Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В физике полупроводников и часто называют уровнем Ферми' ). Мы будем отсчитывать энергию от верхнего края (потолка) валентной зоны, как на рнс. 11.9, П)ыс тз' и Рис. 11сь Энергетическая схе. ма, иллюстрирующая статистические расчеты. Функция распределения Ферми изображена в том же масштаое справа,для случая йзТ << Ее. Изображен случай собственного подупроводнш<а, в котором уровень Ферми р лежит внутри ззпрешенной зоны. ~~фФ:~~ГГ//Г~~д:,.м „„ интересующих нас температурах можно предположить, что в зоне проводимости е — )с )) йаТ, и функция распределения Ферми — Днрака сведется к ехр( й т )' (! 1.1) Значение величины 1 — это вероятность того, что электронное состояние зоны проводимости занято. Напомним, что р есть энергия, прп которой 1= 1/2, но формула (11.1) справедлива приближенно в предположении 1« 1.
Будем считать, что для энергии электрона в зоне гроводимости имеет место зависимость Тсз)ст ва=Ея+ —, лспе (1 1.2) ') Эта терминология не очень удачна. Строго говоря, уровень Фсрмп— зто уровень, на котором сше есть электроны прн абсолютном нуле (в модели свободных электронов)'1 оп определяется лишь концентрацией электронов и совпадает (грн абсолютном нуае) с энергией Ферми, вли с химическим потенцналоы И (Т = О), т. е. со свободной энергией па один электрон. Прн конечных температурах (Т Ф 0) энергия Ферми (химический потенциал) становится Функцией температуры и не равна энергии, соответствующей уровню Ферми. Нестрогость состоит в том, что н при Т Ф О энергию Ферми называют уровнем Ферми, ноторый, таким образом. становится ззвисяшим от температуры и, будучи средней величиной, может не отвечать никакому из разрешеннмх уровней энергетического спектра (например, он может оказаться в зопрешенной зоне).
— Прим. ред. 13» ЗОТ где пт,— эффективная масса электрона. Тогда в соответствии с (7.24) число состояний с энергиями между е и в+ с(е на единицу объема равно ю, (е) с!е = —, ( —,.') (е — ее) '* сте. (1 1.3) Используя (11.1) и (11.3), для чвсла электронов в зоне прово- димости (на единицу объема) получим: п = ~ !х), (е) ), (е) с(е = и Выполнив интегрирование, получим '): (И.В) Задача не решена, пока не известно )с.
!)атезно также рпссчитать равновесную копцентрацшо дырок р. Функция распределения для дырок )а связана с функцией распределения д. з электронов ), соотношением !ь = 1 — 1„ поскольку дырка с:Уделяется как отсутствие электрона. 11мсем: ! 1 Ге — и ехр( )+1 ехр( . )+! а в прсдполозкенпи (Н вЂ” е) >) йпТ. Если дырки у потолка пале~!твой зоны ведут себя как частицы с эффективной массой ть, плотность дырочпых состояний определяется кзк п)а(е) 1 = 1, ( — ',,а)ь( — )ъ (к 11апомним снова, что энергия отсчитывается от потолка валентной зоны вверх.
Действуя далее тем же путем, что и при выводе В обозначениях, которые автор использовал а своей кингс [б) (~л. 1!), этот резулыат ыозкно записать в виде 2Л с"р ( ег)йпт) и= У !е) (11.5а] Гд УО (е) = (2пй йпейат) (11.5б) —.квантовый объем, приходяшийся на электрон проводимости, а Л вЂ” абсолнттяая активность, равная ехр()з)йаГ). Иной вывод соотношения (1!.9) приведен в статье Киттелв 171, '(11.4), для концентрации дырок в валентной зоне получим. е р = ~йа(в))а(я)де=2( а вз ) ехр ~ — — ). (11.8) Перемножая выражения для а и р, получим для состояния рав- новесия полезное соотношение: а т з ар=4(, и, ) (т,та)'ехр ~ — — ).
в (1 1.9) Этот полезный результат не содержит значения уровня Ферми )з. Полученное выражение есть закон действующих масс '). Мы нигде при выводе не предполагали проводимость собственной — соотношение (11.9) справедливо также и в присутствии примесей. Единственное предположение, сделанное прн выводе (11.9), заключается в том, что энергетическое расстояние уровня Ферми от краев обеих зон должно быть велико по сравнению с изТ, и, следовательно, соотношения (1!.1) — (!1.6) отвечают разумным приближениям, Экспериментальные данные, иллюстрирующие соотношение '(11.9) для кремния, приведены на рис. 11 10з), При 300'К произведение пр для германия равно 3,6 10'тем-', а для кремния 4,6 1О" см-'! при расчете предполагается, что т, = ть = пт. Поскольку произведение электронной и дырочной концентраций является при заданной температуре постоянной величиной, не зависящей от концентрации примесей, то при введении небольшого количества примеси, увеличивающей, скажем, а, должна понизиться р.
