Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Участок зопной структуры, относящийся к области низких энергий, показан схематически на рис. 9.2 для полностью свободных электронов (рпс. 9.2,а) и почти свободных (слабо связанных) электронов (рпс. 9.2,б), для которых имеется энергетическая щель (запрешенная зона) при й = .+п/а. Условие Брэгга для электронов имеет вид (й+ С)' = й' и описывает дифракцию электронных волн с волновым вектором й; в одномерном случае условие Брэгга дает следующий набор значений й: й = ~ '/,6 = ~ пп/а, (9.4) ') Энергетическая пвель для влектроков является прямым аналогом оп. ласти ааирегдеииых частот для рентгеновских лучей (см. Приложение А, рис. А.1). 310 где 6 = ~2ал/а — обратная длина (в общем случае — вектор обратной решетки), и — целое число. Первые отражения (и первая энергетическая щель) имеют место прн Й = ~п/а (и = 1); последующие энергетические щели отвечают другим значениям п, соответствующим и )! в (9.4).
Отражение при й = -+и/а получается, когда электронная волна от данного атома линейной цепочки пнтерферирует с волной от атомов, являющихся его ближайшими соседями. Разность фаз между двумя волнамп равна как раз -~-2п для этих двух значений !г. Интервал значений Й между — л)а и л)а чазывается первой зоной Бриллюзна (для одномерной мопоатомпой решетки; см, гл. 2), При я = -!-п1а волновые функции электрона уже не являются бегущими волнами вида ги " п е '""", как э~о было в модели свободных электронов. Ниже будет показано, что решения при этих частных значениях й представляют собой совокупности рпвноао числа волн, распространяющихся вправо и влево, т, е, являются стоячими волнами.
А пока приведем лишь некоторые качественные соображения. Когда условия Брэгга удовлетворяются, можно сказать, что волна, бегущая в одном направлении, испытав брэгговское отражение, распространяется затем в противоположном направлении. Каждое последу!ощее брэгговское отражение вновь обращает направление распространения волны. Единственной независимой от времени картиной, отвечающей такой ситуации, является картина образования стоячих волн. Из бегущих волн е: "ч' и е — '~'м мы можем сформировать две различные стоячие волны, а именно: ф ( ! ) — аыхм + е-ыхм — 2 соз а ' (9.5) ф( — )=ее ' — е-'."м =21з!и —.
лх а Стоячие волны состоят из бегущих — правых и левых в равных долях. Индексы (+) и ( — ) у стоячих волн означают соответственно четную (не изменяющую знака)и нечетную (изменяющую знак) функции при замене х на — х. Мы не нормировали функции (9.5). Происхождение энергетической щели. Две стоячие волны 'ф(+) и ф( — ) отвечают группировке электронов в различных по отношению к попам областях пространства, и, следовательно, этн две волны имеют различные значения потенциальной энергии.
Это оостоятельство и является причиной сугцествовапня энергетической щели, Напомним, что в квантовой механике плотность вероятности р(х) нахождения частицы в точке х равна !ф(х) !з. Для чисто бегущих волн функция ф — е"" и, следовательно, р = е"" а "" = 1, т. е. плотность заряда — постоянная величина. Но для линейной комбинации плоских волн плотность заряда уже не будет постоянной.
Рассмотрим, например, стоячую 31! Рнс, цЗ, а) Изменение потепцплльной энергии электрона нрава щмосюг в пола ионных остовов в лпнейяой цепочке. б) Распределение плотности вероятности р (ф(з для волновых функций ф( †) и ф(+) электрона в линейной цепочке; (ф( — ) (' ыпз (пхга), (ф(+) )э созз(пх/а). Штрих-пунктирной гарнзоиталькай прямой показана (постоянизя) плотность вероятности, соответствуюшзя бегущей волне ()ф)е сапе().
