Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Различные кружки полностью эквивалентны одни другому; одинакова и плотность состояний. (Орбиты не обязательно должны быть точно круговымп; в случае решетки, к которой относится данная схема, требуется лишь, чтобы расположение орбит обладало симметрией четвертого порядка.) Рнс. 10.10. Свободные состояшш вблпзн вершины заполненной воны в двумерном кристалле. Этот рисунок эквивалентен рис. 10.8, а. 842 знака в магнитном поле вращаются в противоположных направлениях, естественно говорить об одной из орбит как характерной для электрона (электроноподобная орбити), а о другой— как характерной для дырки (дыркоподобная орбита), По орбитам, характерным для дырок, электроны движутся в магнитном поле так, как если бы они обладали положительным зарядом.
Поэтому дырки приводят к положительным значениям коэффициента Холла. Этот вывод решает проблему, обсуждавшучося в гл, 8. В случае, изображенном на рис, 10.8, в, орбита нс замкнута. Частица, достигнув точки Л на границе зоны, автоматически оказывается в точке В (перебрасывается) на противоположной границе. Точка В эквивалентна точке В', поскольку расстояние между точками В н В' составляет как раз вектор обратной решетки, Такая орбита называется открытой орбитой. Открь>ть>е орбиты играют важную роль в явлении магнетосопротнвления (см. книгу Киттсля [14). Вакантные состояния (орбитали) вблизи вершнны зоны, в остальной части заполненной, приводят к появлению орбит, характерных для дырок, как показано на рис.
10.9 и 10.!О, ДЫРКИ Существование дырок — одна из наиболее интересных особенностей зонной теории твердых тел. Эта особенность не только интересна, но и практически важна, потому что действие транзисторов непосредственно связано с сосуществованиелг в полупроводниковых кристаллах электронов и дырок. Незанятые электронами (вакантные) состояния в разрешенной зоне обычно называют дырочнымп состояниями (дь>рочными орбпталями). Наиболее нагляден случай, когда вблизи потолка разрешенной энергетической зоны имеется одно вакантное состояние (а все остальные заняты); такая снтуацкя возникает чаще в полупроводниках, чем в металлах, Понятие дывочной орбиты также относится к числу хорошо определенных, даже если в зоне число вакантных состояний (орбнталей) превышает число занятых, хотя топологическая природа той или иной конкретной орбиты может зависеть от направления внешнего магнитного поля.
Свойства самих дырок устанавлива>отея нз более сложных соображений. Эксперименты по циклотронному рсзонансу в полупроводниках при использовании циркулярно поляризованного электромагнитного излучения позволили установить (см. гл, !1), что дырки и электроны вращаются в магнитном поле в противоположных направлениях, как и следовало ожидать для зарядов противоположного знака. Кроме того, было установлено, что при одном направлении круговой поляризации электромагнитные волны поглощаются электронами, а при обратном — дырками. 343 Рассмотрим перемещение дырки во внешнем электрическом поле, используя схему, приведенную на рис. 10.11, В исходном состоянии зона заполнена целиком, за исключением одного состояния в вершине зоны, которое обозначено буквой Е.
Затем в положительном направлении оси х наложено электрическое поле Е,. Уравнение, описывающее движение электронов в зоне, имеет обычный вид й — = — еЕ, г))гз аг (10.8) н утверждает, что у каждого электрона х-компонента волнового вектора >гз изх>снят свою величину в один и тот >ке момент времени. Из схемы иа рис. 10,11 видно, что приращение Л/", будет отрицательным. Вакантное состояние, первоначально находившееся в точке Е, сначала сместится иа уровень Е, а затем на уровень г). Это значит, что при перемещении электронов дырка будет перемещаться в направлении — )гз ор Рис, 10.11.
а) В момент 1 = О все состояния заняты, за исключением Е в вершине зоны. В точке Е скорость о, равна нулю, поскольку г)е>аз„ = О. б) Электрическое поле Е приложено вдоль поло>кительного направления оси х. Сила, действуюшая на злектрон со стороны поля, приложена в направлении — й„ и злектроны последовательно перемешаются по кривой, сдвигая дырку в положение Е. з) Дальнейшее перемешение злсктронов в й-пространстве сдвигает дырку еше дальше, в 1>.
Суммарный волновой вектор электронов в заполненной энергетической зоне равен нулю; (!0,9) Этот результат следует из геометричсской симметрии зоны Бриллюэна. Каждому из основных типов решетки (см. гл. 1) свойственна инвариаитность при операции инверсии: и-» — и относительно люоой точки решетки. Из геометрического определения этой операции следует, что и зоны Бриллюэна для каждой такой решетки обладают инвсрснониой симметрией.
Итак, если в энергетической зоне заполняются все пары состояний й, то неизбежно заполняются и нсе пары — й и, следовательно, полный волновой вектор равен нулю. Даже для заполненной зоны каждый электрон изменяет свою величину й с быстротой, определяемой, как было установлено ей' выше, уравнением йт — =Р. Электроны, достигшие границы ег зоны, не блокируются границей, а «перебрасываются» на противоположную грашщу, чтооы «начать жизнь снова» (см. рис. 9.9). (Мы можем описать движение электрона также в периодической нонной схеме, где электроны непрерывно «поднимаются» к ббльшим значениям й в одной энергетической зоне.) Если зона заполнена целиком, за исключением одного состояния, скажем в точке Е (см.
