Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассмотрим случай Н= О, е- О, для которого (2.1.41) внд (2.1.40) (2.1.41) принимает 1(е, 0) = Л'н '! (Л" е, 0). (2.1.42) ка радиуса корреляции — от частицы к частице. Теория подобия изучает явления со столь большими характерными масштабами, что можно применять хорошо разработанные макроскопические методы исследования. В теории подобия предполагается, что термодинамические величины степенным образом зависят от близости к точке перехода, т.
е. для магнитного момента 7, восприимчивости и, теплоемкостн С и других величин справедливы следующие асимптотические законы: 7 "' э' ' (2.1.37) ((е)-» Т>Тм Н=О; Сн= ( — а) "' Т < Т», Н = О, (в) ч Т)ТыН=О; Н вЂ” (7)а пРи Т= Ты Основной результат теории состонт в установлении связи между так называемыми критическими индексами (1, ч, а, 6,.... Оказалось, что лишь два критических индекса остаются независцмыми, а остальные выражаются через них. В теории «скэйлинга» утверждается, что термодинамические потснциалы 0 системы являются обобщенными однородными функциями своих координат.
Это утверждение эквивалентно требованию существования таких двух параметров а, и ан, при которых (2.1.43) откуда находим о-ан) 7(з, 0) = ( — е) 'е 7( — 1, 0), однако, когда а -+ О, из (2.1.37) следует, что ( (а, 0) — ( — е)". В результате получаем (2.1.44) (2.1.45) он (2.1.46) ае Показатель 6 также можно выразить через параметры подобия ан 1 — ан Аналогичные соотношения можно получить и для остальных критических показателей.
Например, у'= (2.1.48) ае Так как неизвестных параметров всего даа, то можно получить выражение для у' через (з и б (рааенстао Уидома) у =8(б — 1). (2.1.49) Подобным образом, осиовыааясь на теории подобия. получают и другие соотношения (табл. 2.1). Таблица 2.1 Равенства. связывающие различные критические иоказатели а —,28+у= 2 2 а+р(б —,' 1) = 2 з у (Ь вЂ” ', 1) = (2 — а) (Ь вЂ” ! ) 4 у =- Р(б — 1) а =аз Ь =- 2 †а 2 — а — у 88 Поскольку уравнение (2.1.42) справедливо при всех значениях Ъ, оно должно выполняться и для частного значения В таблице 2.2. приведены комбинацнн критических индексов, которые согласно законам подобия должны быть равны друг другу, Там же приведены значения этих комбинаций, следующих из расчетов для двух- и трехмерной моделей Изинга.
Большинство данных согласуется с выводами из законов подобия. Таблица 2.2 [Значении совпадающих комбинаций критических индексов длв двумерной (с = 2) н трехмерной (с = 3) моделей Изинга, а такме экспериментальные значении длв сгвгз и йй [3 — 31 т+за а(о+ о с=2 1,875 1,875 1,875 1,875 с=3 Сгвго 1,951 1,945 2,096 2,082 2,1 2,08 Полагая в уравнении (2,1.41) Х= [а[ ~", представим уравнение состояния в виде 7 (з, Н) = [ а[и и'" 7 [ в (2 1.50) [е[ ои!ое )в Заменяя параметры подобия критическими показателями р и 6, перепишем уравнение (2.1.50): Далее введем новые переменные: лг = ~ и[ 37(е, Н) — приведенную намагниченность и [г = [е[ — за Н(е, 7) — приведенное магнитное поле.
Заметим также, что функция в правой части (2.1.51) зависит только от знака (Т вЂ” Тд) и от й, что позволяет ее определить в виде (2.1.52) 89 Гипотеза подобия позволяет сделать выводы и о форме уравнения состояния для магнитной системы, которые подтверждаются экспериментальными результатами как для диэлектрических, так и для металлических ферромагнитных систем. Теперь уравнение состояния можно записать в приведенном виде: т= Р-(Ь) или й= ~+(т).
(2.1.53) Из уравнения (2.1.53) следует, что если изменить масштао измерения У в 16(а раз и масштаб измерения Н в (а1еа раз, то ига га а»Р гч аг гня (7 г(г 11ч ра дв ггг (г (ч 16 (а га гг т Ъ"ъ зависимость т от гг должна быть одной н той же для любых значений температур, хотя зависимость 1 от Н описывается различными изотермамн. Измерения, проведенные па ферромагнитном диэлектрике СТВгз [91 н на металлическом ферромагнетике % [101, хорошо описываются полученным уравнением (рис. 2.3 и 2.4), хотя экспериментальные точки ложатся на две разные кривые для Т<Т» и для т) та.
90 и гч гг гг гг Ю 8 8 7 ч Ю г 1 Рнс. 2.3, Зависимость приведенного магнитного поля й от приведенной намагниченности т для ферромагнитного диэлектрика Сгнгз (а=1~!а) Т =32 844'К, т= 1,216, р=0,368. Точки одного типа относятся к одной изотерме. При Т>Т, в интервале 32,872 — 36,0зн'К вЂ” семь изагерм и при Тс.Т, в интервале 32,469— 32,822'К вЂ” одиннадцать изатерм Рис. 2.4. Зависимость те от й/гп для ферромагнитного никеля, Т,=627,4' К, 7= 1,34, 11=0,378. Точки одного типа относятся к одной изотерме Экспериментальные значения критических показателей состав.ляют для СгВгз в=О,Зб8~0,005, 5=4,28~0,1; для % р=0,378~ +0,004, 5=4,58~0,05. В настоящее время экспериментаторы интенсивно проверяют соотношения между критическими показателями, вытекающие из теории подобия. В целом эксперимент подтверждает выводы теории, остаются лишь некоторые сомнения о существовании симметрии критических индексов по оое стороны от точки перехода.
