Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Г!рп гпну этого прге гшсывшот различию тггггогг столкцонеггий, об) словггггваюпгггх процессы геплопроводностп (т, е, величину /() и процессы электропроводностп (т. е. нслпчпну и). Времена релаксации для этих двух тггггов процессов (тгь п тег) различны. ЗАДАЧИ т.!. частица в вагине. а) используя граничное условие ф=й на по. верхности куба со стороной Ь, найти все волновые фуггнгггггг лля первых трех различных по величине уровней энерпш. б) Записать ныражепия для величин энергий кзнтдого уровня. в) Чему равно вырождение каждого уровня, т.
е, каково число независимых аолноных функций, соответствующих состояниям с одной и той же энергией? (При подсчете вырождения пренебречь наличием спина у электрона.) 7.2. Кинетическая энергия электронного газа. Показать, что при абсолютном нуле кинетическая энергия электротшого газа (в трехмерном случае) равна ЕО = 'гз ЖЕР где Л' — число электронов в ш!степе, аг — энергия Ферми.
7ай Давление и лзодуль всесторонне~о сжатия элентронного газа, а) Вывести форм)лу, снязываюшую давление п обвея электронного газа прп О'К. Указание: Воспользоваться результатом задачи 7.2 0 форм)лой дтя ег, содержаптсй кошгентрацшо электронов и. Результат можно записать в впдс. Р = з~зЕе!)( б) Показать, что мод)ль всестороннего сжатия В =- — )'(ОР(д)т) зле!- тронного газа прп О'К равен В =. аВР = ГОЕэ!27. в) Пози зуяс!. данными пз табл. 7.1, оценить для лития вклад в модуль В, связанный с палпчнеа я металле электро!шого газа, и сравнить результ.ы с экспериментально измеренным значением модуля В, испол! з)я формулу (! 29! и вели шны нз табл. 4.2.
7,4, Химический потенциал. Найти точное трзпспендепгпое уравнение для хпшшссього потенциала р(Т) газа Ферми в да! мерном случае. Указаппа. 1(лотпосм состояний сноботшога злситронпаго газа в двумерном случае яе зависит от энергии: ВУ(е) = ш)пйр па единицу поверхпосы! (двумерного) образ~!а. 7.б. Граничные условия н волновые фуннцни. Пусть в кристалле авеле,ш система координат с пеортогопальнымп етпиичпымп векторатш а, Ь, с.
Показать, что граничные )слонпя на поверхностях паралл: лсп;шеда с ребра!и Л',в, Л',Ь, Л'зс да!от для решений во:шового уравнения снобом!ого электрона фупкш:и вида ф - схр ~ ( —,, Л + — ",' В+ — ", С) г~, гд. 1, ш, л — поло чительные !гл~! отрштательпые ~ елые числа, Ль Л'з, ЛЧ— также цсль.е числа, А, В, С-- векторы обратной решепа!. 7.6. Ферми-газы в астрофизике, а) Л(асса Солнца !(ш = 2 !Ом г. Оцепить число электронов в вещесгпе Солнца.
В звездах типа белых карликов вследсп ие иопнзацни электроны свободны, а поскольку плотность таких ввез! очень велика, то же количество электронов разместилось бы в обьече и~эра радиусом 2 10" см. Определить энерги о Ферми электронов в этом случае. б) В релятивистском пределе в » шсз энергия электрона а связана с волцовым числом Ь соотношением в яв пс = йсй. Показать, что в этом случае энергию Ферми электрона а можно грубо приближенно оценить из соотношения ег яв йс(Л)М)ыз. и) Пусть в веществе пульсара радиусом 1О км содержится такое же число электронов, как получено выше в (а); показать, что в этом случае энергия Ферми будет порядка 1Оз эВ.
Эта оцешса позволяет объяснить, почему пульсары сижают состоящими в основном из нейтронов, а не из прото. аов и электронов. действительно, энергия, выделяющаяся при распаде нейтрона п-ер+е, составляет лишь 0,8 10' эВ и недостаточно велика для образования такого количества электронов, которое сфорьшровало бы фермпевскае электронное «морга. Распад нсатропоа происнодпт лщиь до тех пор, пока кониснтраиия электроион не достигнет велич.шы, отвечающей энергии Ферми, равной О,Я 1О' эВ, прп которой конпентраппп иейгранон, протонов и электронов будут аазодитгся в разновес~пи 7.7.
Жидкий Не'. Атомы Не' имеют спин, равный 1)2, и следовательно валяются фермнонамп. Плотность жидкого гелия пз Не' вблизи аосолютпого нуля равна 0,001 г/см'. Вычислит энергшо Ферми ег и температуру Ферми Гг. (Обзор свойств жидкого Нез имеется, иютрпмср, и книге з алиса )14),) Г л а в а 8.
