Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Схема, нллюстрпру!ощая образование плазмона в металлической плевне прн неупругом рассеянии электрона, падающего нормально к поверхности пленки. Типичные энергии падающих электронов составляют от 1 ло 10 кзн. Энергия образующегося плззчонз может быть порялка 10 эВ. Схема справа — возможный случай образования сразу двух плазме:гов. ~ м1) ч ф в тхвл ивл ба Энергии нлаэмонои Экспернмсн аль нос значенас Кы,, эВ Вычисленаое заачение Ды , эВ Вевгество образца Литература ! дл» свободного электрона, "см, <з.т) ' с учетам поправок на подиризапию Диэ.театрика ") )па.тдпроаодникооые п.мики) 51 16,4 — 16,9 !6,0 Сте И,Π— 16,4 16,0 1п6ь 12,0 — 13,0 12,0 ') этн данные взяты из работы Фнтнппа и эрснравьл ВО).
В столбсе, где приведены экспериментальные значении, левые зп.г,ения полунин яз нгпзчоскик пзнсрении, пра. аые †азмеренив потерь эаергин электронэмн. Коллективные плазменные колебания можно возбудить также в диэлектрических пленках; результаты для диэлектрических пленок трех полупроводников приведены в той же табл, 8.2. Расчет энергии плазмонов в Ы, Сте и )пЭЬ производился исходя из того, что на каждый атом приходится четыре валснтных электрона.
В диэлектриках плазменные колсоания физически точно такие же, что и в металлах; электронная жидкость из валентных элекзронов смещается по отношению к ионным остоВам то в одну, то в другую (противоположен)ю) сторону, 290 Электростатическое экраиирование, Если мы «погрузим» пробный точечный заряд д в состоянии покоя внутрь металла, то электронная концентрация вблизи этого пробного заряда испытает возмущение, в результате которого электрическое поле заряда окажется в значительной мере скомпснсированным полем, индуцированным нарушением однородности электронной концентрации. В этом случае говорят, что пробный заряд экранируется электронным газом, Для описания этого явления вводится хараътеристика, именуемая длиной экранирования; на расстояниях, меньших этой длинь), экранирование эффективно не проявляется, а на больших расстояниях становится все более и более полныгм.
бпемпранананеанаи патенттгтап и и— етп™ абпаотпь пабьтшенной нонценп~раааа епентронаб абпаать . рабнобеонол нонаентрьпаа зпентронаб Можно теперь дать приближенную трактовку статического экранирования. Запишем известное из электростатнки уравнение Пуассона; (СГС) ггчз = 4пе [п(г) — по[, (8.1 9) (СИ) Ир = — [п (е) — по), где гр(г) — электростатический потенциал, п(г) — и, характери- зует отклонение концентрации электронов от однородного рас- пределения. Мы можем составить другое уравнение, связывающее элек- тростатический потенциал с концентрацией электронов, исходя из того, что элсктрохпмическнй потенциал электронного газа при равновесии (см. гл. 7) должен сохранять постоянную ве- личину независимо от положения.
В той части объема образца, где электростатический потенциал отсутствует, электрохимиче- скнй потенции.л согласно (7.21) связан с однородной концент- рацией по (при абсолютном нуле) соотношением 1т г р = ео = — (Зияло) Ь. е 2ти (8.20а) А в той области объема образца, где электростатический потен- циал равен гр(г), для электрохимического потенциала имеем: й' Р, = еь (г) — егр (г) —, [Зи'п (г)] ' — егр (г).
(8.20б) Это выражение для электрохимического потенциала является приближенным (такое приближение называют приближением Томаса — Ферми); оно должно быть справедливым и для электростатического потенциала, когда последний мало изменяется на расстояниях порядка длины волны электрона. Если электро- химический потенциал сохраняет свою величину при изменении электростатического потенциала, мы должны иметь (рис. 8.8): Ьг йг —,„[Зл'и (г)1 ' — егр (г) = 2 [Зиппо[ ° (8.21) 10" 291 Рис.
88. Схема, пллгострпгбтзоцгая постоянство элсктротимпческого погон. пиала. 11ри тепловом равновесии н равновесии концентраций (нет лпффузип) этектрокпмический потенциал постоянен по всему объему. Чтобы поддерживать его постояииызп мы увели пгваем конпеитрашпо электронов в области пространства, где низкий потенциал, и уменьшаем в области, где потенцгал высокий.
