Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 59
Текст из файла (страница 59)
9.7. Периодическая зоиная с..сма иллюстрируется также рисунками 9.8 и 10.5. Рнс. 97. Трн первые энергетические зоны для линейной пеночки, изображенные по-разному, чтобы проиллюстрировать различие между схемами зои. 325 ПРНБЛНЖБННОБ РБШБННБ ВБЛНЗН ГРАННЦЫ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы понять, откуда берутся энергетические шелн, эффективные массьн меньшие т, и какова роль дырок как носителей заряда. Предположим, что значения компонент Фурье иа потенциальной энергии малы по сравнению с кинетической энергпей А Йг/2ш свободного элек- 2 2' тропа на поверхности сферы Ферми. Это предположение позволит нам ограничить рассмотрение случаем простых волновых функций, приолизкепно описываемых линейной комоинацисй двух плоских волн. граница зоны Бриллюэна.
Сначала рассмотрим волновую фупюппо в случае, когда волновой вектор «упирается» точно в границу зоны Бриллюэна '/»6ь т. е. равен л/а. В этом случае йг = ('/ 6 )з (/г — 6 )г = ('/ 6 — 6,)г = ('/, 6,)з, (9 45) Тогда на границе зоны кинетическая энергия компонент волны схр [гггх] и ехр [г(гг — 6,) х] одинакова: Й', д Ь' г! — /г-= —,(й — 6,)-= — ~ — 6,) . 2«1 2«а 2аг ~2 Если С('/е6~) — важный коэффициент в разложении волновой функции (9.19) на границе зоны Брнллюэпа, то коэффициент С( †'/»61) столь же важен. Этот результат является следстьпем обсуждения формулы (9.25).
Мы сохраним лишь те уравнения основной системы (9.18), которые содержат коэффициенты С('/,6~) и С( — '/»61), и пренебрежем всеми остальными коэффициентами. Тогда одно из сохранявшихся уравнений (9.18) для саучая К = '/,6, и Хм — = А» ('/,6,)'/2гп примет тпы () г — з) С (~/«6~) и~с ( — ~/261) = О. (9 47) Здегь через иг обозначены иа, и и а,. Этот результат имеет тот же вид, что и уравнение (9.20). При К= — '/збг получим др;тое уравнение из системы (9.18): (А, — а) С( — '/,6,)+ и,с('/,6,) =О, (9.48) которое имеет вид (9.21б).
Система из этих двух уравнений имеет нетривиальные реше. ния для коэффициентов С(г/»6г) и С( — '/збг) при равном нулю детерминанте системы, т. е. когда энергия е удовлетворяет уравнению (9.49) 326 При Лс = Л ~ имеем: (Л! — е) = Е/~!! е=Л! ~ с/с = — '( —,6,) ~(/ь (9.50) Уравнение имеет два корня: один — отвечающий энергии, меньшей кинетической энергии свободного электрона на 60 второй — больший на Уь Таким образом, потенциальная энергия 2С'! соэ 6,х создает энергетическую шель шириной 2У, как раз на границе зоны Брпллюэпа. Отношение коэффициентов С можно по,ту~и!ть лш:о из (9.4?), либо пз (9.48): О ( — ',,О,*! а — Л С с~'гб~) С/~ ' = -с-1, где мы использовали результат (9.50).
Итак, разложение Фурье для ф (х) получим (с точностью до нормируюших констант)! в двух видах: (9, 51) "т(х) = ехр (1 — 6,х) ь ехр ( — 1 —, 6!х) . (9.52) . 1 . 1 Вблизи границы зоны Бриллюзна. Решим !еперь задачу для случая, когда волновой вектор близок к границе зоны Бриллюэна '/э6ь Для этого воспользуемся тем же двухкомпопентным приближением, однако волновую функцию запишем в виде ф(х) = С(й)емх + С(й — 6,) ессь — о!" (9.53) Согласно основной системе уравнений (9.18) будем решать спстему следующих двух уравнений: (Ль — е) С (й) + Еl, С (й — 6!) = О, (Ль а, — а) С (й — 6,) + (/!С (й) = 0 (9.54) где опять-таки введено обозначение Ль —— — йЧа/2ип Эти уравнения имеют нетривиальные решения, если зцерпся а удовлетворяет уравнению (9.55) или и — Е(Ла-Ш + Ла) + Ла О,Р.Х вЂ” (/1 =О. (9. 56) 327 Эти функции идентичны функциям (9.5).