Имеются, однако, серьезные трудности при интерпретации экспериментальных данных, связанные с неопределенностью температурного интервала, где должны выполняться асимптотические законы, а также со стожностью учета различных факторов 1прпмеси, внешние поля и т. д.), искажающих истинные значения критических индексов.
Следует также иметь в виду, что поскольку само значение Тх не определено из независимых измерений, то иногда сравнение эксперимента с теорией подобия может носить характер подгонки. й 2.2. МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА Молекула водорода — это простейшая модель магнитной системы, состоящей нз двух ионов и двух электронов, объединенных в молекулу, Рассмотрим эту задачу, используя метод Лондона— Гайтлера 1111.
Уравнение Шредингера для молекулы Нз нмеет вид [ В',,,~ 1 1 1 — — (и дл А ) -,'- е' ~ — — — — —— 1 2м гаь га~ гм 1 1 1 — — — — + — ~~~ 1= Еф г а гм гм / (2.2.1) 91 Здесь а и б обозначают ядра атомов, 1 н 2 — электроны гтаким ооразом, например, г,з — расстояние второго электрона от ядра а, А, — оператор Лапласа по координатам первого электрона н т д), Š— собственное значение энергии молекулы. Функция ф предполагается зависящей от спиновых координат щ и пь Так как гамильтониан не содержит спнновых переменных, то ф представляет собой просто произведение функции, зависящей от спиновых координат, на функцию шести пространственных координат хь уь зь или в более общем случае сумму таких произведений. Введение спина в волновую функцию имеет то преимущество, что ф должна быть всегда антисимметричной относительно перестановки всех координат электронов, тогда как пространственная собственная функция обладает значительно более сложными свойствами симметрии, Собственные функции разделенных атомов.
Приступим к рассмотрению молекулярной задачи, исходя из собственных функций отдельных атомов. Собственная функцня ф„соответствующая атому а, удовлетворяет уравнению Шредингера га (2.2,2) ф, зависит от координат единственного электрона атома. Собственные функции отдельных атомов ф, и фь мы будем предполагать независимыми от спиновых координат. Для каждого электрона существуют четыре различных состояния, соответствующих одинаковой энергии Еы электрон может находиться у каждого нз обоих атомов и может обладать положительным нли отрицательным сппном.
Возможные собственные функции соответственно М фьп М (2.2.3) Здесь а — спнновая функция для случая положительного спина (и,= '/,), (1 — спиновая функция для отрицательного спина (и,= = †'/,), ф, и фь имеют одинаковый вид, только в фь в качестве аргумента стоит расстояние г,, в то время как ф, зависит от Четыре функции (2,2.3) нормированы, но не все ортогональиы„ так как ~па= 1, ~',ар= О. ч а Выражение ~,~1 ф,фи=)п' (2.2.4) ф=- ф,(г,)п(а,) ф (г ) р(п,), (2.2.5) или кратко ф= ф,а(1) ф,~(2). Однако такая функция не будет удовлетворять принципу Паули, который требует антиснмметрии функции относительно перестановки всех координат обоих электронов. Принципу Паули удовлетворяют следующие четыре «функции-определители»: ,„„„~ ф.1(1) фьп(1) ~ ф,й(2) фьа(2) (2.2.6) ~ф.0(1) ф,1(1) ~ ф,р(2) ф,Д(2) ф.
и (1) фь и (1) ф, а (2) фь а (2) ~ Р, (1) Ф Р(1) ) ф„а(2) фа р(2) 92 представляет интеграл неортогональности (оп зависит от расстояния между ядрами водорода и характеризует перекрытие волновых функций). В первом приближении 5=0. Собственные функции молекулы (детерминанты Слетера). Приближенное решение задачи о молекуле водорода получается путем перемножения двух собственных функций отдельных электронов, например: Четыре состояния (2.2.8) отличаются друг от друга спином электронов, находящихся у отдельных атомов. В первом состоянии ооа электрона имеют положительный спин, в последнем оба отрицательный, а во втором и третьем имеется по одному электрону с положительным и отрицательным спнном. Соответственно результирующему спину они распадаются на три класса: для первон функции т=!, для последней пг= — 1, для второй и третьей ш=О.
Функции (2.2.б) еше не будут кправнльными» волновыми функциямй нулевого приближения; любая линейная комбинация этих функций также есть решение уравнения Шредингера. Матричный элемент Ц ф Нф г(т прн т4=пг' исчезает при суммировании по спчновым координатам в силу ортогональностн спнновых функций а и (). Существенно здесь то, что функция Гамильтона не зависит явно от спина. Поэтому матрица Н' распадается на отдельные матрицы, соответствующие каждый раз определенному значению спина, Матрица энергии. Энергия обмена.
Для вычисления энергии в первом и собственных функций в нулевом приближении будем исходить из уравнений Шредингера (2.2.1) и волновой функции ф, которую мы запишем в ваде линейной комбинации функций (2.2.6): (2.2.7) Домножим уравнение Шредингера на комплексно сопряженные детерминантные функции Слетера, проинтегрируем по конфигурационному пространству обоих атомов и просуммируем по их спиновым координатам. При этом мы получим четыре уравнения для четырех неизвестных Сь которые и нужно решить. В каждом случае получаются два одинаковых слагаемых, так как волновые функции антисимметричны, а Н симметрично относительно перестановки электронов, поэтому в каждом случае достаточно произвести домножение только на произведение диагональных элементов детерминантной функции Слетера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
