Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 20
Текст из файла (страница 20)
— — <й.,< — '; 01 01 12л л — — ( йч( — — ' а, а1 2л Зл <й~,< а, а, представляющие собой частный случай функций (2.5.5). Поправка к энергии в первом приближении Е1 = ) 1'! Фег' (т =- Р~~~. Энергия возмущения во втором приближении 1(трр1Р1з1„)1~от ~~з~ ((еи~ "хрлт1з Е,=— Ео — Ел Ек Еы ~г~з ~з Так как Р— периодическая функция (2.5.2), которую можно представить в виде 1'= ~Ре„ег~"', то матричный элемент ет" — "'х Р г(т =- ~ ~ етк-ыг е'кл' р'к йт ке ~л озличен от нуля только в том случае, если й — й' = К„ есть произ- вольный вектор обратной решетки и при этом 112 и т. д. Все сказанное выше можно проиллюстрировать точными результатами для одномерной модели Кронига — Пенни, расчет которой можно найти в любом учебнике по электронной теории металлов (ряс. 2.8). Для перехода к реальному случаю трехмерного кристалла полезно рассмотреть два предельных случая слабой и сильной связи электрона с решеткой, когда соответственно в качестве волновых функций нулевого приближения можно взять либо плоские волны, либо атомные волновые функции.
Приближение почти свободных электронов, В качестве собственных функций нулевого приближения выбираем плоские волны фе = е'"", (2.5.8) Таким образом Рис. '2.9. Критические бриллюэновскне линии и первые пять бриллюэновских аон лля лвумерной квадратной решетки 2эн 1 1кь1 (2.5.9) к» Вследствие нашего предположения, что Р(г) мал, Еа представляет лишь малую поправку всюду, за исключением тех значений й, где знаменатель обращается в нуль, т. е, когда йа = (К вЂ” ' К„)а, (2.5.10) Минимальный объем, в котором не содержатся векторы, удовлетворяющие условию (2.510), называется зоной Бриллюэна данной решетки. Удобный способ нахождения геометрических мест точек, удовлетворяющих условию (2.5.10), и в частности построения зон Бриллюэна, состоит в следующем.
Условие (2.5.10) эквивалентно 1 требованию Кь 1. (К вЂ” , '— Кь). 2 Поэтому, проводя плоскости (или линии двумерной решетки), перпендикулярные линиям, соединяющим данный узел обратной решетки со всеми остальными, и расположенные на половине расстояния между ними, получим грани зоны Бриллюэна. Эоны На рис.
2.9 приведены полученные таким образом пять первых зон Бриллюэна для плоской квадратной решетки. Легко убедиться, что размеры первой зоны Бриллюэна как раз удовлетворяют требованиям однозначности К и поэтому она может служить областью, в которую свертываются все энергетические зоны в представлении приведенного волнового вектора. В приближении свободных электронов можно получить довольно просто н внд поверхности Ферми для металлов, Поверхностью Ферми металла называют поверхность, ограничивающую объем в й-пространстве, в котором все состояния при 0'К заняты. Если мы начнем добавлять электроны в пустую решетку, то поверхность Ферми будет сначала сферической и радиус этой сферы будет увеличиваться до тех пор, пока не коснется поверхности зоны Бриллюэна.
Далее сфера начнет пересекать границы зоны, но так как любой точке вне первой зоны мы можем, переходя к представлению приведенного волнового вектора, найти эквивалентную точку внутри зоны, то наша поверхность Ферми как бы отразятся 1!3 от границы зоны. И теперь наряду с заполнением первой зоны бу- дет происходить и заполнение второй зоны, а затем и последующих зон. четаяертая ааяа йа тй Третья ааеа ТТердаЯ ааяа ятарая ааеа И) га) И) гй Рнс. 2.!О.
Построение Ферма.поверхностей дав двумерной квадратной решетки по Харрнсону Харрисоном 114~ был предложен метод построения Ферми-поверхности в приближении свободных электронов. Нагляднее всего его метод можно продемонстрировать в схеме расширенных зон, 114 ~% М ! 1 1 1 1 ! 1 1 К Ъ ге) ! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Л ф„(г) = С~'ен""~ф,(г — п), (2.5.11) где фа(г — п) — атомные волновые функции, и суммирование ведется по всем атомам.
Вычислим энергию первого приближения для электронов в решетке металла исходя из сооственных функций нулевого приближения (2.5.11); л — ' к (г)) глг (2.5.12) ) ~ Ф1'Лт где )1(г) — потечцпальная энергия электрона. 115 т, е, рассматривать периодическое повторение зоны Бриллюэна в й-пространстве. Для построения Ферми-поверхности Харрисон предложил возле каждого узла ооратной решетки проводить сферы нужного радиуса йг (радиус определяется количеством валентных электронов, приходящихся на атом металла йг= (Зп'п)гд), которые в общем случае будут пересекаться друг с другом и с границами зон Бриллюэна. При этом, если точка й-пространства находится внутри одной сферы, то заполнено одно состояние, если внутри двух, то запяты состояния в 1-й и 2-й энергетических зонах и т.
