Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а ен» " +~ "Л -' р ен» " +" " 1 (2.4.12) "и. Собственные значения а в трехмерном случае 1 у е«,эх =- — ~ ~ (1 — е' «"!), ««ч у=! (2.4.16) Р = — йТ вЂ”, дН (2.4.17) где 2 =- ~ ехр ! — (Е; — р, Н) , 'йТ'1. Е (2.4.!8) 2 — статистическая сумма, Е, означает энергию 1-того состояния кристалла при отсутствии магнитного поля и р, — его магнитный момент. Состояния с определенным числом «левых» спиноз имеют одинаковый магнитный момент рч == (М вЂ” г) р — гр =- 2т р, т — относительная намагниченность, р — магнитный момент одно- го атома. Энергию 1-того уровня при отсутствии поля можно запи- сать согласно (2.4.4) и (2.4.14) в виде Е; = сопя!+27 'у' (1 — соай,) = сонэ(+l '~' й,,, (2.4.19) «=! « =-1 причем последнее прсобразование справедливо только для малых волновых чисел А«, т.
е. для низколежащих возбужденных уровней, которые будут заселяться электронами при низких температурах. Полная энергия йтого уровня в поле Н запишется в виде Г Е, — Нр; == — ННр '~ (2Нр —,(й,). (2.4.20) где гь гв...г. — радиус-векторы атомов — ближайших соседей. Итак, мы получили выражение для энергетического спектра нашей системы и можем перейти к рассмотрению условий существования ферромагнетизма.
Мы уже получили одно необходимое условие У>0 и рассмотрим теперь, как зависит возникновение ферромагнетизма от структуры решетки. Для этой цели нужно исследовать магнитный момент кристалла в слабом магнитном поле, направленном, например, направо.
Если все Л' сппнов или по крайней мере некоторое их число ориентвруются в этом поле направо, то кристалл будет ферромагнитным. Подсчитаем число «левых» спинов как функцию темпера«уры. Средний магнитный момент системы определяется выражением Подставляя (2.4,20) в (2.4.18), получаем статистическую сумму ! — л 2 ехр ( — — ~~)~~(2Нр — Лл)). Я= ехр ( От л=О М,й йо =- О, Ф2 --- 2п)У, ..., й,ч ! == 2Л (й! — 1У(Н. При этом мы вводим в статистическую сумму много лишних состояний, которые, однако, соответствуют большим значениям энергии и поэтому вносят пренебрежимо малый вклад. Статистическая сумма прн этом записывается в виде ~~~~ ехр ~ — ' ~2Н р —, У ~ — д) ) ~ =- л =О Л' — 1 ) (2.4.21) П 1-Ол,(-РНН+ ~ЧО,Щ ехр~ — ~ —,! ) П = ехр ( ' Ьгтн ит т. е., как и следовало ожндать, для магнонов получается статисти- ка Бозе.
Подставляя (2.4.21) в (2.4.17), мы получим для намагни- ченности Л вЂ” ! 7 =- й!)2 — 2р ехр!~+а" ! — 1 О=! где а= 20н У (2.4.22) От ' От ' Нас интересует намагниченность для предельного случая ОО-!-О. Прп подсчете намагниченности заменим в (2.4.22) суммирование интегрированием по й и распространим его до бесконечности, учитывая, что большие значенвя й дают прснебрежимо малый вклад в интеграл за счет экспоненцпальной зависимости в знаменателе. 106 Вторая сумма при этом оерется по всевозможным комбинациям волновых чисел й!,. й„, прн этом может быть произвольно большое число одинаковых волновых чисел, и все они должны иметь впд 2пд!й!, Каждая отдельная спиновая волна обусловливает в энергии часть И, л- 2Нр.
2 Вместо того, чтобы суммировать сначала по всем состояниям с одинаковым г, а потом по всем г, можно получить всевозможные состояния кристалла, введя произвольное число п= О, 1, 2, ... спиновых волн с волновыми числамн На рис. 2.6 приведена зависимость /в(Т). Закон «3/2» справедлив в области низких температур, при этом интервал «низких» температур довольно широк, например при Т/Та-0,8 ошибка меньше 1%.
Физическими причинами появления неблохавского поведения /а(Т) при повышении температуры являются возбуждение спиновых вопч с большимп й н взаимодействие между магнонамн. ,//.о йОО 0УХ г/О О О/О О,УО ОХ О'Ю ООО Рнс. 2.6 Температурная ааяпсггмость намагниченности никеля (Г). Теория молекулярного поля. ' — у='!» 3 — у=»о «Закон Т'/'» Блоха сыграл фундаментальную роль в теории ферромагнетизма, поскольку (см.
(2.4.2б) и ф 3,1) позволил впервые произвести точное определение константы обменного взаимодействия. Мы получили выше, что ферромагнетизм даже при условии /= О возникает только в трехмерных кристаллах, и рассмотрели типичные решетки металлов. Однако существуют пространственные решетки, в которых можно выделить систему параллельных цепочек магнитных атомов, связанных ферромагнитным обменным взаимодействием Хь В то же время ближайшие атомы двух соседних цепочек связаны более слабым обменным взаимодействием Уь Такая структура линейных цепочек должна рассматриваться как одномерная и может обла- 108 дать ферромагнетизмом.
