=.1). Поэтому, рассматривая решение (24.12) как точное, мы ограничиваемся лишь случаем низких температур, когда роль играют только наннизшие энергетические уровни и число правых спичов мало (г«Х), т.
е. мы можем в первом приближении рассматривать невзаимодействующие квазичастицы. Для произвольного числа г в этом же приближении в=- ~ (1 — сов й~). /=! (2.4.!4) Ширина энергетической полосы в этом случае равна 2гУ. Число Уч- г — 1~ различных состояний системы равно ( ~ =- г'.
На самом , г ~М~ же деле существует лишь ( ~ = г«различных состояний. Разлн(,г~ чие между з' и г, сказывается лишь при г >)/Х, Бете показал, что при точном решении у'равнения Слетера исчезают «лишние» решения приближения Блоха и число различных состояний равно 1) М~ ). В случае г == 2 ( ) — М нз этих состояний совпадают с блог) (,г) ховскими, а Х остальных отвечают так называемым «спиновым комплексам», т. е. состояниям, при которых оба правых спина как бы слипаются„образуя молекулу из двух правых спиноз. Волновые функции этих состояний имеют острый максимум при соседстве спинов и экспоненциально убывают с увеличением расстояния между ними. Соотношение (2.4.14) легко обобщить на случай плоской и пространственной решетки атомов.
Для этого атомы, у которых имеется «правый» спин, будем характеризовать радиус-вектором п, вместо чисел п, а спиновые волны волновым вектором М, вместо скалярного волнового числа. В случае квадратной плоской решетки !(1 — сов й! ) + (! — соэй! ~)1, (2 4.!5) 1 ! 104 независимыми частицами и исключить из рассмотрения случаи, когда они ближайшие соседи. Тогда решение (2.4.10) принимает вид а„„, =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