рис. 10.11, б), говорят, что состояние Е является дыркой. Физические свойства дырки вгнтекагот из факга заао гненноеги злекгроиалги всех оста.гьных состояний зоны. Это утверждение есть ключ к пониманшо понятия дырки. Прежде всего используем это утверждение для введения волнового вектора дырки. Если электрон удален из состояния, характеризуемого волновым вектором й«, то полный волновой вектор системы станег равным — йч. и, следовательно, дырке') следуег приписать волновой вектор (10. 1О) Это несколько удивительно: ведь электрон удаляется из состояния й„ а образовавшуюся дырку считают локализованной именно в состоянии й„как мы и изображали на схеме рис.
10.11. Однако истинный волновой вектор дырки равен — й«, который соответствует точке 6, когда дырка — в точке Е. Именно такой волновой вектор — й, фигурирует в правилах отбора, где участвует поглощение фотонов (рис. 10.12). '] Выло бы ошибкой дли нахождения волнового вектора системы «заполненнан зона н дырка» сложить — й, длк дырки и — й. длн элентроноа заполненной зоны и получить — йй,, Введение поннтпн дырки дает удобное описание энергетической зоны без одного электрона н приноднт к альтернатиае: либо л~ы гонории о дырке с волновым иектором — й., либо об энергетической зоне (без одного электрона) с полным аолпоаым нектаром — й,.
345 зслг« Рпс. 10.12. После поглощения фотона 1с знергвей апо и пренебрежвмо малым волновым вектором) электрон покидает состояние Е в заполненной валентной зоне н » переходит в состояние С) в зоне проводимости. Если ла«л««гл" волновой вектор электрона в состогпщи Е был равен й„ то в состоянии Гг он остается тем же. Полный волновой вектор валеитной зоны после поглощения фотона равен — й», и именно такой волновой нснтор чы доллсны приписать дырке, если мы рассматриваем валентну о зону как зону, занятуао одной дыркой.
Таким образом, й» = — й,. Волновой вектор дырки такой же, как волновой вектор электрона, который остается в состоянии Ео Лля системы в целом полный волновой вектор после поглощения фотона ра. веп й» + й» = О, так что полный волновой вектор остается неизменным прц поглощении фотона н образовании свободного электрона и свободной дырки. Уравнение движения электрона в кристалле имеет впд А(И„ус(!) = Г„где Г, — сила, действующая на электрон.
Посколысу Йг~ = Й» то г»йа»уй» й — = — й — ' = — уз ег» (10.! 1) 346 и, следовательно, (СГС) Л нг" =е(Е+ — и,ХВ), (СИ) й — „" =е(Е+тг„,ХВ). Это уравнение движения гголожигелвного заряда в электрическом поле; оно описывает также движение положительного заряда в магнитном поле, при условии, что и» = в».
Доказательство этого равенства дается ниже. Причина того, что знак производной сУй»ггг(! противоположен знаку гУй,ггг(1, ясна из рис. 10.11: в й-пространстве вакантное состояние перемещается в последовательности Е- Р- С- ..., как если бы оно было положительным электроном, однако в действительности перемещаготсч электроны Е, Р, ..., не имеющие парных справа, т. е. соответствующие последовательности 6-» Н-»!... Здесь о» вЂ” скорость «отсутствующего» электрона.
Скорость же дырки оз (групповая скорость) опрсдслястся из следующих соображений. Если какой-то электрон покидает состояние Е (см. рис. 10,11, б), то суммарный электрический ток у, создаваемый переносом зарядов в зоне, обусловлен реальным движением парного ему электрона в состоянии 6: у = — еи (6) = е ( — в (6) 1. (10.13) Этот ток можно трактовать как следствие движения положи. тельного заряда е со скоростью — п(6). Поскольку скорость — п(6) равна скорости п(Е) в состоянии Е, т.
с. в состоянии, нз которого переместился электрон, то тот же ток можно записать в виде 7' =- ер (Е). (1О. 14) Итак, мы имеем: н(Е) = — р(6), поскольку производная 'с(е/Ю имеет противоположные по знаку значения в точках Е и 6. Ток можно опись:ватгн приписывая дырке положительный заряд и скорость, рзвпую скорости электрона, создающего ва кантное состояние. Пусть электрон покидает состояние, характеризуемое волновым вскторо:а Йа.
Если и, — скорость электрона, которую он имел в состоянии й;, то (10.15) па = — и, = й Че (й,), где через е(й,) обозначена энергия электрона в состоянии й,. Для удобства мы можем положить равной нулю энергию, соответствующую верхнему краю заполненной (или почти целиком заполненной) зоны; тогда е(1га) будет отрицательной во всех точках зоны. Дырка, которая возникает, когда электрон покидает состояние Аа, будет иметь положительную энергию ею причем аа = — — е (7г,). (1О. 16) Если энергетическая зона обладает симметрией '), при которой е(А) = в( — А), энергию дырки еа можно интерпретировать как еа(йа), поскольку Аа = — А„и, следовательно, еа (йа) = — е (й,). (10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
