Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Проведем теперь расчет частоты циклотронного резонанса для электрона в случае, когда энергетическая поверхность имеет форму сфероида. Полученные для этого случая результаты применимы по отношению к электронам в нижней части зоны проводимости 81, бе и многих других полупроводниковых кристаллов. Если отсчет волновых векторов производить от края энер- л2 а2 в(й)=й' " "+ — ' (11.18) где пн, ел~ — параметры, характеризующие соответственно поперечную и продольную эффективные массы. Поверхность, на которой е(й) = сонэ!, имеет форму.
сфероида. Используя известное определенне и=В Чев(й), получим (для обычного пространства) компоненты скорости электрона: о„= йй„йло ое — — йй„)гль о, = йй,~т~. Уравнение двцження в А-пространстве: (СГС) й — = — — и Р', В. (11. 19) Выраженпе (11.19) н последующие выражения вплоть до (! 1.29), запнсаннь|е в системс единиц СГС, можно без труда переписать в системе единиц СИ, положив всюду с = 1. Если магнитное поле В лежит в экваториальной плоскости сферонда в направлении осн й, то в компонентах по осн х и у из уравнения (11.19) получим: с ее сес еВ еВ й =0 й — "= — — и = — й — й (11.20) сс ' П! с с т с плн д/гс е — = — се~ й„ сс " тс' (!! .21) Для оси а далее получим: сес еВ е — '= — с =й — й, с'с с " тс е' с (11.22) плн с%» е — ' = сесй сес — = — ' не е' те (11.23) Продпфференцируем (11.21) по времени: е сд пье Ж2 с с!с (11.24) подставнм сюда выражение для с!йе/й согласно (11.23); по.
лучим: сеес — „„+.,„,й, =0. (11.25) , 1 гетической зоны, то энергию можно записать в следующей форме: откуда следует —," + отей =О. Это опять-таки уравнение, описывающее движение гармонического осциллятора с собственной частотой (11. 28) (СГС) (11.29) В том случае, когда направление постоянного магнитного поля образует угол О с продольной осью сфероида, представляющего энергетическу1о поверхность (11.18), для эффективной массы, определяемой пнклотронным резонансом, имеем: И'= '' ' 1 '1 соз 0 з1п 0 'г'с,к в Выражения (11.26) и (11.29) получаются пз (1!.ЗО) в случаях, когда угол 0 соответственно равен пг2 и О.
Кривая циклотронного резонанса в германии, полученная в ранних экспериментах, показана на рис, 11.17. Видны пики, Рпс. 11.17. Кривая ппклотрощюго резонансного гоглогнещ:я в гермаюж. Частога ок тз 2$ П и, температура 4'К. Сгап1чсское магяптное поле направлено в плоскости (1!О) пол >глом 60' к оси 1100). Лыркн и электроны возникают за счет ионнзапин светом. 0 Х000 А~0 0000 !1азнлинпе лаге,Га в04 Это не что иное, как уравнение движения гармонического осцнллятора с собственной частотой (СГС) озо = (нзготг) ' = ч .
(11.26) (тпгж,) ' с Итак, мы получили циклотронную частоту для случая, когда магнитное поле де!кит в экваториальной плоскости сфероида, представляющего энергетическую поверхность. Если поле В параллельно осп симметрии сферонда, напрпмер осн й„то уравнения движения имеют вид: се» На согмн и = го!йк (11.27) лг "гта 010 Рис.
1!.18. Значения эффективной массы электронов в германии прн 4 'К, найденные из цнклотронного резонанса. По осн абсцисс отложен угол, составляемый в плоскости (110) на магнитного поли с осью (001). (Из работы Лресселькауза, Кипа ц Киттсля 0 -10 0 70 40 00 00 100 [181.) обусловленные двумя разными массами для дырок и тремя для электронов; каждая электронная масса отвечает одной или нескольким сферондальным энергетическим поверхностям, различно ориентированным относительно направления магнитного поля.
На рис. 11.18 изображены построенные на основе экспериментальных данных графики, показывающие зависимость эффективной массы электронов в германии при 4'К от угла между направлением статического магнитного поля, расположенного в плоскости (1101, и осью 100!1, лежащей в той же плоскости. Из Рис. !1Л9. Эллипсоиды постоянной энергии для электроноа в кремнии (нц/нн = 5), 405 Два знака перед корнем дают две поверхности, одной из которых отвечают тяжелые, а другой — легкие дырки.
Константы Л, В, С в (11.31), определяемые нз экспериментальных данных, имеют следующие значения (в единицах йз(2т): для 81: А= — 40; (В(=1,1; (С(=4,1; для Сс: А=- — 13,3; )В)=-8,5; )С)=-12,5. 0,40 лг угл 000 0,ха Рнс. 11.20. Эффекгивкаи масса ды рок в германии при 4'К, определенная методом пиклотронного резонанса дли разлнчнык направлений магнитного поля в плоскости (110). По осн абсшюс указаны значении угла (в градусах) составлиемого направлением магнит.