Этот результат важен для практики: с помощью введения подходящих примесей мы можем снизить ') Из соображений кинетики ясно, что произведение лр постоянно при заданной температуре. Предположим, что равновесное распределение электронов н дырок поддерживается облучением кристалла фотонами, испускаемыми абсолютно черным телом. Фотоны порождают нары электрон — дырка с быстротой А(Т), а быстрота рекомбинации (реакцич а+ й = фотон) пусть равна В(Т)лух Тогда — = А (Т) — В (Т) пр ~ —. г)н йр и! и'Е ' Прн равновесии нн/Л = О, с)рlо! О, так что пр = А(Т))В(Т). ') В подписи к рис.
П.!О приведено выражение для лр, записанное так, чтобы соответствовать приведенным эксцериментальиым данным для кремния. Коэффициент перед ехр( — Ез)йзт) в этом случае заметно больше, чем рассчитанный по формуле ()!.9). Если ширина щели Ез зависит от температуры как зто и есть в данном случае) и эта зависимость имеет, например, вид а(Т) = Ез(О)(! — аТ), то в первом приближении перед ехр( — Ее(О))йзу), появится множитель вида ехр(аЕзlйз), не зависшций от температуры, тут т 'ск тттлт бит ЫВбттт7 МЮ гп 3 й т тр гз Л .'=--' 7 й -а а7 Ь гб 'к ц т,г ~'тЯ ю У ("чу ду Рис.
11.10. а) Завнсимость логарифма произведения конвептрацпй носителей (лр) Ы' в кремнии в области собственной проводимости от обратной абсолютной температуры. Тачками показаны результаты зксперимечтон. Жириаи линии — эмпирическая заннсииость, полученная по точкам для температур выше 700'К: лр = 1,5 10" Т' екр( — 1,217»зТ)! здесь постоянная Больнмана»е выражена в эВРК.
Отсюда можно получить ширину энергетической щели. Еэ(Т = О) = 1,2! эн. б) Проводимость и коэффициент Холла в области соб. ственной проводимости для кремния. (Из работы )барина и )т(ейта 121.) полную концентрацию носителей п + р, иногда даже очень силь« но. Такое снижение называется компенсацией одних примесей добавлением других. ехр(» т)=( —,) ехр( — "), (!1,11) КОНЦЕНТРАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ НОСНТЕЛЕН В полупроводнике с собственной проводимостью число элек' тронов равно числу дырок, поскольку, покидая валентную зону под действием теплового возбуждения, каждый электрон создает единственную дырку.
Таким образом, нз формулы (11.9), введя индекс ! ()п(г(пз!с — собственная), получим: Число возбужденных собственных носителей экспоненциально зависит от Е»)2»аТ, где Е» — ширина энергетической шели. Полагая равными (11.5) и (11с8), получим: или, разрешая (11.11) относительно химического потенциала, р = — Еа + ) я вТ !п — . ал (11. 12) Если тл = гп„то р = Ея/2, т. е. уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны. На первый взгляд это утверждение не согласуется с общим результатом теории о том, что в среднем вероятность заполнения уровня Ферми равна !/2; однако, если бы уровню Ферми соответствовало какое-либо состояние, то вероятность того, что оно было бы занято, действительно равнялась бы !/2. Подвижность в области собственной проводимости. Подвижность ') определяется как дрейфовая скорость, отнесенная к единице напряженности электрического поля: ~И )» = Е Знак ес считается положительным как для электронон, так и для дырок, хотя направления их дрейфа противоположны, В идеальном полупроводнике с собственной проводимостью подвижность определяется рассеянием на решетке, т.
е. столкновениями электронов с фононами (электрон-фононным взаимодействием). В реалы1ых полупроводниках с собственной проводимостью всегда имеется некоторое количество прпмесных атомов, которые и обусловливают в основном рассеяние электропов при низких температурах, когда фононы отсутствуют, однако прн высоких температурах преобладает рассеяние на колебаниях решетки.
Электрическая проводимость при наличии одновременно электронов н дырок определяется суммой вкладов от каждого нз типов носителей: (11.13а) ря+ рерл), где и и р — концентрации соответственно электронов н дырок. Сравнивая это выражение с формулой и = питт/ьч для «статической» проводимости, получаем: (1! . 136) Подвижности, по-видимому, зависят от температуры по обыкновенному степенному закону. В области собственной проводимости зависимость от температуры определяется в основном экспоненцнальной зависимостью ехр ( — Ея/2йлТ) концентрации ') Поскольку подвижность мы обозначаем буквой )ь, т.е.
той же, что и химический потенпиал, то, во избежание недорззумений, эта буква, используемая в смысле подвижности, будет снабжаться индексами: И, !Для электРонов) или Ил (Для Дырок), так что далее будут встречаться в качестве подвижностей лишь )ьэ и р». 391 ТАБЛИ!ХА Пв Подввжность носителей прн комнатной температуре Попеижиость, смвн сск Кристалл Кристалл елекеропы лырки 1200 ( СаЗЬ 500 РЬЗ 3500 РЬЗе 750 РЬ те 460 АйС1 160 КВг (100 'К) Алмаз 3! Се )пЗЬ !пдз !пР 1400 600 930 750 !800 13)0 4500 77000 ЗЗООО 4600 4000 550 1020 1620 50 100 Бальмиессеа преп«деипык еппеекиа оеусдопдепы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
