Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Подставим разложение Фурье (9.14) в уравнение (9.!3). Для члена кинетической энергии получим: 2 2 ' ~(") в 'х 1 ) к ') такой подход аналогичен приыенениоыу в Приложении А (в конце книги) длн электромагнитных волн в кристалле. В Приложении г описан другой весвзза полеаный подход, известный как приближение сильной салли, который танже приводит к энергетической зопной структуре, 315 бе 2зг ° Уса и — =28 = а ,гт кр=е' — ' Рис. 9.4 Вертикз.зьззьз(з ряд точек слг.
ва изооражает зиаченизз волюзиых векторов К = 2пи(ь, совместззмых с периодическими граяичнымп условиями, налагаемычи иа волновую Функцию для цепочки в чзьте колыза длиной Е. Набор разрешенных значений в этом случае простирается от— до +со. точки в правом столбце изображают несколизо первых волионыт векторов, которые могут входить и разложение Фурье (9.14) для Фуичини Ф(х), если в качестве частзюго случая для длины волнового вектора Ка взять значе~зззе 8 (2я/Ь). При нанесении точек ираного столбиа мы чрсдположилп, что кольцевая цепочка состоит из 20 элементарных ячеек с постоянной решетки а = ь(20 и, следовательно, самый короткий вектор обратной решетки имеет длину 2н,'а =20 (йя!Ь), ° И вЂ” — ' = - 22 ат 2гг а 316 для члена потенциальной энергии имеем: ( ~ Ь(пега") зр (х) = Х Х Ьга езо. С (К) егк (9 рбб) О Теперь волновое уравнение получится в виде суммы (9.15а) и (9.155): КзС (К) езкз 1„~~, ~ Ь( С (К)ез (кеазх г ~~з С(К) езк» к о А л (9.15г) Это уравнение станет более наглядным, если использовать свойство ортогональности различных фурье-компонент, а именно: бГХЕ-'К'л Е'К" = 1 , [ег(к-к" б — !1=0з если К'~К; 1 1 (К вЂ” К') (9.15г) Ь, если К' = К.
Мы брали К и К' в форме К = 2пп(1-, К' = 2нгг'1Е, где и, а'— цслые числа, и поэтому естественно, что ехр(1(К вЂ” К')Ц = = ехр(2п((а — п')) = 1. Теперь умножим обе стороны (9.15в) на схр( — 1К'х) и проинтегрируем по г(х; в результате получим волновое уравнение в виде — К' С(К') + ~~ (УоС(К' — 6) = еС (К'), а (9.16) поскольку согласно (9.15г) остались лишь неисчезающие члены и двойной сумме (9.15в), в которых К удовлетворяют условшо К+ 6 =- К', или К = К' — О. Уравнение (9.16) является самым важным уравнением зонной теории твердого тела, Его можно переписать в более компактной форме, если заменить произвольный индекс К' иа К, что мы можем теперь свободно н проделать, не испытывая каких-либо сомнений, Ири этом для членов кинетической энергии, отвечающих фурье-компонентам К введем обозначение йт Кг апт (9.17) Итак, для уравнения (9.16) получим: Р.к — е) С(К)+ Х и,С (К вЂ” С) = О.
с (9. 181 Это очень полезная форма волнового уравнения (9.18). Она вьгглядит несколько необычно' ) только потому, что вместо привычного дифференциального уравнения мы имеем систему алгебраических уравнений. Однако в задачах, где функции потенциальной энерг1ш являются периодическими (а этот случай нас н интересует), с физической и педагогической точек зрения трудно иметь дело с дифференциальным уравнением. Для нахождения коэффициентов С из системы (9.18) будем считать, что волновые ф)нкции имеют внд (и) =,г С(К вЂ” С) и' о Уравнения (9.18) связывают коэффициенты Фурье С(Кв) компонент плоской волны ехр(1Кох) какой-либо конкретной орбитали с системой коэффициентов С(Ке+ 6) для всех других плоских волн ехР(1(Ко+ б)х), котоРые входЯт в РЯд ФУРье этой орбитали.
Не существует жесткого правила, которое указывало бы нам путь классификации для орбиталей фк(х), т. е. какие (9. 19) 311 ') Волновое уравнение в этой форме впервые было получено Бете [4) в его работе по лнфракнии злектронов в иристалле, Мы назовем его основ. ным уравнением. К+ б отвечают данному К Полезно, однако, ввести такой уго. вор: пользоваться в качестве характеристики тем волновым вектором К„компоненты ф, который лежит внутри первой зоны Бриллюэна данной решетки. В одномерном случае таким вол новым вектором будет лежащий в интервале мсжду — п/а п л/а. Правило построения зон будет тогда обеспечено тем, что каждая другая компонента К«+ б будет лежать впе первой зоны. (Индекс нуль в Ка будет «временной опоройь для того, чтобы пометить данный конкретный волновой вектор пз рассматриваемого набора.) Для любого фиксированного К, пз большого набора значений 2ли/Ь, допускаемого периодическими граничными условиямп для одномерной решетки длиной Е, мы всегда мозкем найти волновую функцию (орбиталь), удовлетворяющую уравненшо Шредингера, решая систему уравнений (9.18).