Одно решение есть волновая фушсция для нижнего края энергетической щели, другое — для верхнего края. Какое именно решение отвечает меньшей энергии — зависит от знака 1/! в выражении для потенциальной энергии. Корни этого уравнения: 2 (ла и, + йа) ~ ~ 4 (г'з — о, ла) + (/~~ (9.57) причем каждый из корней описывает какую-то энергетическую зону. Эти корни, т.
е. зависимость энергии от й, приведены ца рпс. 9.8, а для случая периодической зонной схемы, В расширенной зонной схеме первую энергетическую зону следовало бы изображать лишь в пределах первой зоны Бриллюэна — '/збг < й ('/збг, а втор)чо энергетическую зону — в пределах второй зоны Брнллюэна, которая соответствует отрезкам й-оси 61(й м ~/э61 п ~/з61<й "61 Энергию (9 87) удобно представить в виде разложения в Ряд по стспенятг некоторой величины б, которая равна разности 'т и г.'Вы :сз Йб а7 1а ( фбг/ бар гд ш йат улегся ', | — р з'ггг-л> ' бпапся зоил -ха, 328 П Дб хи ГЛ уг — ъ- г,) Рис. 9.8.
а) Ре пения уравнения (9.57), изображенные в периодике. ской запнай схеме, в области вблязп грзннцы первой зоны Брилл аэшь зхля построения кривых приняты в полходяцгих единицах зпз1ения: бг1 = — 0,45, 6<=2, П'/т =- ). Кривзгг для случая свобадяого электрона приведена длч сравнения. Ширина энергетический шели на границе зоны Г>риллюэпа равна 0,90. Значение У~ выарапа умышленно большим, чтобы сделать график более наглядным: прп этом, однако, апо настолько велико, чта двухкомпопентное приближение уже не является достаточно точным. б) Зависимость от й отноше.
иия коэффициентов С(й — б,) и С(й) в разложении попцовой функции вида (9.53) в случае. когда й близко и границе первой зоны Бриллюэна, Тогда (9.57) в области энергий /г'гггб/2т « ~(/г ~ можно представить в следуюшем виде: Йг х! г г г Л, гьггагх г = — ~ — Ог+ 6 ~ ~ (/г ~1+ 2 — ', ( — ~~. (9.59) 2гн ~ 4 Сгг 2 гг,Ц Это спраьедлпво лишь для очень малых 6, поскольку разлоькеипе основано па предположшши, что й 6гг/2ггг -> ~ (/г 5 Обозначпь два корня (9.50) через ег(+) и ег( — ), получим из (9.59): е,(+) =-.,(+)+ ',„,', (1+ ',"), Л'6' Г 2Л се( — ) = — е ( — ) + —,— (1 — — ).
(9.61) гг,,/ (9,60) Такой внд гихгеют энергии, как корни детермипантного уравнения, в случае, когда волновой вектор близок к границе зоны Брпллюэна г/,6г. Обратим внимание на то, что энер~ия зависиг от квадрата волнового вектора 6. Если (/г отрицательно, то решеьгне еь( — ) соответствует верхнему краю двух энергетических зоп, а решение еь(+) — нижнему краю двух энергетических зон; не следует при этом еще забывать о сделанном нами предположенгш: Лг » ~(/г~ ЧИСЛО УРОВНЕИ В ЗОНЕ Рассмотрим одномерный (линейный) кристалл с постоянной решетки, равной гб такой кристалл построен из гЛь элементарных ячеек длиной а. Чтобы подсчитать число возможных состояний, введем периодические граничные условия для волновых Функций, а именно, длину блока периодичности будем считать равной длине цепочки.
