Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Видно, что энергия связи равна разности между средней энергией электрона в металле ( — 6,3 эВ) и энергией основного состояния валентного Зз-электрона в свободном атоме [ — 5,16 эВ). Рис. 10.2!. Зонная энергетическая структура кристалла натрия в на. правлении (110( (ло расчетам Оверхаузера [61), . 00 Гг lг 0ее Г0 ~юн , '0наннаеланаи (Г10з —- теперь оцепить количественно для натрия; оно характеризуется величиной 1,1 эВ. Этот результат вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальным значением, равным 1,13 эВ (см. табл.
3.1). Графическое сопоставление некоторых относящихся сюда энергий схематически представлено на рис. 10.20. В приведенном рассмотрении мы пренебрегли некоторыми возможными коРРекциями, общий эффект которых для натрия можно считать малым. Структура двух верхних энергетических зои натрия показана на рис. 10.21; крнвыс постросны на основе расчетов, выполненных в приближении почти свободных электронов. Значения требуемых для этого фурье-компонент потснциала решетки были взяты из экспериментов, выполненных при изучении эффекта де Хаааа — ван Альфсна, который будст рассмотрен ниже. Этп экспсрпмеиты дают результаты, весьма чунствитсльпыс к отклонениям формы повсрхностп Фсрьн1 от сферы, п позволя.от точно определять коэффициенты (/о. ПСЕВДОПОТЕНЦМАЛЫ ') Волновые функции электронов проводимости в металле являются простыми и достаточно гладкими в области между ионными остовами, однако, как уже отмечалось выше при рассмотрении основного состояния электрона в натрии в связи с рис.
10.17, структура этой функции в узлах решетки, где находятся ионные остовы, становится сложной. Большую часть объема большинства металлических кристаллов занимают именно межиоцные области (см. Рис. 10.22). В этой внешней по отношению к ионам области объема потснцвальная энергия электрона проводимости относительно мала: это кулоповскнй потенциал положительных зарядов ионов, уменьшенный электростатическим экранированием, обусловленным другими электронамв проводимости.
Во внешней области волновые функции несколько похожи на плоские волньц здесь отсутствует влияние как сильных и резких изменений потенциала вблизи атомных ядер, так и влияние требования ортогональности ') волновых функций электронов самих ионных остовов. Существование узлов (нулей) волновой функции в области ионного остова свя. вано с требованием ортогональцостн; например, волновые функции Зз-зоны натрия имеют два узла и в силу этого не могут быть ') Чтобы усвоить содержание этого раздела, требуется некоторое знакомство с квантовой теорией твердых тел.
') Волновые функции ф(г) и ф,(г) называются ортогональцымп при ра. веистве нулю интеграла от их произведспг~я: ф'(г) ф, (г) г(зз = О, Т1 Рнс. 10.22. Во многих металлах суммарный объем конных остовов составляет лишь небольшуш часть объеыа металла. Напрнмер, в натрии объем, занимаемый одним ионным остовом, равен прнблнзательно 4,0 А', а объем атома равен За А'. Потенциал вне ионного остова более слабый н плавный, чем внутпя него, н волновые функция электронов проводя»шота впе остова являшгся более гладкнмн.
ортогональпы волновым функциям )а- н 2э-электронов ионного остова, а волновыс функции электронов 4э-зоны калия пмсют три узла. Если волновые функция электронов проводимости во внешней области можно приближенно считать имеющими форму плоских волн, то зависимость их энергии от волнового вектора должна приближенно иметь вид выражения для свободных электронов, а именно я» =йзгсе/2т. Небольшое воздействие на эл-и- троны со стороны потенциала во внешней ооласти можно трактовать как возмущенно, которое сильно «смсшиваст» плоские волны с компонентами й н й+ 6 лишь вблизи границ зон Ьриллюэиа.
Но как описывать волновые функции в области самих ионных остовов, где волновые функции нс похожи на плоскис волны, а потенциал достаточно велик? Отметим прежде всего, чго этот вопрос в значительной мере не имеет отношсиия к зависимости в от й, Действительно, мы можем воздействовать гцмнльтонианом на волновую функцию в любой точке пространства, помня прн этом, что во внешней области эта операция приведет нас к энерпш свободных электронов. Если так, то испшный потенциал в области ионного остова можно заменить эффективпылг потенциалом, так иазывасмым ггсевдоггогснциалом, который вне ионного остова приводит к том же волновым функциям, что и истинный потенциал ').