Действительно, поскольку это система из бесконечного числа уравнений, то будет существовать бесконечно много различных значений энергии для любого данного К,. Наиболее интересными для нас будут решения, отвечающие наипизшей энергии. Бсе эти соображения станут ясными, если выписать уравнения для конкретной задачи. Обозначим через д наименьший из векторов обратной решетки 6 и предположим, что выраженпс для потепцпальпой энергии содержит лишь один член, т. е. лишь одну компоненту Фурье У« — — (/ х, которую обозначим через У. Тогда система (9.18) будет содержать следующие трп уравнения: (йю — а) С(Ко)+!/[С(Ко+ 8)+ С(К« — д)] =О (9 20) () к,з-а — е) С (Кз+ д) + 0 [С (Кз+ 2я) + С (К«)] = О, (9.2! а) (Хх,.-а а) С (Ка д) + (У[С(Ко) + С(Ко 2д)] = О.
(9.2!б) Легко видеть, что второе и третье уравиеиия получаются пз первого заменой К«на К, ~д. Заметим, что в данной задаче коэффициенты С(К«+2д) н С(К« — 2д) становятся связанными между собой и следует выписать нз системы (9.18) еще два уравнения: ()хззх — а) С (Ко + 2я) + (l [С (Кз + Зд) + С (К«+ д)] = О (922) ().к„за — а) С (Ко — 2д) + У [С (Ко — д) + С (Ко — Зд)] = О (9 23) Далее мы можем выписать уравнения для С(Ко ~ Зд), н т. д, до бесконечности.
Во всех этих уравнениях энергия е будет одной и той же, и она-то и подлежит определению, а через Хх,+,к обозначена величина лз(К, + зд)з12т, где з — целое число. Мы видим, что система из бесконечного числа уравнений получается даже для задачи, в которой потенциал решетки имеет чаи~а одну компоненту Фурье и. Итак, система уравнений (9.18) связывает данный коэффициент Фурье С(К) с бесконечным числом других коэффициентов 318 Фурье, которые отличаются от К на вектор обратной решетки.
Таким образом„мы получаем систему из бесконечного числа независимых уравненин одинаковой формы, вычитая из вектора К последовательно возрастающие векторы обратной решетки, как только вьнпппем уравнение для данного К. Например, вычитая из К вектор 6', получим: (Ак-о — е) С (К вЂ” 6') + ~„Ио С (К вЂ” 6' — 6) = О.
(9.24) ~ и с(К вЂ” и) СК= с ° — (Д2К)в ) (9.25) где 1,х мы вгаписали в явном виде: ),х — — йзК'!2т. Запись (9.25) подчеркивает, что коэффициент С(К) может оказаться большим, если кинетическая энергия Ь'К')2гп плоской волны ехр(~Кх) почти равна энергии, соответствующей состоянию, описываемому рассматриваемой волновой функцией фк(х). Ситуация становизся особенно интересной, если С(К) велико, но прн этом существует другой коэффициент С(К вЂ” 6'), который отвечает плоской волне ехр [((К вЂ” 6')х) с почти той же кинетической энергией: в2 (к а')2 ьзк2 вм 2т (9.26) Это значит, что может быть велик также и сам С(К вЂ” 6'), поскольку. новый знаменатель в (9.25) тогда (9.25) можно переписать, заменив К на К— Х иос(К вЂ” и' — 6) С(К вЂ” 6') =— е — д2 (к — и')'(вп~ коэффициент тоже мал, и 6', в виде (9.27) 319 К счастью, на практике мы часто приближенно вместо бесконечного числа уравнений можем с успехом ограничиться одним или двумя уравнениями или (что даже более ванцю) одним или двумя членами в разложении потенциальной энергии (одннмдвумя коэффициентами 6а), В этом и состоит объяснение секрета практической полезности развитого здесь метода.
Например, в случае двух уравнений детерминант из коэффициентов С будет типа 2 р,' 2, и соответствующее уравнение, полученное приравниванием этого детерминанта нулю, сразу дает два корня — собственные значения энергии а. Зная эти два корня, легко далее найти решение для отношения двух коэффициентов С Приведем теперь одно соображение в пользу предположения о том, что возможны обстоятельства, когда в волновой функции ф две компоненты оказываются доминирующими.
Полезно переписать (9.18) в иной форме: Следовательно, условие того, что в этом сильно смешанном состоянии доминирующий вкладдают компонснты К и К вЂ” 6', можно записать в виде (К вЂ” 6')а = Кз. (9.28) Л это условие точно совпадает со знакомым из гл. 2 условием брэгговского отражения рентгеновских лучей или электронов или нейтронов от плоскостей кристаллической решетки. Благодаря сильному смецсиванию мы должны считать, что обе плоские волны ехр[(КХ) и акр[а(К вЂ” 6')х) являются важнымн компонентами волновой функции (орбптали) фл(х) Функции Блоха. Исходя из основной системы уравнений (9.18), мы лсожем получссть чрезвьнсайно важный и полезный результат, а именно вид волновых функций (орбиталей) задачи о системе с периодическим потенциалом.
Но сначала иам нужно выбрать способ описания каждой конкретной волновой функции (орбитали). Итак, выберем какой-либо волновой вектор из имеющихся в ряде Фурье (9.14) для функции ф и обозначим его через й. Запишем разложение в виде фа (х) = ~, С(К) е'к'. (9.29) К То, что этот выбор пе единственен, в данном случае несушественно, Раньше мы брали Км а теперь нам удооно взять й. Из представления (9.19) следует, что фл (г) ~, С (~'; 6) ес са-о)к. эту запись можно преобразовать к виду с)~а (х) = ГХ С ()с — 6) е-сал) е ал е'и" и (х) (9.31) ха где мы ввели функцию пл (х) — ~) С (и 6) е-сол (9.32) Поскольку функция ил(х) есть ряд Фурье по векторам обратной решетки, она инвариантна ') по отношению к трансляциям Т кристаллической решетки, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
