Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 54
Текст из файла (страница 54)
задачу 8.4). Эффект Холла. Рассмотрим образец в виде бруска, помешепный в продольное (вдоль оси бруска) электрическое поле Е, и поперечное (перпендикулярное к оси бруска) магнитное поле В (см, рис. 8.14). Поскольку ток не может «вытекать» из бруска 300 в направлении оси гг, то следует положить 1', = О, Согласно )равненггям (8.38) это возможно, лишь когда поперечное электрическое поле (т. е, компонента Е») имеет неличину (СГС) Е» = — ы,тЕ» = — — Е„, (8.40) (С И) Е„= — го,тЕ» = — — ' Ех.
Величину это~о поперечного поля Е» можно определить, измеряя разность потенциалов на противоположных гранях бруска (перпендикулярных к оси х), Поле Е, называют поле>н Холла, а величину (8.4 1) Ея=(д называют коэффиг(иенголг (или поегоянной) Холла. Чтобы оценить величину Кн в нашей простой модели, подставим (8.4О) в первое из уравнений (8.38); в результате получим: (СИ) ]7>г = — —, 1 ае ' т. е.
Йгг для сьободиых электронов — величина отрицательная, сслп величину е считать положительной по определению. Чзгг меньше концентрация носителей, тем больше величина коэффициента Холла. Поэтому измерение Кн дает способ определять концентрацию носггтелей. Простой результат (8.42) есть следствие предположения о том, что времена релаксации одинаковы для всех электронов независимо от их скорости. Если же время релаксации зависит от скорости, то в правой части этого выражения для й>г, появится численный множитель порядка единицы.
Зависимость (8.42) станет несколько сложнее, если вклад в проводимость обусловлен и электронами, и дырками (см, ниже). Вывод соответствующего выражения для Кл предлагается читателю в виде задачи 11.3 (в конце гл. 11). Теория эффекта Холла вновь становится простой в случае сильных магнитных полей' ), когда о>,т ~ 1, где «>,— частота циклотронного резонанса, т — время релаксации. ') Обзор гальванонагнигных эффектов в сильных иолах дан Фосет. тон (17], 301 ТАБЛИЦА ЗЗ Сравнение зкснерименталйнык значений коэффициента Холла с вычисленными согласно теории свободиык электронов Экспернмен- тальные зп*""пя дН (О ч ед.
СГС Бы пюлеяныс значения зели ниы — )глас, (О ~ ед. СГС Предпа.таге«мое число носителей па Одни атом Метод Металл — 1,89 1 элс(прок — 2,619 1 электрон -2,3 -1,48 — 2,663 )к(ц 1 электрон -4,946 -4,7 Сп -0,6 — 1,0 -1,18 — 0,8 Ве +2,7 +1,! 35 1 дырка 1 дырка + 1,780 1п +60 — 22 -6000 В! экспериментальные значения Д)), полученные традя~гвояаыца методаып (А), взяты из данных об измерениях три комнатной температуре (нз таблиц Лгнтольта.верггштеика !)З!); значения, получеяяы* методом спиральных аолн (Б) прн 4 'К, ззимсгаозаны нз рабсты Гудмена 1(э!. Значеняя концентрации ношшелсй (л) бралнсь нз табл. )Л, за а«ключ«ни«и аначеннй для Ыа, К, А! и )и, поторые были взяты из работы !'удмена !Кр Чтобы перейти от значешш К(( н единицах СГС к значанпяя а единицах Б «м)А Гс, следует умножить первые аа э!О", а для перекода к значениям н единицах м')Кл — сост.
нетстеенно нз О Юо. -0,92 +1,136 — 0,43 + 1,774 1 зтектрон 1 электрон 1 э !ектрон 1 электрон — 6,04 -0,82 — 1,!9 Наблюдаемые значения коэффициента Холла для некоторых металлов приведены в табл. 8.3; там же для срав~гения приведены значения, вычисленные непосредственно по концентрации носителей заряда. Наиболее точные измерения проведены иа чистых образцах при низких температурах в сильных магнитных полях методом «спирального резонанса» (см. задачу 8.7). Видно, что для одновалентных металлов (иатрия и калия) точно измеренные значения коэффициента Холла находятся в превосходном согласии со зна 1ениямп, вычисленными по (8.42) в предположении, что на каждый атом приходится один валентный электрон. Следует, однако, обратить внимание па данные для трехвалентных металлов (алюминия и индия): экспериментальные зпачсппя соглас)ются с вычисленными в предположении о том, что на атом приходится один положительный элекгронпьш заряд (плп дырка).
В предположении о трех валснтпых электронах на атом мы пол)чили бы для алюминия и индия значения, по знаку и величине отличные от приведенных. Вопрос з причинах положительных коэффициентов Холла возникает также в случае Вс и Аз (значеш я для них также даны в табл. 8.3), поскольку положитслы.ый злак коэффициента Холла ассоциируется с движением положительно заряженных носителей тока, На эту проблему ооратпли внимание уже давно; еше Г.
