Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 58
Текст из файла (страница 58)
с. иа (х) = на (и + Т). (9.33) В этом можно убедиться н непосредственно, рассматривая функции ил(х+ Т); аа (х+ Т) = ~ С (й — 6) е соСлсг1 = е сот~~ С(й — 6) е со*[ (9.33а) ') Аналогичные соображения мы развивали в гл. 2. Очевидно, ехр( — ТС»Т) = 1, и, следовательно, и»(х + Т) = и»(х); тем самым периодичность функции и»(х) можно считать установленной. В результате (9,31) содержится утверждение, составляющее теорему Блоха. Теорема Блоха утверждает, что собственные фунга(ии волнового уравнения с периодическим потенциалом шкеют вид произведения функции плоской волнси ехр(й г) на функцию и»(г), которая является периодической функцией а кристаллическая решетке; (9.3ч) 11ндекс Й в и»(г) указывает, что зта функция зависит от волнового вектора й, Волновую функцию (орбнталь) в впдс (9.34) называют функцией Блоха.
!'ешення уравнения Шредш.гера такого вида состоят пз бегущих во:ш; пз таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном иоинымп остовамп. Импульс электрона в кристалле. Выясним смысл вектора й, которым мы воспользовались в качестве индекса функции Блоха. Он обладает следующими свойствами: а) При трансляции на вектор Т, равный пронзвольному вектору кристаллической решетки, т. е. прн замене г на г+ Т в аргументе зр» (г), имеем; (г + Т) =- енот е"' и (г + Т) = — е'» г Ф (г) (9 35) поскольку в силу (9.33) и»(т'+Т)=-и»(г).
Таким образом, величина ехр(!й Т) поедставляет собой фазовый множитель ~), на которыч умнолсается функция Блоха при трансляции аргумента на вектор решетки Т, б) Если потенциал решетки исчезает (т. е, (/(х) обращается в нуль), то уравнение (9.18) принимает вид (й» вЂ” е) с (й) = О, ') »ложно также сказать, что ехр(г».Т) есть собственное значенве оператора трансляции г, а Ц» — его собственная функпия. В самом деле, если подсветке~пать оператором 7 на Е» (х), то получим; у'й»(х) = ар»(х+ Т) = ее»'т тр»(х), Отсюда видно, что й — действительно подходяпсий индекс для собственных значений оператора г'.
Здесь очевидным образом использована теорема Блоха. 11 Ч. Ккттель 321 т. е. все коэффициенты С(й — Сг) обращаются в нуль, за исключением С(й), и, следовательно, функция из(г) становится константой. Тогда волновая функция ф, (т') = е"' (9.36) имеет точно тот же вид, что и для свободного электрона. (Этот результат кстати показывает, сколь предусмотрительны мы были и сколь «правильно» выбрали Й в качестве индекса состояния. Замстпьп однако, по для многих целей, как мы увидим ниже, более удобен шюй выбор й.) в) Величина й фигурирует в законах сохранения, действующих в процессах столкновений электронов в кристалле.
По этой причине ЬА называют и.кпйстьсон электрона в крисгилле. Козла электрон, обладающий волновым вектором й, сталкиваешься с фопоиом, имеющим волновой вектор К, то правило отбора имеет ш!д А+ К = й'+ Сг, если фонов при столкновения поглощается.
Столкновение приводит к рассеянию, при котором электрон из состояния й переходит в состояш1е й', вектор хг — произвольнь:й вектор обратной решетки '). Схема приведенных зон. Всегда возможно, а часто и удобно, выбрать волновой вектор й, стоящий в индексе функции Блоха, так, побы конец его оказывался лежащим внутри первой зоны Ьриллюэиа. Процедура приведения произвольного вектора й к первой зоне Бриллюэна и получила название схс»иы приведенных зон. Если мы имеем функцию Блоха в виде ф, (г) =-э'и" им(г), (9.38) где й' лежит вне первой зоны Бриллюэиа (см. рис, 9.5), то всегда можно подоорать такой вектор ооратной решетки 0', чтобы вектор А = й' — Сг' (9.39) ') Быраж«1п1е для вероятностн столкновения, прв котором выест месса переход й -г й', содержит в простейшем случае матрнчный элеыент вада о~х 1уа,(г) ехР (ГК г) фь (г) = ~ 4зх Яа (г) Яа(г) ехР(1(й+ К вЂ” й') г).
1' * Произведение яа на является перноднческой функцией в кристаллической решетке н поэтому может быть записано в виде ряда Фурье по векторам обратной решетнн О. Интеграл обращается в нуль для всех значений й + К вЂ” й', не равных какому-либо вектору обратной решетки 6, поскольку интеграл по всему пространству от функции ехр(и2 г) равен нулю для всех Зг чв О. Наличие С обеспечивает возможность произвола в выборе й а й'„ о которой выше шла речь, , 322 Рпс. 9.5. Первая зона Бриллгоэна для квадратной плоской решетки (постоянная решетки равна а). Волновой вектор й', можно перенести внутрь первой зоны, образовав вектор й, = = й( + Си Волвовой вектор точки Л на гракпце зоны можно добавлением вектора б< перенестн и точку Л' па протпвогшложной границе той».е зоньс л(ожет возникнуть вопрос: можно лп считать обе точки:! и Л' принадлежащими перво» зоне'.
