Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 53
Текст из файла (страница 53)
а) Электроны сталкиваются в состояшшх, характеризуемых в )т-пространстве точкатш ! и и. Если показанные на схеме состояния 3 и 4 до столкновения были вакантными (ггезапятыьш), то электроны 1 и 2 после столкновения могут переспи в состояьшя 3 и 4. Энергия в пьшул~с при этель разумеется, сохраняются. б) Сптуаеия неогуществнмостн столкновения. Для электронов в начальных сосгоя. ниях ! и 2 не имеется подходящих вакантных конечных состояний, которые допускали бы выполнение законов сгжранепия прн столкновении. Вооб~тте говоря, среди состояний 3 и 4 можно было бы найти такие, для которых за. коны сохраненвя энерю:и н импульса выполнялись бы, но состояния 3 н 4, показанньн: на схеме, находясь в ~лубине сферы Ферми, пе могут быть вакаитнытш, потому что опн уже заняты обычно другими электроиюпь и столкновение неосуществимо из.за принципа Паули, о) Здесь крестиком обозначен конец волнового вектора центра масс частиц 1 н 2.
Для всех пар состояний 3 н 4 цтшульс и энергия сохраняются в том случае, если эти пары ле.каг па противоположных концах диаметра малой сферы. Цевтр малой сферы выбран в пеитре масс частиц ! и 2 )!е все пары точек 3 н 4 разрешены приппппом Паули; допустимы лишь пары, лежащие вне сферы Ферми !зтот случай и показан на схеме); поля таких разрегяеьных состояний приближенно равна отношению еи)ее. находится в слое нужной энергии, лишь небольшая часть конечных состояний оказывается совместимой с требованиями закона сохранения энергии н импульса и допустима по принципу Паули.
Это обстоятельство уменьшает допустимое количество еще иа множитель г!тел. На рис. 8,12, в показана малая сфера, яа поверхности которой все пары состояний 3, 4 на противоположных концах диаметра удовлетворят требованиям законов сохранения, но столкновения возмо>!сны только такие, в результате которых оба состояния 3, 4 оказываются вне сферы Ферми. В результате понижающий множитель равен (ет~гее)'. Если е! 295 отвечает 1'К, а ег — температуре 5 104'К, то (апгаг) ж 4 10-". Это и есть фактор, который характеризует величину уменьшения частоты столкновений, вызванного влиянием принципа Паули. Высказанные соображения сохраняют силу и для распределения электронов при конечных, но низких температурах йаТ « ег.
Если е~ порядка тепловой энергии, т. е. ЙвТ, то уменьшение частоты элекзрон-электронных столкновений относительно классической величины будет характеризоваться множителем (лвТ)вг)', а для эффективного сечения столкновений получим выражение Щ па (8,27) гдс оа — сечение для экранирования кулоновского взаимодействия. Взаимодействие одного из электронов с любым другим имеет порядок длины экранирования 1/Х. Численные расчеты эффективного сечения столкновений между электронами (с учетом экраиирования) дают величину порядка 1О-м смз, или 1Ойз для типичных металлов.
Влияние экранирования сильно сказывается при электрон-электронных столкновениях, уменьшая сечение рассеяния ниже величины, которой можно было ожидать пз формулы Резерфорда для случая неэкранированного кулоновского потенциала. Однако наибольшее уменьшение связано с влиянием принципа Паули, оно характеризуется множителем (йвТ)аг)'. При комнатных температурах у типичных металлов отношение ИаТ!аг порядка 10-', а следовательно, о 1О 'оа 10 "ем~. Средняя длина свободного пробега прп комнагной температуре для электрон-элсктоонных столкновений равна тогда по порядку величины 10-' см; действительно, -1 1, мж — 10 см. ао Зто значение 1мсм по крайней мере в 10 раз больше, чем средняя длина свободного пробега для элсктрон-фононных взаимодействий при комнатной температуре; это значит, что электроны сталкиваются прсимушествеино с фононами.
При температурах жидкого гелия вклад в сопротивление пропорционален Т' (это было установлено для индия и алюминия в работе Гар. ланда и Бауэрса [16]), а также температурная зависимость согласуется с выражением для сечения при рассеянии электронов на элекзронах [см. (8.27)). Средняя длина свободного пробега электронов в индии при 2 'К оказалась порядка 30 см (иак и ожидали). Отсюда видно, что принцип Паули дает ответ иа одну из центральных проблем теории металлов: почему электроны проходят в металле такие большие расстояния, не сталкиваясь ь)ежду собой. >хВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ В соответствии с соображениями, высказанными при установлении соотношения (7.45), мы полагаем, что на частицы действует сила Е, в результате чего все точки сферы Ферми испытывают смещение в й-пространстве на бн; уравнение движения имеет вид: (8.
28) Член й(а>>е(1)бй опясывает ускорение свободной частицы, а эффект столкновений (аналог трения) описывается членом 6 бм/т, где т — время между столкновениями. Рассмотрим теперь движение системы в однородном магнитном поле В. Иа каждый электрон будет действовать сила Лорентпа (СГС) Е = — е (Е + — в ',>с', В), (СИ) Е = — е(Е+ и,'>с', В). (8.29) Поскольку т бо = й Я, то уравнение движения примет вид (СГС) т ( —, + — ) бв = — е (Е+ — бв,'к', В) .
(8.30) Приращение скорости бо, фигурирующее в правой (силовой) части уравнения (8.30), представляет собой среднее значение в, взятое по поверхности Фсрми. (СГС) т —, бо„= — —, бее' т лг б "и = Л еВ е! ев ') Это условие подобно условию острого резонанса для системы типа затухающего гармонического осниллятора, уравнение движения для которого имеет вид Г е>зх 1 е>х, > '1 -геи -1- — — +ю х) ее ' °, а ) Циклотронная частота.