Разрешенные значения волнового вектора электрона в первой зоне Брпллюэна определяются аналогично (9.2): /г = 0; 2п 4п Лп Ь ' Ь ' '''' А (9.62) Мы ограничили этот ряд значением й = йгп/ь = — и/а, поскольку Й = и/а служит границей зоны Бриллюэна. Значение — Уп//- = = — и/а надо исключить, так как оно ие является независимым, будучи кратным вектору обратной решетки и/а. Тогда полное 329 й и г/,ггг и служит мерой близости й к границе зоны Бриллюэна: /2~г /г /г /2~г (9.58) лцевзжж в ! число значений й, задаваемое (9.62), точно равно йг — числу элементарных ячеек. Отсюда следует, что каждая элементарная ячейка в кпждой энергетической зоне дпег точно одно независимое значение н.
Это утверждение переносится и на случай трех измерений. Если еще учесть, что каждый электрон может независимо иметь одну из двух спиновых ориентаций, то общее число независимых состояний (орбиталей) в каждой энергетической зоне окажется равньглг 2У. Если, например, на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента, то в энергетической зоне будет занято электронами ровно половина возможных состояний (уровней).
Если кристалл состоит из атомов двухвалентного элемента и каждый атом может «отдать» в энергетическую зону два электрона, то эта зона может быть заполнена целиком, т. е. точно все ее уровни будут заняты электронами. Если на элементарную ячейку приходится по два атома и это атомы одновалентного элемента, то энергетическая зона также может быть заполнена целиком. Металлы и диэлектрики. Если валентиые электроны заполняют целиком одну вли более верхних разрешенных зон, то кристалл является диэлектриком. В таком кристалле наложение внешнего электрического поля не приводит к появлению электрического тока '). Если целиком заполненная зона отделена от следующей более высокой зоны энергетической щелью, то нет г) Предполагается, что электрическое поле не столь велико, чтобы вы.
звать разрушение электронной структуры, квк, например, при пробое в полупроводнике (эффект Зинера); см. книгу Займэне [5). 330 Рнс. 9.9. Изменение со временем ве. личины волнового вектора электроиз (в й-прострэистве) в одномерном кристелле под действием постоянной силы (внешнего электрического поля) и в пренебрежении всеми процессзмн столкновений. В печальный момент волновой вектор электроне отвечэст точке А; под действием поля электрон ускоряется и его волновой вектор достигает зизчеция, отвечающего точке и, и т, д, н, наконец, доход ж до точки С, в которой значение й соппзлэет с грзницей зоны. Но точка С б обрезной решетке эквпвзлевтнз точке С' нз противоположной границе зоны. "злее электрон, двнгзясь из точка С', достигвет точки Р, затеи опять дох ы диг до границы зоны, н процесс повторяется.
Имеются некоторые сомнения пзсчет токой теоретической возможности, т.е. возможности колебзннй электроне внутри энергетической зоны, поскольку соглзсно оценкам Рзбиновнчз и Зэке (Л. )(зЫпотисй, б. Езй) существует возможность межзониых переходов под действием электрического поля, зр й зл ч т/ ж р хп /г — »- л /г — »- л /г — э ш л/ у/ Рнс. 9.го. Занязые состояния !загптрпхованггые облагая) в разлпчпых зонных структурах: а — изолятор !дпэлектркк); б — металл с перекрытвсм зон: в †мета, в котороьг зоны не перекрываются, но в яерхней зоне электроны занимают лишь час~ь нпжнпх уровней Б случае б перекрытие не обязательно нмеет место вдоль одного и того же направлення в зоне Брггллгоэгга. Еслгг перекрыпге мало п в нен участвует огносятельно неболыиое число состояпягй то счнтагот, что это случай полунеталла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