Нсходньгм фактом для ввсдсиггя понятия пссвдопотснциала является то, что в области ионного остова псевдопотенциал можно считать почти равным нулю. Это утверждение основано на множестве экспериментов по изучению псевдопотснциалов, а также па теоретических соображениях, иногда обобщенно именуемых теоремой комисисацгпг (гашения)Я). Если мы сделаем смелый ') См. работы Фнллнпса н Клейнмана 17) н Лнтончика [й). Общзя теория псевдопотенцналов рассмотрена в статье Остнна, Хейнс н Шама 19].
») Обстоятельныв обзор опыта использования н изучения разлнчныс псендопотенцяалов н модельных расчетов имеется в обзоре Коэна н Хейнс 110). Полезность модели «пустых» ионных остовов была известна давно. (Сьъ, например, работы Гельмана 111), Гельмана н Касаточкнна 112), которые писали: «Поскольку поле иона, определенное этим путем, практически мало изменяется, в первом приближенна волновые функции валентных электронов в решетке можно вполне считать плоскими волнамн».) 359 шаг, положив неэкранированный псевдопотепш>ал равным нулю вне сферы с некоторым радиусом Й„то придем к модели, именуемой моделью «пустых» остовов, в которой потенциальная яма имеет следующую несколько неожиданную форму: 0 при к<К„ Этот потенциал должен быть экраннроваьшым.
Иначе говоря, каждую фурье-компоненту (7(К) потенциала У(г) следует по. делить на диэлектрическую функцию электро>шого газа в(К), если мы воспользуемся (просто д:>я иллюстрации) дпэлс>шрической функцией (().13), то получим пссвдопотенцпал, изображенный на рис. 10.23. Этот псевдопотенцпэл много меньше истинного, однако волновые функции, полученные с сто помощью, для области вне ионного остова оказываются помп одинаковыми для обоих потенциалов. Расчет энергетической зон1юй структуры кристалла требует знания лишь величин коэффициентов Фурье (7(6) потепппала в точках обратной решетки.
Для опрсдслення энергетической 4>е Рвс. !0.23. !'рафик псевдопотенцизлз для металлического натрия, построенный нз основе моде>и «пустых» ионных остовон, с учеточ экрапировапня потенциала при помо>пи диэлектрической функции ((>.13), Расчеты проведены, исходя нз того, что радиус «пустых» ионных остовов Я« = 1,бба« (аэ — боровский радиус), з параметр экранировчния >,а« = 0,79 [согласно (8.23)), Штрп. ховая кривая изображает предполагаемый ход неэкранированного потеицналз, согласно (10.35). Точечная кривая изображает действительный ход изменения потенциала ванного остова.
Значения (>(г) (впе графика) — 50,4; — 11,6; — 4,6 соответствуют г = О,!5; 0,4; 0,7, Таким образом, истинный потенциал иона (выбранный так, чтобы ои отвечал энергетическим уровням свободного атома) значительно больше, чем псевдопотенцнал (при г = 0,15 — в 200 раз).
360 зонной структуры с хорошей точностью часто оказывается достаточным знать лишь несколько коэффициентов. Иногда эти коэффициенты вычисляют, исходя из какой-либо модели потенциала, а иногда заимствуют из экспериментальных данных. Величины [т'(6) для ряда химических элементов в виде таблиц и графиков приведены в обзоре Коэна и Хейне [10). ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВА!4ИЯ ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ Для изучения поверхности Ферми в металлах разработан цельш ряд мощных экспериментальных методов '). Эти методы используют: а) аномальный скин-эффект; б) цпклотронпый резонанс; в) эффект магнетосопротивления; г) эффект де Хааза — ван Альфена; д) распространение ультразвуковой волны прн пали шн магнитного поля; е) отражение света от поверхности металла.
Мы рассмотрим методы, основанные на явлениях (б) и (г), с точки зрения изучения общих свойств поверхности Ферми; метод (в) мы уже рассматривали выше, но только для модели свободных электронов. Циклотроиигий резонанс в металлах. Расположение внеш. них полей относительно плоского образца (обычно используемая геометрия опыта по цнклотронпому резонансу в металле) схематически показано на рнс. 10.24. Радггус орбиты электрона в магнитном поле напряженностью 1О КГс (1 тесла) составляет примерно 1О-а см и, таким образом, лшого больше толщины скин-слоя при микроволновых частотах переменного электрического поля для чистых металлов при низких температурах.
Электроны при вращении по орбитам, как изображено справа на рис. 10.24, будут взаимодействовать с переменным электрическим полем лишь на нсбольшом участке каждого оборота. Электроны получают результирующее усгсорсьше, если прн послсдо. вательных прохождениях скин-слоя они оказываются каждый раз в фазе высокочастотного поля, Условие резонанса состоит в том, что период Т обращения электрона по орбите должен быть целым кратным периода 2л/ги переменного поля, т. е, Т = и —, п — целое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