Рассмотрим уравнения движет;я для случая, когда поле В направлено вдоль осп г. Для простоты будем считать т-~-оо и положим Е = О. Заметим попутно, что столь же просто можно было бы решить уравнения и для конечного т. Услогн>е существования хорошо выраженной резонансной линии') выполняется при ю,т 1, где ю, дастся приводимой ниже формулой (8.33). Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8.30), записанное в компонентах по осям х и у, примет вид Д0 001 0 10 70 00 100 700 000 1000 Рнс, 8ЛЗ. Зависимость частоты пнклотронного резонанса В (в Ггп) от вели- гпиы магюиного полн (в кГс) длн свогзодпых электронов. Штриховой линней показана связь иезкду длиной электрома-чнтпой волны Х (прп осуществлении пнклотронного резонанса) и иапштныи полем.
бпу оез~п озгу (8.32) боз = пе соз озсВ где (СГС) (СИ) ы, = — ' (8. ЗЗ) Эта частота оз, и есть т)иклогроннпя частота для свободного электрона. Чгтслензгые значения оз. (в МГц) в согласии с графиками на рис. 8.13 можно определять по формуле /а(МГц) 2,80 В(гауссы)=2,80 ° !О ~В(тесла), (834) где /, — = оз,/2л. Амплитудное значение скорости пе в (8.32) не является скоростью Ферми; это просто величина какой-то начальной дрейфовой скорости электрона на поверхности Ферми. Для свободного электрона в поле 10 кГс получим: со.
= = 1,76 ° 10" рад/сек. Если время релаксации (как для чистой меди) равно 2.!Оьы сек при ЗОО'К н 2 10 — -' сск прн 4'К, то для Сн имеем соответственно сз,т = 3,5 1О ' и 3,5 10'. Следовательно, циклотронная орбита при комнатной температуре никогда не может сформироваться, а при гелиевых температурах электрон до столкновения проходит по орбите много витков. Статическое магнетосопротивление. Важную роль во многих ситуациях играет случай, когда постоянное магнитное поле В направлено по осн г (т, е. перпендикулярно к плоскости ху). 298 100 ~Ъ ьы 00 10 Решения этой системы уравнений имеют вид 1 й 07 'т 000 Тогда для электронов уравнения движения имеют следующий вид: и ( — „, + — ) бо, = — е(Е, + — боу), пг( — + — )6о = — е)Š— — 6о ), т) у= ~у с ) и ( —,+ — ) йо,= — еЕ,.
г (8.35) Те жс уравнения в системе СИ получим, заменив е на 1. В стапнонарпых условиях производная по времени равна нулю, н вмссто (8,35) получим: с'г Ьо = — — Š— сг тйо; х ,г 'х с у йоу = — — Е, +сг,тбо,; (8.35) йо = — — — Е. ст О~ Решая эту спстсму уравнсний относительно М, и боу, найдем: стдэ Ьох =.— — г + ( " ), (Ех — ОстЕу), (8 3?) Ку у (8.38) 1у оухЕх+ оууЕу г + ( . )к (сгхтЕх+ Еу) 1, =о„Е,= о,Ех, где ос == — пе'тгггг.
Коыпопснта плотности тока по осп а, очевидно, не существенна, если магнитное поле направлено вдоль оси з, но для полноты мы ее выппсали в (8.38). Плотность тока можно записать также и в матричной форме: г„= ~", сит г о е, . (8.39) Из выражений (8.38) видно, что диагональные элементы тензора проводимости, а именно охх и о,у, характеризующие 299 Плотность тока для электронов описывается соотношением 1 = п( — е)бо, Для компонент вектора плотности электрического тока соотвстственно нмссм: бу Рис. 8.14, К опвсанню эффекта Холла, Обычно для опнсачня эффекта Холла используется так называемая стандартная геометрия.
а) Образец в форме прямоугольного бруска (параллелепипеда) располагается в магнитном поле, направленном по оси г, так, чтобы одна из плоскостей бруска была перпендикулярна к маг1п1тному полю, а электрическое пале Е (направление исходного тока )) совпадало с осью х. Электрическое поле Е„приложенное к электродам на торцах бруска, вызывает ток с плотностью )„текущий вДоль бруска.
б) Сечение, перпендикулярное к оси г; момент, когда дрейфовая скорость только возникла. Схема иллюстрирует тот факт, что при првложенпп внешнего электрического поля электроны сразу приобретают некую дрейфовую скорость. Отклонение электронов к оси — р вызывается действием магнитного поля. Электроны накапливаются на одной грани брусна (отрнцательный заряд), а на протнаопочожной грани «обнажвашиесяъ положительные ионы нрвводят к накопленщо избыточного (по отношенвю к нойтральной ситуации) положительного заряда. Этот процесс продолжается до тех пор, пока образ)чощееся поперечное электрическое поле (поле Холла) не скомпенсирует сйлы, действующие на электроны со стороны магнитного поля.
Устанавливается стационарное состояние (при фиксированном внешнем электрическом н магнитном полях). в) То же сечение, что и в случае б; дрейфовав скорость постоянна; уже установилось стационарное состояние. эффект магнетосопротивления, при уменьшении величины магнитного поля В (или ш,) монотонно убывают. Неднагональные элсменть1 о„„и од, при увеличении величины магнитного поля В сначала возрастают, а затем убывают. Однако, чтобы определить экспериментально электросопротивление в магнитном поле, следует специально выбирать геометрию опыта (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