СВОБОДНЪ|Й ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ФЕРМИ. П Диэлектрическая реакггпя электронного гпза.............. 282 Распростр пенно элсктромэгнгпнык волн в плазме (поперечные оптюесэне эо. лнй г2ачк пролрачаостн осело псыч мсталлон в улетрачнюлетоаагг облвстп спект. ра гзьег Рэспгострамасге эт гаро мгнкгпык волн в п,ызтге (пропп.гение оптпческме чгольн (2Э !. Плазмоны 288 электростатическое экраннрозавне !220!. Электрон-электронные столиноэекня 294 Движение в магнитном поле 297 ЦНКЛОтрОэпэа гмоэета <227! СГЭПГЧССКОЕ МатнстОСОПРОтНВЛС.ПЫ !2ЭМ. ЭЕ$ЕКт Хол.та ррэо!. Залами 303 777 Литература . Прп,оаеснпе, отпогящсегч к дпнноа глана: |л.
Зависимость лпэлеитрпческой функции от волнового вситора лая ферми-газа сноболнык электроггоп 727 В этой главе мы завершим рассмотрение наиболее всаэкных свойств свободного электронного газа. Наша цель состоит в том, .тобы с максимальной физической ясностью осветить все аспекты повеления свободного электронного газа и сделать зто до того, как мы перейдем (в гл.
9) к рассмотрению тех модификаций нарисованной картины, которые вносятся эффектамп взаимодействия электронов проводимости с кристаллической решеткой. Мы начнем с рассмотрения реакции свободного электронного газа на воздействие внешнего электрического поля. Статическая реакция электронного газа сводится к электростатическому зкранированню кулоповского взаимодействия. Динамическая реакция электронного газа проявляется в типичном для металлов отражешш света и в возбуждении плазмонов — форме коллективного движения электронного газа. Уравггение Максвелла, учитываюзцее диэлектрическую реакцию среды, записывают обычно в виде (СГС) го1 и= — оЕ+ — —; 4м 1 д|Э (8.1 а) (СН) го! Н=аЕ+ 7, . 28! (СИ) го1Н = — ', (е,Е+ Р). ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В отсутствие столкновений уравнение движения свободного электрона в электрическом поле имеет вид: г(гл т —, = — еЕ. г((с (8.2) Если х и Е зависят от времени по периодическому закону с-':"', то вместо (8.2) получим: — от' нгх = — — еЕ, х = =,.
т гпм' ' (8.3) Днпольный момент р электрона егд гнеР ' (8.4а) а для поляризация (определяемой как дппольный момент единицы объема) имеем: не' Р= — мех= — —;Е„ (8.4б) л! ге' где н — концентрация электронов. Введем диэлектрическую функцию се соотношением (СГС) е (го) = =—.— '.== 1 0 (ем) Е (нч (СИ) е (го) = при частоте го, определив + 4п —,—; Р (ге( П (ге( ' Р (ге( '+ ..'(- (8. 5) где обозначения подчеркивают тот факт, что величины Е, Р, (З относятся к одной и той же частоте ы. Воспользуемся выраже- г) Детальное рассмотрение определений диэлектрических величин дается в гл.
(3. яа2 ( Здесь о — электропроводность, Н вЂ” магнитное поле, Š— алек трическое поле,.0 — электрическая индукция. Величина 0 определяется соотношением: 0 = Е + 4лР (в СГС) или О = — г„Е + Р (в СИ). Поляризация Р есть дппольный электрический момент единицы объема '). Члены оЕ и дР(дГ обусловлены смещением зарядов; первый — свободных зарядов, второй — связанных. Введение этого различия не обязательно, и мы с тем же успехом можем дать определение величины Р, включив в понятие поляризации смегценпе и связанных, н свободных зарядов. Тогда уравнение Максвелла можно будет переписать в виде (СГС) го1 Н = — —, (Е + 4лР); (8.1о) пнями (8.4б) и (8.5) для нахождения диэлектрической функции свободного электронного газа; в результате получим: (СГС) (ы) = 1 — —;,, (8.6) (СИ) е(ы) = — !— веслами' П.сиз.!сенную шсгогр ') определим выражением 4лп *' (СГС) соз ==- — ' —; Р ы (8.7) от- =— сы з Р еепс (СИ) Тогда дпэлсктрсшеск) ю функнспо мо;кпо записать в виде 2 е (со) 1 (8.8) Зссвисихсость этой функции от частоты со изображена на рпс.
8,1. распространение электромагнигных волн в плазме (поперечные оптические моды). Прн всех частотах, меньших соь величина е(со) отрицательна. Днспсрснонный закон отз е (ы) = е'Ка (8 ей) для электромагнитных волн не дает викакпх волновых решений прп отрицательной диэлектрической проницаемости, Решения имеют впд схр( — ~К)х) в ооластн частот 0(со емы, Волны, ппдаюшне на таку|о среду (с частотами в указанном интервале). полюстькз огражасотся.
Электронный газ действует как частотный фильтр. Электронный газ становится прозрачным лишь для ьолн с частотами оз ) со„, поскольку в этой чассотнои областсс лпэлскт(зпчсская функция положительна. Гели для диэлектрической фсшшнп пы воспользуемся выражением (8.8), то лля лнспсрспоннсгго закона полусихс: оса = от'-' + езй'с; закон в таком виде справсчьтссв для поперечных электромагнит- ных волн в плазме (см. рис. 8.2а), 283 ') Плазма — среда, в которой коиоеитрагши полоясител пых и отрипательных зарядов одпиаковы, причем по крайней мере одии из типов зарядов обладает подвижностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