Ответ: мы считаеп пх идентичными п рассматриваем как олпу точку в зоне. 1 лежал внутри первой зоны Бриллюэна. Тогда для функции (9.88) получим: ф,(г) = е™' и,(г) = — е"'(е'""и„, (т)) — = е'"'" иь (г) = тр (и), (9 40) где введено определение и (и) — = е'а 'и,(г). (9 А1) Как ехр((хх' и), так и иэ (и) являются периодическими функциями в кристаллической решетке, а, следовательно, и иэ(г) является таковой, поскольку тра(г) имеет вид функции Блоха. Схемой приведенных зои удобно пользоваться даже в случае свободных электронов (см. рис. 9.6). Из всех этих соображений следует также, что энергия вэ, соответствующая импульсу й' вне первой зоны Бриллюэна, равна значению энергии еэ для й внутри первой зоны Бриллюэна, л е гг (« — Падая хаял браллюзяа 323 Рпс.
96. Зависимость энергви от волнового ея вектора ея = Дзйтр2лг для свободных электроновд изображенная в схеме приведенной зоны. Такое построенве позволяет поясшыь общим образом возникчовепие ванной энергетической структуры крис~алла, Ветвь ЛС представляет собой зеркальное отражение относительно вертикали й = п(а отрезка кривой е(й) для свободных электронов а интервале положительных значений й ог й = +и,'а до й = 2л(а.
Ветвь Л'С вЂ” соответствхчощее отражение относительно вертикали й = — и/а отрезка кривой для ограцательных значений й (от й = — п(а до л = --2л(а). Впутрпкрнсталлический потенциал (т(х) будет создавать энергетические щели на границах зон Брнлл~оэпа (например, в точках Л и Л' между первой и второй зонамд и в точке С между второй и третьей зонами). При этом ширина разрешенных зон и общие хаРактеристики ванной структуры таковы, что в схеме приведенной зоны о них часто говорят просто как о «зовах свободных электронов», 11ь если Й связано с Й' соотношением (9.39).
Отсюда следует, наконец, что решение задачи об энергии электрона в любой разрешенной зоне сводится к задаче нахождения разрешенных значений энергии, соответствующих волновым векторам, лежащим в первой зоне Бриллюэиа. Данная энергетическая зона есть одна из ветвей е» как функции Й (это, разумеется, поверхность в Й-пространстве). Имея дело со схемой приведенных зон, ие следует удивляться тому, что одному п тому же волновому вектору будут отгсчать различные значения энергии.
Каждое из этих различных значений энергии отвечает одной нз зон. Две волновые функции с одним и тем гке Й, но соответствующие различным энергиям будут независимыми; каждая из них составлена различным образом из компонент плоских волн ехр(1(Й вЂ” 6) г). Поскольку коэффициенты С(Й вЂ” 6) для разных зон различны, следует добавить к С какой-то индекс (скажем, р), указывающий номер зоны, т. е.
писать С„(Й вЂ” 6). Тог,та функцию Блоха для состояния электрона с вектором Й в зоне и будем записывать так; ф = е"'и»(г) = 2х„С (Й вЂ” 6)ем»-аь', Периодическая зоиная схема. Есть задачи, для которых полезно представить себе, что мы периодически повторили зону Брилл|оэна во всем Й-пространстве. Для осуществления этой процедуры произведем трансляцию зоны Бриллюэна на вектор обратной решетки. Если мы можем произвести трансляцию энергетической зовы (т. е, энергетической повсрхности) из какой-либо зоны Бриллюэна в первую зону Бриллюэна, то, следовательно, и наоборот: мы можем произвести трансляцию энер~етнческой зоны, находящейся в первой зоне Бриллюэна, в любую другую зону' Брнллюэна.
В такой схеме энергия з» есть периодическая функция в обратной решетке: е»= — в +а. (9.42) Здесь имеется в виду, что е» относится к той же энергетической зоне, что и е„. Результат такого построения известен как периодическая ванная ехе»~а; она будет особенно полезной в гл. 1О, пбо позволит продемонстрировать связность электронных орбит в магнитном поле, Периодические свойства энергии можно легко установить также из основной системы уравнений (9.18), Рассмотрим, например, энергетическую зону в случае простой кубической решетки в том виде, как она получается в приближении сильной связи (см, Приложение Р, формула (Р.9)): "» =Е, — а — 2у(соз Й,а+ сов Йеа+ сов Й,а), (9.43) где Ее, а и т — константы.
Вектор обратной решетки в случае простой кубической решетки равен 6 =(2п/а)к; если его прибавить к вектору Й, то в (9.43) изменится лишь вид члена с 324 соз й,а: сов й,а- соя(йх+ — ) а= соз(я„а+ 2п), (9.44) по последнее выражение тоэкдественно равно соз й,а. Мы видим, что энергия, когда к волновому вектору добавляется вектор обратной решетки, остается неизменной.
Таким образом, в периодической зоппой схеме энергия есть периодическая функция волнового вектора. Полезнымп могут быть все три зонные схемы: а) Расширенная ванная схема, в ко~врой различные энергетические зоны размещены в й-пространстве в различных зонах Брпллюзна. б) Схе.гга привес)енггьгх зон, в которой все энергетические зоны размещены в первой зоне Бриллюэна. в) Периодическая ванная схема, в которой каждая энергетическая зона периодически повторяется во всех зонах Брпллюэна. Эти зонные схемы изображены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