Волновая функция ф(+) днег п чности плотности элентрического заряде в точкзх, соответствующих центрам (паложггтельных) ионов, понижая тем свмым потенцпвльную эпершно относительно уровня се среднего значения, отвечающего бегущей волне. Волновал функция ф( — ) дает пучнастп плотности заряда в облэстях между ианвм . сдвигая их от центров напав н панышзя тем свмым потенцизльну1о энергию относительно уровня для бегущей во.чны. Опнсаннзя схема — ключ к паннмвнпю происхождештя энергещшеской шслп.
волну тр(+) в (9.5); для плотности о в этом случае полу ггюг: р (+) ( тр (+) ( соз Эта функция описывает скопление отрицательного заряди на полоисительных ионах или вблизи них'), т. е. в областях х = О, а, 2а, ..., где потенциальная энергия — наименьшая. Ид рис. 9.3,а схематически изображен ход изменения электростатической потенциальной энергии электрона проводимости в периодическом поле положительных ионных остовов в моноатомной линейной цепочке.
Ионные остовы несут положительный заряд, поскольку цепочка состоит нз атомов металла, каждый из которых потерял один или более валентных электронов, которые занимают уровни зоны проводимости. Потенциальная энергия любого электрона в поле положительного иона отрицательна, т. е. соответствует притяжению. На рис. 9.3,б схематически ') Начало координат для оси х считаем совцадпющим с центром одного нз ионов. изображено распределение электронной плотности в стоячих волнах ф (+) и ф( †); для сравнения штрих-пунктирной горизонтальной линией показана электронная плотность для бегущей волны. В стоячей волне ф( †) для плотности вероятности имеем: р ( — ) = ~ ф ( — ) (' — гпп- — .
Эта функция описывает такое распределение электронов, при котором онп располагаются преимущественно в областях, соответствуюгцих серединам расстояний между ионами, т. е. впе ионных остовов. Г1ри расчете средней потенциальной энергии для каждого из описанных трех случаев распределения электронной плотности следует о>кидать, что в случае р(+) средняя потенциальная энергия будет меньше, чем для бегущих волн, в то время как для р( †) она соответственно больше. Если средние значения потенциальной энергии для р(+) и р( †) Раз.
личаются на величину Е„то существует энергетическая щель шириной Ех (см. рис. 9.2). Волновая функция ф(+) (ниже энергетической щели) отвечает иа рнс. 9.2 точкам Л, а волновая Функция ф( — ) (выше энергетической щели) — точкам В. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ Выше мы рассмотрели приближенный вид ожидаелюго ре щения уравнения Шредингера в случае, когда волновой вектор отвечает границе зоны Бриллюэна, например такой, как й = и/а. Теперь рассмотрим детально волновое уравнение п его решение при произвольных значениях Л. Обозначим через (/(х) функцию, описывающую потеициальн(ю энергшо электрона в линейной цепочке (одномерная решетка с постоянной а), Известно, что потенциальная энергия является инвариантной при трансляции иа расстояние, равное постоянной решетки кристалла, т.
е. 1/(х) =- 1/(х+ а). В гл. 2 мы показали, чзо любая функция, инвариаитпая по отношению к операции трансляции кристаллической решетки, может быть представлена рядом Фурье по векторам обратной решетки 6. Запишем ряд фурье для потенциальной энергии в виде 1/ (х) = Х (/о е'о", (9.7) Значения коэффициентов (/о для истинного потенциала кристалла имеют тенденцию быстро уменьшаться с возрастанием величины 6. Для чисто кулоновского потенциала коэффициенты (/е уменьшаются (см.
книгу автора (31) по закону 1/6э, 313. Мы исходим из того, что потенциальная энергия (/(х) — вещественная функция, а это значит, что (/(х) должна совпадать с комплексно сопряженной функцией //*(х). Следовательно, и ряды Фурье для б(х) и !/*(х) также должны совпадать: (/ е~сх ~ [/ е-1 (9.8) с ' с Здесь мы, естественно, полагаем (екр /бх) * = ехр( — /бх). Равенство (9.8) имеет место при условии равенства соответствующих коэффициентов: (/ — а ~~ а. (9.9) Это есть треоованпе, которому должно удовлетворять разложение в ряд Фурье функции (/(х).
