Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Необходимо также выполнение условия йвТ К яыь так как иначе осцнлляции населенностей смазываются. Наш анализ относится к абсолютному нулю, 366 «7 м гмытг Б> лу ггу го лу Рпс. ! О ЗО. Оо ьясневне эффекта ле Хзс за — с,ш Лзшф на лля свободного элсктроншзго гази в мамии шл. по.,е бпзупсрзьн случаи~ Опниои у электроноз лля простгмы пренебрш нем.
Области заьягььх сосгояюш (орбиталей) в ферьш-зхидности пон отсут твнп пзгпш ного поля п.мазаны н|грнховкогу в сто.,бная а н г. Вгсргетп *сскнс урьвпп в магпнтшзт попс показаны в столбпях б. а и д. Столбец б огв .асг;зшньгис и полю велнчшгой Вп в этом случае полная энергия электронов та .кс, что и в ь~ у гсгвне магнитного поля, поскольку оргнтальное кваптовнпп в магшг.иоя шизе В; приведет к повышешпо энергии у отсыл к,х же электро ~ов, у гколы:пх она понизится.
Когда мы увели гихг поле до В., полная энергия элок и:опон возрастет, потому чго возрастет энергкя электронов яа самых всршшх зшыты с уровнях. При поле Вз (столбчг д) эвери'я внгпп та же, что и прп В =. О. Полная энергия доспггает минкмгна при значениях поля вб,'шзн Вь Вз, Вз, ..., а макспмума— вблизи В,, Вп ... спина мы будем ниже пренебрегать. Простое объяснение эгрфскта легко понять пз схемы на рпс. 10.30. Энергетические уровни свободного электрона в лтагнптиом поле гз в слу:гас двумерной модели (магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости хр) выражакзтся соотношением в; = — (2(+ 1), сйВ 2тсс где 1 — квантовое число (которое мы считаем целым числом). Этот результат сеть то гное решение стандартной зада ~гт элементарной квантовой механики.
Мы не проводим вывод соотношения (1ОЛ4) ешс и потому, что если учесть в нем правило отбора М = ~-! для переходов, пндуцируемых однородным электрическим полем, мы получим стандартный результат для частоты циклотронного резонанса: (СГС) Ьвэс = вг+г — ет = — ', еаВ (10.45) гпсс ' (СИ) йоз, = — „, 367 Предположим теперь, что энергии электронов на произвольной поверхности Ферми в случае двух измерений можно выразить в виде (10.46) В общем случае фазовый множитель в (!0.46) не обязателын равен 1гг2, но для конкретности мы примем его рагным 1/2, что, кстати, согласуется с формулой (10.44) для свооодиых электронов.
Формула (10.43) для циклотронпой эффективной массы 2т ~е (10»47) справедл;ша, сели йз (10. 48) где Яг — площадь орбиты 1 в й-пространстве. Сравнивая этот ре- зультат с (10.46), получим: (! 0.49) Итак, в магнитном поле площадь орбиты в (т-пространстве гсваптуется. Полученное выражение для 5 имеет общее значенпе, и его применимость не ограничивается случаем свободных электронов или лишь сферическими энергетическими позерхностямп. Это утверждение доказывается в Приложении 1 (см.
(!. 34) — (1. 48)). Величина 2лйс)е называется квапгогя потоки; она равна 4,14 10-' Гс см'. Что происходит с распредслением электронов по состояниям в й-пространстве при включении магнитного поля? Состояния (орбитали) уже не описываются, как на рис. !0.31, а, значс. виями Й, и я»; они опись.ваются квантовымя чпсламп (, как показано на рис. 10.31, б. Число состояний, отвечающих данному значенгпо 1'), может быть довольно большим; каждому разрешенному состоянию, изображенному точкой на рпс. 10 31, а (в отсутствие поля), отве гает при включении поля определенное число состояний на схеме рис, 10.31, б. Нетрудно показать, что для образца в виде квадрата со стороной Т.
каждому значению квантового числа ( соответствует В(з('(2я))с/е) состояний э). Это ') Эта величина называется кратностью вырождения. При В = 0 плот. пасть састоянггйг дли свободного электронного газа в случае двук измерений ле ко определить, используя результаты гл. 7, а именно м)(е) = ьзггг(2яаз (есгш пренебречь свином). Число состояяий в энергетическом интервале шириной йо>« равно ж)(е)аег« = Ь'еВ/2пйс, что согласуется с формулой (!0.80). Таким ооразом, вкшочение магнитного поля «собирает» весь набор состояния, лежашик в энергетическом интервале шириной Ьы. ') См. гл, 11 в кинге Киттеля (1!. Збв йи( и о о а о е * о а е * о у о о о о а а о е о о о а о . о о о о о о о а о о а ~ а о а с у е а о е о о о о о а о о Риг 10.31.
