Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 61
Текст из файла (страница 61)
рис. 10.1, а. Таким образом, для построения первой зоны Бриллюэна нужны четыре вектора обратной решетки; если постоянная решетки равна а, то эти четыре вектора суть ~(2п/а)й„и ~ (2п/а) Йк. Вторая зона Бриллюэна строится при помощи вектора Оа и еще трех векторов, эквивалентных «дз по симметрии; аналогичным путем при помощи вектора Оз строится и третья зона. Вто,взй рая и третья зоны, состоящие из одинаковых участков, изображены на рис. 10.1,б. Чтобы определить границы той или иной зоны, мы должны рассмочреть несколько неэквивалентных векторов обратной решетки. Например, границы крайнего справа верхнего участка третьей зоны (3«) образованы перпендикулярамн через середины трех векторов О, а именно (2п/а)й;, (4п!а) й„, (2п/а) (й, + йх).
Поверхность Ферми для свободных электронов при некоторой произвольной концентрации электронов изооражена на рис. 10.2 (случай плоской квадратной решетки). Тот факт, что части поверхности Ферми, относящиеся даже к одной и той же зоне (иапример, второй), оказываются отдаленными одна от другой, представляется несколько неудобным. Это можно поправить, перейдя к схеме приведенной зоны, описанной ими~с в связи с обсуждением выражений (9.38) — (9.41). Мысленно вырежем из рис. 10,2 треугольник, помеченный цифрой 2«, и передвинем его налево на вектор обратной решетки, в дацноп случае на вектор 6 = — (2п/а)й,; тогда ои ока>котся внутри первой зоны Бриллюзна (см. рис.
10.3). Если сдвинуть подобным жс образом в друтпе части первой зоны Бриллюэна иа соответствующие векторы обратной решетки остальные треугольники, т. е, 2м 2„2«, то в схеме приведенной зоны вторая зона окажется внутри первой. Части поверхности Ферми из второй зоны теперь соединятся, как показано на рпс, 10.4. Переместив третью зону внутрь того же квадрата, мы придем к тому, что части поверхности Ферми из третьей зоны (заштрихованные участки) еще будут выглядеть разъединенными.
Если взглянуть на эту картину с точки зрения периодической зониой схемы (рнс. 10.0), поверхность Ферми образует розетку (пли решетку розеток). Как перейти от поверхности Ферми для свободных электронов к поверхности Ферми для почти свободных электроновй Мы без особого труда можем приближенно строить эти поверхности, используя следующие четыре факта: а) Взаимодействие электрона с периодическим потенциалом кристалла приводит к появлению энергетических щелей на зовных границах. б) Почти всегда поверхность Ферми будет пересекать границы зоны перпендикулярно, в) Внутрпкристалличсский потенциал будет особенно сказываться в «острых углах» поверхности Ферми.
г) Полный объем, охватываемый поверхностью Ферми, зависит только от концентрации электронов и не зависит от деталей их взаимодействия с решеткой. Мы не можем делать (без детальных расчетов) каких-либо количественных утверждений, но можно ожидать качественно, что части поверхности Ферми, относящиеся ко второй и третьей 337 Рнс. 10.2.
Зоны Бриллюэна для плоской квадратной решеткн (двумерный слу чай). Окружность описывает поверх ность постоянной знергнн (в двумерном случке) для свооодных электронов. Для какого-то частного значения концентрашш электронов эта окружно ть будет поверхностью Ферми. Вся площадь запырпхоэанной области в й-просгранстве завпсит только от концентрация электронов н пе зависит от азана одевствня электронов с решеткой. Форма цоверхностп Ферма зависит от взаимодействия с решеткой и, разумеется, не будет нмеп форму <жружностп (в двумерном случае) для реальной решетки. Пифры !с буквамн) внутрн треугольников указывают номера зон Брнллюэна (второй н третьей) н использованы на рпс.
10.3 для описания этнх зон. ,?с" )тп . л зл«з блеттл зг«с Рьс. 10.3. Изображение первой, второй н третьей зон Брнллюэна нля разрешенных эаергетнческнх зон в схеме приведенной зоны. Участки второй зоны иа рнс. 10.2, помеченные теми же цвфрамн, формируют совместно квздрат прп использования подходящих векторов ооратной решетки. Для каждого «кусачкаэ зоны требуется «свой» вектор сг, ' ууллдая зллл фзлгэя залп уузлглла злая Рнс. 10.4.