ного поля с осью (0011. 0 -70' 0 У0 40 „00 00 У00 этих экспериментальных данных (см. работу [17)) можно по формулам теории рассчитать значения параметров продольной и поперечной масс: т~ = 1,59гп, гп~ = 0,082т. Существует семейство кристаллографичсски эквивалентных энергетических сфероидов, ориентированных вдоль направлений типа (111) в зоне Бриллюэна. Как показывают другие эксперименты, центр каждого сфероида лежит в крайней точке зоны. В кремнии энергетические поверхности у краев зоны проводимости также являются сфероидами, но осн пх ориентированы в зоне Ьрпллюэна вдоль направлений типа (100) (рис.
!!.!9). Соответству1ощпе параметры продольной п поперечной массы: ггн = 0,98пт и т; = 0,19гп. Структ) ра края валентной зоны в кремнии н германии довольно сложна (см. рис. 11.15). В кристаллах этих веьцсств дырки характсрпзукпся двумя эффективными массамп, в связи с чем говорят о тяжелых и легких дырках. Возникновение дырок с двумя различньжш массамп связано с разной кривизной краев валентной зоны, обусловленных двукратно вырожденным уровнем рл изолированного атома. Энергетические поверхности определяются (см.
книгу Киттеля (!2)) уравнениями е (й) = Лй' 4- ~В (с'+ С (Юга + (г„/г + /г,')г )~ '. (11,31) тйвлицй пл Эффектнвные массы электронов н дырок Мессе танелей дырки, ьиу Ц!нрнкэ энергегн- сеской щелк, эн Масса электрона, гн !ш Масса легкой дырке, мей/ Кристалл 0,0155 0,024 0,042 0,07 0,4 0,41 0,016 0,026 0,052 0,07 0,23 0,36 0,81 1,52 1пзЬ 1пАз базь баАз Грубо приближенно дырки в германии имеют массы 0,04т и О,Зт, а в кремнии 0,1бт и О,бпг. Наблюдается некоторая анизотропия, легко обнаруживаемая для тяжелых дырок (см. рис. 11.20). В табл. 11.5 приведены данные об эффективных массах носителей тока для четырех полупроводниковых соединений типа Лп1Ву как для края зоны проводимости (электроны), так и для края валентной зоны (дырки), отвечакпцих центру зоны Бриллюэна, т, е.
й = О. Эффективные массы электронов и легких дырок возрастают почти пропорционально увеличению ширины энергетической щели, что согласуется с предсказаниями теории (см. книгу Киттеля [121). Энергетические поверхности, сбответствующие двум типам дырок, представляют собой деформированные сфеРы, и поэтомУ массы тЯжелых (тии) и легких (гим) дырок определяются приближенно, как средние значения.
ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЕ ПЕРЕХОДЫ Рассмотрим, что произойдет, если мы создадим контакт из двух полупроводников, один из которых р-типа, а другой лтипа, как показано на рпс. 11.21 (такой контакт называют р — и-переходом). Слева от перехода, где материал р-типа, Рнс. 11.21. Схеэга р — и-перехода в монокрнсталле, состоящем нэ двух областей с разнымн (р- н и-) типами проводнмостн, Акцепторнан примесь вводятся в левую часть кристалла прн его выращннаннн; прн этом образуется л-ойласть, в которой основным типом подвижных зарядов являются дырка.
Данорная примесь вводится прн выращивании кристалла в правую его часть; прн этом образуется л-область, в которой основными носнтелямн тока являются электроны. Толщина граннцы между р- н л-областью может быть поРядка 1О ' см. тп й эв ае о) Рис. !!дй. а) Ход изменения концентрации электронов и дырок в области р — п-перехода при равном нулю внешнем напряжения. Носители тока находятси в тепловая равновесии с допорнымп н акцепторными примесями. Произведение концентраций пр элеитронов и дырок, в соответствии с законом действующих масс, является постоянной величиной в любом месте кристалла.
б! Ход электростатического потенциала вблизи р — лперехода, обусловленный распределе. нпем нсскомпеиснрованных зарядов акцептарныт ! †! н донорных (+! ионов в области этого перехода, ?!алпчне потенциала препятствует диффузии дырок нз р-области в и-осласть и, однояременно, диффузии электронов пз и-области в о-область. имеются свободные дырки, причем нх концентрация равна концентрации отрицательно ( — ) ионизованных акцепторных прнмесиых атомов, что обеспечивает электрическую нейтральность.
Справа от перехода, где материал гг-типа, имеются свободные электроны, причем их концентрация равна концентрации положительно (+) заряженных донорных прнмесных атомов. Таки!н образом, в р-области в качестве носителей тока преобладают дырки, которые в этом случае называются основными носителями, и соответственно в и-области основными носителями будут электроны (см. рпс. 11.22,а), В тепловом равновесии с основными носителямя будет находиться такгке некоторое количество неосновных носителей (противоположного знака); концентрация их мала и на рнс. 11.22, а несколько преувеличена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