В) Лп)тгерное й пространство; плоскость й,(гт Магш1т«ое поле отсутствует. Точками показаны разрешенные состояния (орбнгалп) злектропов. б) В достаточно сильном ьгагнитг~ом поле точки, представляющие состояния свободных злентронов, можно изобразить в той же плоскости )г4т распилит., нпымп на окруженностях. Квасная следующая окруткность соогвегствуе~ нот. растанию на едннппу квантового числа й задшощего набор значений зпе, гиз ((+ ггг](гыс. Площадь ь.ежду соседнимн окружностями 2лас 2л~лв 2леи )СГС1 на(2)= ль(ха)= —,за а л ьс е'гловое распределение точек не нмеег зязченвя. Число точек (состоигп)1) на кекой-либо окружности есть величина постоянная, равная произведению плоищди между соседнпмн окружностями на число состояний на едншнной площадке плоскости й.йо на салеме а.
Если не учитывать наличие спина у влек. 2леВ с' С Ы ЫеВ трона, то зто число равно — ( †) = †. Предполагается, что в до. та ),ал) хллс ' статично сильных полях злектрои успевает сделать пееколыго витков, преждо чем пошагает столкновение с дефектом решетки, илн с фонопом, пли с поверхностью образна именно то количество состояний, какого и следовало ожидать, если каждая окружность на рнс. 10.31, б охватывает состояния в В-пространстве, лежащие между данной и соседней окружностями. Кратность вырогггдения уровня с номероьт 1 выражается следующей формулой: где смысл коэффициента й при В ясен из вида правой:части формулы, Кратность вырождения, грубо говоря, равна отношению полного потока ВО через образец к величине кванта по.
тока 2пгтс)е. Чтобы перейти к единицам СИ, следует с заменить на единицу. А где расположен уровень Ферми? Для системы, содержащей Аг электронов (свином опять-таки пренебрегаем), при абсолютном нуле все нижние уровни заполнены вплоть до неко торого с квантовым числом )т. Состояния уровня ()е + 1) будут 369. л=а 1 л=г г л=г ( " И~о '~ ~Й',. '.ф гура!':.» 0 З 4 ".т 44 Ы заполнены не целиком, а до состояний, которые уже могут принимать электроны '). Поскольку кратность вырсжд.ння пропорциональна полю В, то чем выше напряженность поля, тем ннжс величина Х. Распределение электронов показано на рнс.
10.32. По мере роста поля В мы достигнем таких значений В, при которых Л скачком уменьшается до ! (см. рис. 10.32). Прн тех значениях В, прн которых нет уже нн одного, даже частично занятого уровня, имеем: ОВ () + 1) = йг. (10.51) Это соотношение означает, что произведение кратности вырождения уровня 5Вх на число заполненных уровней ). + 1 равно числу частиц йг. Напомним, что ! = 0 — разрегценный уровень, который отвечает значению +1 в наборе ), +!. Соотношение (10.51) можно представить в виде (10.52) Теперь не удивительно, что некоторые свойства системы могут оказаться периодически зависящими от 1/В, как показано на рис. 10.32, б, причем период равен 5/М.
') Иначе говоря, квантовое число Х опрелеляется как максимальное в наборе (1Омб) значеаие 1, дшз которого все состояния заполнены электронами. 370 Рис. 1ОЛ2. Рсзуггьтаты рзс»ема для гппотетпчесьои даунер:юй спстех ы в ь.агннтном поле В, содержагцсй У = 50 электровоз; для $ взято значение 0,5. а) Жирные прямые дают шсло электронов на уровнях, заполненных »еликоч при данной величине магнитного поля В.
Заштрихованные области дзюг число электронов ва уровнях, занятых частично. Приведенные значения Ь вЂ” зто значения квантового числа для высшего педиком заполненного уровня. Таким образом, при В = 40 мы имеем л = 1; эго означает, что уров»и ! = О ч ! = 1 заполаеяы целиком, а на следукяием уровне 1 = 2 име тся 1О электронов (зтот уровень занят частично). При и = 50 иа уровне ! = 2 электронов нет, он пуст. б) То же, что и на схеме а, по по оси пбсписс отлоигепз величина, пропорппональная обрапюму полю (1/В); тогда псриолпчность по 1!В очевидна. Я 3 4 Х гггй/Ю вЂ” ~ Рнс. 10.33.
Верхняя кргвая — график зависимости полной энергии электронов от !гВ. Оспнлляции энергии Е можно определить, измерня маги:юный момент, по определению равный — дЕ(дВ, Тенловые и нппеюгческие свойстпа также осцяллиручот при изиепении В, поскольку с ростом В орбитзльные уровни последовательно «пересекаюта уровень Ферми. Заштрихованные области характеризуют вклад в энергию от уровнем, заполненных лишь частично.
Параметры системы, на основе которых построен график, те же, что и для графгшов па рис. 10.32. Для магнитного поля в качестве единицы взято значение В = йсж 77 сг и ф -7П -2й -зп Рис. 10.34. Завнсилюсть магнитного момента от 11В прп абсолютном нуле. Магнитный ьшмент по определению равен — дЕ/с!В. Для энергии, описываемой графиком на рнс. !0.33, получим для магнитного момента показанную здесь зависимость, которая представляет сооой оспнллнруюшую функцию 1/В. По. ложнтельные значения магнитного момента отвечают парамагнетику (сгь гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