д. Если точка не лежит ни в одной из сфер, то состояние свободно. С помогцью такого построения получаются довольно сложные поверхности Ферми, которые хорошо описывают свойства большого числа непереходных металлов. На рпс. 2.!О приведен результат построения Харрисона для простой квадратной решетки.
Фактически в данном построении использовано приближение пустой решетки, т. е. равный нулю потенциал К Введение отличного от нуля потенциала приведет к тому, что при переходе от одной энергетической зоны к другой на границе зоны Бриллюэна будет происходить разрыв в энергии ЛЕ=-= 2~Риз! (область запрещенных значений энергии (см. рис. 2.8)). Качественно «исправить» вид поверхностей Ферми можно с учетом того обстоятельства, что к гранппе зоны Бриллюэна все энергетические поверхности должны подходить по нормали (скорость электрона нли дырки на поверхности зоны Бриллюэна ооращается в нуль (рис. 28)). Приближение сильной связи.
Другой путь построения электронной теории металлов — зто приближение сильной связи, когда предполагается, что энергия связи электронов с атомамн металла гораздо больше, чем кинетическая энергия нх движения сквозь решетку, Качественно зта модель дает ту же самую картину энергетического спектра, что и модель свободных электронов. Волновые функции нулевого приближения в данном случае строятся в виде функций Блоха — линейных комбичацпй атомных функций, удовлетворяющих условию (2.5.6): Уравнение Шредингера для изолированного атома имеет вид а Л вЂ” - Ео — и(г)1 тРО(г) = О, (2.5.13) 2т где Е, — собственное значение энергии, а (/(г) — потенциальная энергия электрона в изолированном атоме.
Подставляя (2.5.1!) и (2.5.13) в (2.5.!2), получим ) ~. е И о оРо (г — и ) ~. е'"" (1' (г) — сг ( ! г — и ! )) 1Ро (г — и) дт Е=Ео+ )~~„еде "1аор„(г — и') ~ро(г — и) ет и' и (2.5.14) Интегралы зависят только от разности и — и', поэтому переобозначим (и--и')-е-и, (г — и)-ег. Энергия электрона в решетке запишется в виде 2.)'4о" (г — и) 1Р(г) — и(г)! ро(г) ед""'Лт Е= Ео-, ~! 4ъ (г — и) 'ро (г) еив е)т п (2,5.15) Рпс.
2.11. Линии равных энергия двя квадратной решетки Е = Ео + С; ~~ А„е"'". отав (2.5.17) 1!6 010 Если ! и ! вел и ко, то волновые функции Ч'о практически не перекрываются и поэтому в (2.5.15) следует учитывать только первые члены сумм по и. о Для и=О получаем Е=Ео+ +С, где С не зависит от 1с, т. е. 0 в результате взаимодействия узла с самим собой получается лишь постоянный сдвиг атомных уровней энергии. Рассмотрим из~О. Вбл ~зи ядра соседнего атома )г(г) будет велико, в то время как ()(г) ннулевого» атома в этом месте уже практически равно нулю.
Поэтому для так называемого интеграла переноса А„= ~ Ф," (г — и) ()г (г) — и(г)1 ф, (г) ат (2.5. И) можно получить сравнимое по порядку величины с С значение, несмотря на уменьшение перекрытия волновых функций. Следовательно, Предполагая далее, что интегралы переноса для ближайших со- седей все равны А, получаем Е = Еа С ' А~~~ ~ежа, и (2,5.18) где суммирование ведется по ближайшим соседям. В конкретном случае простой куоической решетки из (2.5.18) получаем Е = Е, и С -;. 2А(соз $ — ' соз т) —,'- соз ~), (2.5,19) где в=Хан а)=ха,; Ь=каа ПРеДставляют сооой составляющие волноього вектора в направлении трех осей кристалла, Вблизи дна зоны мы можем разложить косинусы в ряд по составляющим к и получим Е = Еа --' ЗА (йа)а, (2.5.20) т. е. формально ту же квадратичную зависимость от )г, что и для свободных электронов, При возрастании волнового вектора )г энергия будет уже существенным ооразом зависеть не только от его величины, но и от направления. Форма получающихся изоэнергетическнх поверхностей опять будет существенно зависеть от кристаллической структуры металла, На рис.
2.!1 показано, как согласно (2.5.19) изменяется вид изоэнергетических поверхностен в простой квадратной решетке по мере возрастания энергии, а на рис. 2.12 продемонстрировано, как из аналогичных построений для трехмерных кристаллов возникают характерные для благородных металлов и никеля открытые Ферми-поверхности с образованием шеек на гранях зоны Бриллюзна. й 2.6. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИИ В МЕТАЛЛАХ 118 Мы уже видели, что учет одной трансляционной симметрии в кристалле дал нам много сведений об общем характере энергетического спектра.
Но кроме трансляционной симметрии кристатл обладает еще и другими типами симметрии, которые оказывают существенное влияние на его электронный энергетический спектр, Рассмотрим, точечную группу симметрии кристалла, т, е, совокупность операций симметрии, каждая из которых преобразует кристалл, а следовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