Поверхность Ферми для свободных электронов, показанная на рнс. 10.2 в схеме приведенной зоны. Заштрихованные участки нзображают занятые электронами состояния. Отдельные части поверхности Ферми папа« дают также во вторую, третью и четвертую зоны (четвертая зона не показана). Первая зона показана занятой полностью,, Рис. !ОД. Поверхность Ферми в третьей зоне Брпллюэна а периодической зонпой схепе. Решетка розеток построена вутем повторения треп ей зо. ны, показанной на рис.
!ОЛ для прнведепиои ванной схемы. Рис. 10.6. Качественная наглядная иллюстрация влияния слабого периодического внутрикристаллического потенциала на поверхность Ферми, поиазанную ва рис. 10А. В одной из точен поверхности Ферми нзобра- ллгппч юа Тпет и згэа Рис, 1Обй Построение Харрисона поверхности Ферми для свободных электронов во второй, третьей и четвертой зонах Брнллюэиа в случае квадратной решетки. Поверхность Ферми не пересекается с первой зоной Бриллюэна, которая, следовательно, заполнена электронами. Чем плотнее штриховка, тем выше помер зовы. зонам Бриллюэна (см.
рис, 10.4), под влиянием слабого внутри- кристаллического поля испытают изменения, характер которых можно усмотреть из рис. 10,6. Приближенное построение поверхностей Ферми, исходя из поверхности для свободных электронов, весьма полезно. Построение поверхности Ферми для свободных электронов особенно легко выполнить, пользуясь процедурой, предложенной ХарРисоном (рис. 10.7). Сначала определяются точки обратной репгетки, затем радиус сферы для свободных электронов.
который жен вектор пгаг)а е. Во второй зоне энергия возрастает в направлении уменьшения й (внутрь фигуры), в третьей зоне — в направлении большпх й (наружу). Затененная область отвечает состояниям, занятым электронами, и соответствует энергиям меньшим, чем для незатененных областей. Далее выяснится, что поверхность Ферми, отвечаюшая третьей зоне, характерна именно для электронов, тогда как результат для второй зоны характерен для дырок. соответствует данной концентрации электронов.
Этим радиусом мы проводим окружности с центрами в точках обратной решетки. Каждая точка й-пространства, которая лежит внутри по крайней мере одной из сфер, соответствует занятому состоянию в первой зоне Бриллюэна. Точки, лежащие по меньшей мере в двух сферах, соответствуют занятым состоянпям во второй зоне; аналогично для точек, лежащих в трех и более сферах. элвктвоны, дырки и отквытыв орвиты Теперь выведем уравнение движения электрона в кристалле.
Сначала рассмотрим движение волнового пакета в одномерном кристалле при наличии внешнего электрического поля. Предположим, что волновой пакет состоит из волновых функций одной энергетической зоны с волновыми векторами, близкими к некоторому вектору й. Как и в волновой оптике, в данном случае об.
щсс выражение для групповой скорости имеет внд в = г(ы/Жг, Частота, связанная с волновой функцией, отвечающей энергии з, раппа о = е)й, и поэтому (!0.1) Влияние кристалла на движение электрона целиком заключено в дпсперснонном законе е(й). Работа ба, совершаемая полем Е над электроном за время И, ба = — гЕиа бй (1 0.2) Заметим, что ба = — ' бй = йо бй; ИБ ьа а (10.3) здесь использовано определение (10.1). Сравнивая (!0.2) с (10.3), получим: б/г =- — — 'б1; еп а (!0Л) следовательно, !!(Щг!!) = — еЕ.
Введем для внешней силы обозначение Г; уравнение движения запишется в виде ! И й — = тч. в~ (10.5) Это очень важный результат; в кристалле 6(дй/Ж) равно внешней силе, действующей на электрон. В свободном пространстве сила равна г((тв) ПЖ. Второй закон движения Ньютона здесь вовсе не нарушается: на электрон в кристалле действуют силы как со стороны кристаллической решетки, так и со стороны внешних источников. Если мы предпочтем выразить результирующее движение электрона только в терминах внешних 340 сил, то не удивительно, если уравнение движения не будет иметь простого вида с = та. Может быть более удивительно то, что из подхода, опирающегося лишь на понятие внешних сил, вообще возможно получить что-то полезное.