Начало координат мы можем выбрать так, чтобы функция 7/(х) была четной функцией х и, следовательно, чтобы считап (/(х) = (/( — х). Это приводит к дополнительному ограниченшо на коэффициенты !/с. Тогда (9.7) можно псреписать в виде (/ ( — х) = ~. (/ е-'с'. (9.! О) Сопоставляя (9.10) и (9.7), мы увидим, что ряды для б(х) совпадают при условии (/а = (/- с. (9.11) Условие (9.11), дополненное требованием вещественности '(9.9), приводит к равенству (/а=(/с. Итак, мы установили, что сами коэффициенты (/с должны быть вещественными, если 1/(х) — вещественная и при этом четная функция х. Исходя из (9.11), получаем: б(х) = Х (/ (е;с: 1- е;ск) 2 ~ (/асов бх.
(9.12) с>о а>о Для удобства мы положим 1/с = О. Волновое уравнение для электронов в кристалле имеет обычный вид Яф=еф, где Ж вЂ” гамильтониан, е — собственные значения энергии. Рещения ф этого уравнения называют собственными функциями или ороиталями. Запишем это уравнение в развернутой форме с учетом (9.7): ( '„Р'.~ о( бр ( ) = (, ~ р* + ~ У ' *) Р( ) = 1( ), э. сз) где мы воспользовались для потенциальной энергии ее представлением в виде ряда Фурье (9.7), Оператор импульса е2 имеет вид — !с —, так что р'= — Ь' —, Уравнение (9.13) сх ' их' ' 314 записано в одноэлектронном приближении, в котором волновая функция (орбиталь) ф(х) описывает движение одного (любого) электрона в потенциальном поле ионных остовов и усредненном потенциальном поле всех остальных электронов.
Волновук> функцию тр(х) можно представить рядом Фурье' ) в виде суммы по всем значениям волнового вектора, разрешенным граничными условиями, а именно в виде т1. (Х) Х С (К) а к.т (9.14) гте К вЂ” всщсственпая гелпчппа; К прпнпхзает значения 2пгтЮ; прп этих значениях К удовлетворяются граничные условия для цепочки в инде кольна длиной Е (здесь гг — произвольное пелое число, положительное или отрицательное). Мы здесь не предполагаем, что з((х) — периодическая функция трансляций на постоянную решетки а.
Однако это так, и позднее это выяснится (сзп ниже формзлу (9.34)]. Докажем теперь очень важный результат теории, согласно которому не все волновые векторы пз набора 2пп!Е входят в разложение Фурье (9.!4) для произвольного частного решения зр задачи о периодическом потенциале. Пусть некоторый волновой вектор Ке относится к числу разрешенных, т. е. известно, что Ко содержится в разложении частного решенин ф; тогда можно показать, что другие волновые векторы, содержащиеся в этом разложении. имеют вид Ко+ 6, где 6 — произвольный вектор обратной решетки.
Мы можем записать волновую функппю з)з, содержагцую в разложении Фурье компоненту Ко, в виде ф(Ко) или равным образом в виде зр(Ко+ 6), поскольку, если Ко входит в ряд Фурье. то и Ко+ 6 входит тоже (как было установлено выше). Волновые векторы Ко+ 6, пробегающие все значения 6, являются весьма ограниченной подсистемой в наборе волновых векторов 2пи!Е, что наглядно иллюстрируется схелэой на рис, 9А. Нашей задачей является опредечение коэффициентов С в разложении Фурье (9.14); чтобы сделать это, представим сначала волновое уравнение в виде системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