При разложении (8.2!) в ряд Тейлора получим: Ле, —" [и (г) — ао[ ж сор (г). Лна Согласно (8.20а) г(ел(Ыо — — 2ег/Зпо, откуда следует, что 3 от но а (г) — по — ао 2 е„ (8. 21 а) (8. 21 б) Итак, (8.19) примет впд 2 (СГС) Ч-'ч = — '"'"' ч = ат, е, (СИ) ~'-'р= 2,'"" т=~.'г, ооол (8 221 где (СГС) ).'= ',' = „," ( —,') = — "„". (8.23) Здесь ао — боровский радиус. Мы ншем потенциал, обладающий сферической симметрией; такие потенциалы являются решениямп уравнения (8.24) где дифференциальный оператор в левой части есть радиальная часть оператора ~о в сферических координатах, Искомый по- тенциал, удовлетворяюшпй (8.24), имеет вид ~р(г) = (8.25) Действительно, путем прямого дифференцирования полунин Потенциал (8.25) называют экранированным крлоноаским потенциалом.
Длина экранированин определяется как величина, обратная постоянной )„ т. е, 1/Х (см. рнс, 8,9). На рис. 8.10 приведена ее зависимость от концентрации электронов и. Для меди, у которой по — — 8,5 10оо электронов/смо, длина экранирования равна 0,55 А. Более строгие расчеты эффектов экранирования рассмотрены в книге автора [14[.
Часто оказывается удобным рассматривать эффекты экранпрования в электронном газе, вводя некоторый внешний потец. циал синусоидальной формы. Такой анализ проведен в Приложении О, где результаты выражены через диэлектрическую 292 ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Поразительным в металлах являешься то, что электроны проводимости, находясь в среднем иа расстояниях 1 — 3 А друг от друга, проходят в металле относительно большие расстояния, не сталкиваясь между собой.
При электрон-электронных столкновениях средняя длина свободного пробега при комнатных температурах превышает !О' А, а при 1'К вЂ” более 10 см. Столь большой свободный пробег обусловлен двумя о<бстоятельствами, без которых модель свободных электронов в металле не имела бы большой ценности, Первое, наиболее важное, — принцип Паули (см, рис, 8.11), а второе — экраиировацпе кулоновского взаимодействия между двумя электронами. Рис. 811. Схема акта столкнонег ня двух электронов с волповымя негтораэги а, я кт.
После столкновения электроны имекгт волновые векторы )гз и йс Принцип Паули допускает лгггпь такие столкновения, в которых конечные состояния, характеризуемые векгорамп Гтз н ан были до столкновения вакантными (незанитыми). Сейчас мы покажем, как принцип Паули понижает частоту столкновений электронов с низкой энергией возбуждения ег вне заполненной сферы Ферми (рис. 8.!2). Оценим влияние принципа Паули в случае двухчастичного столкновения: 1+ 2 — >3+ 4. Эта схема описывает столкновение электрона в возбужденном состоянии 1 с электроном в состоянии 2 внутри сферы Ферми.
Удобно отсчитывать энергии от уровня Ферми р, приняв его за нулевой; тогда ег будет положятельной, а ез — отрицательной величиной. В силу принципа Паули состояния 3 и 4 электронов после столкновения должны находиться впе сферы Ферми, поскольку нсе состояния внутри сферы уже заняты. Следовательно, энергии ез и и4 должны быть положительны. Закон сохранения энергии требует, чтобы 1ез! ег, так как в противном случае условие е, + еч = в, + е, (где обе стороны положительны) не может быть выполнено. Это означает, что столкновения возможны в том случае, если состояние 2 лежит внутри слоя толщиной и, внутри поверхности Ферми (см.
рис. 8.12,а). Таким образом, подходящей «мишенью» для электрона 1 является не любой электрон, а лишь какой-то один из заполненного слоя, в котором число электронов составляет долю =ег/ел всего их числа '). Но даже если «электрон-мишень» 2 ') Этн расчеты были выполнены Морелем и Нозьсроэг 1151, 291 йх Р".",.".шкм ха .'.г, -" У."е:а Леш еелеяеэм еея" е " Рве. 3.)2. Пояснение пропесса столкновения двтх электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