Мы будем считать, что рассмотрение, в ходе которого мы получили соотношения (10.1) — (10.5), применимо также и к силе Лорентца, действующей на электрон, движущийся в маг- нитном поле. Трудоемкие расчеты подтвердили это предполо- жение при ооьшиых условиях, когда магнитное поле не настоль- ко велико, чтобы разрушить энергетическую зониую структуру. 1!так, уравнение движения электрона с групповой скоростью и в постоянном магнитном поле В запишется в виде (СГС) й — = — — и Р', В, вй е с (10.6) грл (СИ) й — „, = — еоХВ, где в правой частц стоит сила Лорентца, действующзя на элек- трон. Если вспомюмь, что групповая скорость о=0 цгадле, т.
е. в есть быстрота изменения волнового вектора, то (СГС) — '„, = — — ', Чав Х В, (10.7) и'й е (СИ) — „, = — —,, зев К В, где теперь и правая, и левая части уравнений выписаны для координат электрона в й-пространстве, Мы видны из векторного произведения в (10.7), что в магнитном поле электрон в й-пространстве движется в направлении, перпендикулярном к направлению градиента энергии е,т.е. электрон движетсл по поверхности постоянной энергии.
Величина проекции Ив вектора й на направление вектора В произвольна, но сохраняет свою величину при движении. Эта компонента — та же, по и исходная компонента импульса электрона в кристалле. Движение в й-пространстве происходит на плоскости, перпендикулярной к направленшо В, и орбита электрона определяется пересечением этой плоскости с поверхностью постоянной энергии. Три типа орбит ') в магнитном поле изображены на рис. 10.8. Замкнутые орбиты иа рис.
10.8,а и б, проходятся в противоположных направлениях. Поскольку частицы противоположного ') Здесь в тексте и в случае, изображенном на ри . 108, мы рассматриваем двиисение электрона, находящегося ка поверхности Фермю но точно тем же п>тем мы могли бы рассматривать двнжение электрона, находяшегося на любой поверхности постоянной энергни. Большинство экспериментальных ситуаций анализируют во всех деталях, исходя лишь из свойств орбит электронов на поверхности Ферми, поскольку в экспериментах устанавлпвгются только изменения занятости состояний электронами (в й-пространстве), а этп изменения происходят легче всего именно на поверхности Ферми.
341 рлалмалагал лглгаау» Ггл саага гвлаюгг Рпс. 10.8. Изменение во, нового вектора электрона, лежашего па поверхности Ферми, при движении под действием маппыного поля. Схемы и и б для поверхности Ферми топологнчески эквивалентны неказенным на рнс. 10,6. Поле В направлено перпендикулярно к плоскости рисунка вверх. В случае и волновой вектор движется по орбите по часовой сгрелкс, в случае б — против часовоп стрелки. Направление дни>кения в случае б такое, какого можно ожидать для свободкого электрона с зарядом — а. Из-за малых значений й энергии малы, н поэтому заполненные электронами состояния лег!тат внутри поверхности Ферми Орбиты тппа б будеы называть злактрояоггодобяьглги. Поскольку характер движения в магнитном поле в случае а обратный по отношению к случаю б, то орбиты в случае о естественно назвать дылггоггодобнылги.
Дырка двшкутся как частицы с положнтельнь и электрическги зарядом +е. Случай в для прямоугольной зоны нллгострнрует двнженнс чо так называе. мой огкрьггой орбите. Это случай, топологическп промежугочный между орбнтов электрона п орбитой дырки Для наглядиосгп открытая орбита показана в периодической зонной схеме. Рпс. 109, а) Области вакантных состояний в углах почти заполненной зоны, изображенные в приведенной возной схеме. б) В периодической волной схеме различные участки поверхности Ферми оказываютсв связанными. Каждый кружок образует дыркоподобную орбиту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