Точка Кюри такого ферромагнетика будет определяться в основном параметром Уь Сеичас открыт целый класс таких одномерных или линейных ферромагнетиков, одним из примеров которых может служить соединение Со(ХСзНз) зС!з (рис. 2.7), в котором ноны л и С1 Х Со образуют связки парал- ':~~' Г'~ торых между ионами Со Са га действует ферромагнитное взаимодействие (точка Кюри -З,TК). Сушествуют СС также слоистые структуры, в которых магнитные ионы 7Г=ИГ И внутри слоя связаны ферромагнитно, а взаимодействие Рис. 2.7 между слоями гораздо слабее. Такие структуры представляют собой класс двумерных ферромагнетнков [13). й 2Д.
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ Л р -,- — (à — У) ф =- О, 2т л~ (2.5.1) где )7 — периодический потенциал решетки, в который можно включить также периодическую часть взаимодействия электронов друг с другом, понимаемого, например, в смысле Хартри †Фо. Введем векторы решетки п=п~а~+пгаз+пзам где и; — произвольные целые числа, и векторы обратной решетки Ь=Й~Ь|+ +А,Ь,+А,Ьм где Ь;=[а;а~,)/(а[а,аД).
Учтем условие периодично- 109 Учет периодичности потенциала, действующего на электроны в идеальном кристалле, позволяет установить, что пх энергетический спектр имеет структуру квазинепрерывных полос или зон, разделенных участками запрешенных значений энергии, а волновая функция представляет плоскую волну, промодулированную в ктакт» кристаллической решетке.
Волновые функции различных состояний электрона задаются номером зоны (главное квантовое число) и квазннепрерывным квантовым числом — вектором квазиимпульса й. Каждой энергетической зоне отвечает определенная область возможных значений вектора й в обратной решетке — зона Бриллюэна. Все эти результаты вытекают только из трансляционной ннвариантности кристалла. Учет точечной симметрии решетки позволяет также получить ряд обших сведений об электронном энергетическом спектре. В одноэлектронном приближении уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид сти потенциала У(г+п)=У(г), записав У в виде ряда Фурье по векторам обратной решетки ф (г) ~ а ((с) ег лг ~(й М г ~(йл.
(2.5.3) Тогда волновое уравнение в к-представлении с учетом (2.5.2) при- нимает вид (Е ~" ~ ~ а(ь) — ()' Уьа(1с — 2п)г). (2.5.4) 2т л1лФа Отсюда видно, что благодаря периодичности решетки связанными между собой оказываются только те а(к), которые соответствуют значениям (с, отличающимся дрчг от друга на произвольный вектор обратной решетки К=2пЬ. Поэтому интеграл Фурье (2.5.3) превращается в ряд Фурье: фл(г) — ес ~~~ а е'.ы е'гчУ (г) л,лна где функция Ул(г) удовлетворяет требованию трансляционной инвариантиости Ул(г+п)=У (г).
Таким образом, доказано одно из утверждений, сделанных в начале параграфа, а именно, что волновая функция электрона, движущегося в поле периодического потенциала решетки, представляет собой плоскую волну, промодулированную в такт решетке. Из (2.5.5) следует, в частности, теорема Блоха: ф(г -- п) =- егл" гр(г). (2.5.6) Зоииую структуру электронного энергетического спектра можно выявить, подставляя (2.5.5) в уравнение (2.5.1).
В результате находим следующую систему линейным однородных уравнений для определения коэффициентов а в выражении (2.5.5) для волновой функции ф(г): Лг(к ~ 2пв) 1 Ъ г Š— 1г„лл — ' ' ~ аа= ~ аа-ьУь 2лг л,л,л, (2.5.7) Определитель веществен в силу условия Уь -= У ь. Все диагональные элементы определителя содержат Е, поэтому после приравнивания определителя нулю при фиксированном значении (г мы получаем набор корней, собственчых значений Еь Е,, „, Еь ..., ко- 110 рьегигьл (2.5.2) л,л,л, Будем искать решение для волновой функцпн г) в (2.5.1) в виде интеграла Фурье: торые соответствуют дискретным уровням энергии изолированного атома.
Прп отклонении й от указанного фиксированного значения в некотором конечном интервале мы получим «размазывание» дискретных уровней Ег в непрерывные области допустимых значений энергии — энергетические зоны. Остается показать, что физический смысл имеет только изменение допустимых значений )с в некотором сравнительно небольшом интервале. Это следует из того обстоятельства, что одинаковому физическому состояниго электрона соответствует как волновая функция трк(г) (2.5.5) с волновым вектором )с, так и соответствующая функция фз (г) с )с'=)с+ -2Х -Я О лп Я 2Я'" д' О ла л' а Рнс.
2.8. Зависимость Е(Гг) в одномерной модели Кронига — Пенни для первы-', двух зон; а — представление приведенного волнового вектора, б — представление свободного волнового вектора, пунктиром показана парабола для свободного электрона н и . — — <йз< — ' аз аз и н Л л — — (й,< — ', — — <й„< —, а, а, аз " аз +2пЬ=)с+К, т, е, с волновым вектором, отличающимся от исходного на произвольный вектор обратной решетки. Таким образом, для однозначного определения электронных состояний область допустимых значений )с не должна превышать 2пЬь где Ьт — единичные векторы обратной решетки.
В результате мы можем перебрать все возможные электронные состояния, задавая поочередно номер энергетической зоны 1 и изменяя для каждой зоны )с в указанных выше пределах. Соответственно этому используются два способа представления: 1) представление приведенного волнового вектора, когда для всех зон )с изменяется в одном и том же минимальном интервале 2) представление свободного волнового вектора, когда этот интер- вал выбирается только для первой зоны, а затем он соответственно расширяется, например л 2л (~х,( а1 л) и л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