А. Лорептц высказался по этому поводу слсдуюшим образом: «Казалось бы, это свидетельствует о том, что следует представить себе два типа свободных электронов, движение положительных преобладает в одних телах, отрицательных— в других». Однако невозможно допустить, что в одних металлах свободные носители — позитроны, а в других — электроны. Б следуюшей главе мы узнаем, что теория энергетических зон позволяет описать движение электронов в некоторых обстоятельствах так, как если бы они были наделены положительным зарядом. Орбиты таких электронов называют дырочными орбитамп.
Мы сможем также объяснить большие значения коэффициента Холла в полуметаллах (таких как Аз, 8Ь, Б() и в полупроводниках. ЗАДАЧ И Вп. Приближение Томаса — Ферми. В приближении Томаса — Ферми концентрация злектронав л(г) связана с злектростатическям потепцвалои гр(г) соотношением 3 е~р (и) и (и) па+ — ле 2 е„ гле ае — концентрация злектронов в области, где у =- О, ви — знергня Ферми. зпз а) 1Лспользуя этот результат, показать, что при х ) 0 электростатический потенциал имеет вид 2пп -з х ф(х) = — в й где а — внешняя плотность заряда на плоскости к = О.
б) Найти выражение для й, через невозмущепную скорость Ферми и невозхп щенную плазменную частоту ы,. н) Оценить величгшу й, для натрия. 8.2. Формула Хагена — Рубенса для коэффициента отражения инфракрасного излучения от поверхности металла, Комплексный показатель преломления и+ /х металла прп ыт (( 1 можно записать в виде (СГС) е (ш)=(п+ ги)т =-1+ 4л(аГы, где пс — проводимость в постоянном электрическом поле.
а) Используя для коэффициента отражения Й прн нормальном падении выражение (и — 1)т + из (сгс) Р=,и показать, что (сгс) )(=1 — ( — '") '. Это п есть формула Хагена — Рубенса. Предг|оложигь, что ы х( аь Замечание; Рекомендуется ознакомиться с экспсрвмецтамн на А1, опп. сапными в работе Беннета и др. (20).
8.8. Показатель преломления для рентгеновских лучей. Оценить диэлск. трическую проницаемость и показатель преломления метзллического натрия для рсятгеновскпх лучей с энергией 1О кэВ. Энсргшо ионизацви электроноз счюать пренебрежимо малой по сравнению с энергией рентгеновских фотонов, т. е. считать, что в этих экспериментах все (а не только валентные) электроны г(а можно рассматрпвзть как свободныс.
Предпозожить, что время релаксации т бесконечно. 8.4. Магнетосопротнвленне, Поперечное магнетосопротивление твердого тела при стандартной геометрии опыта определяется отношением Е (1'* (см. рис, 8.14), Показать, что уравнения (8.38) приводят к соотношению 1 = аэЕ„поскольку в стандартной геометрии )х=О, Получается, что сопротивление не зависит от магнитного поли, в то время как в экспериментах в общем сл)чае такая зависимость обнаруживается, причем сопротивление обычио рас~ет при увеличении напряженности магнитного поля.
Следовательно, в наглей модели нмеетгя дефект, связанный частично с нереальным предположением а том, что все электроны имеют одно и то же время релаксации т, нс зависящее от скоросюг электронов. 8.8*. Поверхностные плазмоны. Рассмотрим плазму в бесконечном полу- пространстве в области положительных значений з (т.е. над плоскостью я = 0). Решение уравнения Лапласа рзф = 0 в плазме имеет вид гр. (х, з) = А сов йх в 304 откуда для коыпонент электрического поля имеем; Е»; = йА саз /гх е Е.! = йА э!п йх ° е а) Показам, что в вакууме потенпиал ф (х, ») =-Асов йт ° еа» для г «О удовлетворяет граничному условию непрарывносмг тангенппвльной составляющей Е на границе; для того, чтобы это показать, надо найти Е,».
б) За. ети и ч В, = а(ы)Еь В» = Ео. Показать, ыо граничное Условие непрсрынносгп нормальной составлюощей вектора В на грающе требует, что. бы био а(ы) = — 1, откуда согласно (88) пол)чпм: ы»= ы /2, (8.43) где ы» — частота понерхностных плазменных колебаний. (Подробнее с этим гопросом можно позпакозггжься по работам Ричн [21] и Стерна и Феррела [22) ! эксперименты по плазлгенному резонансу на повсрхносмг малых сфеРн'ескпх частиц серебра и золота обсуждаются в работе Крейбига и Зэхарназа [23).) 8.6*.
Плазмоны на границе раздела. Рассмотрпы плоскую границу при а = 0 между металлом / прн» ) 0 п металлом 2 при» ( О. Для массивного образца металла / плазменная частота равна ыю, для металла 2 ровна юю. Лпэлектрнческую проницаемость обоих металлов считаем равной диэлектрической проницаемости заключенного в нпх свободного электрон. ного газа. Показать, что поверхностные плазионы на границе » = 0 нмыот частоту оз ='Г /» (ыл~ + рзтз (8А4) Е. = Рэ!. — ВВВ/' Ви = ВВВ/» + Ра/н (8А5) где статическое удельное электросопротивление рэ = 1/о, = гп/лезт, а коэф- фициент Холла Вн = — 1/лес (в системе единиц СГС), В выражениях (8.45) мы можем приближенно считать В, = В. 306 Такие плазмопы нзблюдалпсь на границе А!/Мкб! см. работу Кунца [24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
