Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 60
Текст из файла (страница 60)
никакого способа непрерывным образом изменить суммарный импульс электронов кристалла. Все разрешенные состояния заняты, и наложение поля ничего не может изменить, Ситуация совсем иная, чем в случае свободных электронов (см. рис.7.)О). Другой подход к анализу этой ситуации состоит в использовании вводимого в гл. !О уравнения движения: й — = хт.
г/й цг Под действием постоянной силы волновой вектор электрона будет непрерывно увеличиваться с течением времени, Но когда й(!), возрастая, достигнет границы зоны, волновой вектор испытает «переброс» (сзг. рис, 9.9) на протнвоположнуго границу. Это движение будет происходить вновь и вновь, ио не приведет к какому-либо результируюпгетгу ускорению, в чем легко убедиться, если провести усреднение по всем состояниям зоны '). Любой кристалл может быть диэлектриком при четном числе валентных электронов в элементарной ячейке кристалла.
(Исключение должно быть сделано иногда для сильно связанных электронов внутренних оболочек, которые нельзя описывать на ') Из прнведенных соабраженнй, казалось бы, следует, чго суммарный ток це возникнет н в том случае, если зона заполнена не целнком. Однако это соображенне неприменимо, если нмеют место ннтенснвные процессы рас сеяния, характерные для реальных твердых тел. Процессы рассеяная возвратят электроны в состоянне теплового равновесия до того, нак волновой вектор скольха-ннбудь заметно увеличится.
Прн равновесии занятых состояннй высокой эпергнн в зоне проводнмостя металла значительно меньше, чем занятых состояний низкой энергнн, н поэтому электропроводность можно пычяслять тем же способом, который был применен выше в главах 7 н 8. Поэтому для реальных условий в металлах утверждение о стремлении к нулю суммарного тока не имеет никакого отношення к делу, 33! основе зонной теории,) Если в кристалле число валснтных электронов на элементарную ячейку четное, то необходимо отдельно рассматривать случаи перекрывающихся и ненерекрывающихся энергетических зон. Если зоны перекрываются, то вместо одной заполненной зоны, характерной для диэлектрика, мы можем иметь две или более частично заполненных зон, приводящих к тому, что кристалл обнаруживает свойства металла (рис.
9.10). В щелочных и благородных металлах на элементарную ячейку приходится один валентный электрон; именно поэтому онп и являются металлами, Редкоземельные металлы имеют два валентпых электрона на элементарную ячейку и могли бы быть диэлектриками, но энергетические зоны у них перекрываются н поэтому они металлы, хотя и не очень хорошие металлы ',:. Кристаллы алмаза, кремния и германия имеют по два четыре:- валситных атома (т. е. по восемь валентных электронов) на элсментарн)чо ячейку. Энергетические зоны в нпх не перекрываются, и поэтому чистые кристаллы прп абсолютном нуле являются диэлектриками. РЕЗЮЛ1Е 1.
Решения волнового уравнения в случае периодической решетки имеют форму функций Блоха тр (г) = ееа ' и (г), где ил (г) — функция, инварпантная по отношению к трансляциям, кратным постоянной кристаллической решетки. Волновые векторы К, фигурирующие в разложениях в ряды Фурье, например в разложении ф (г) = х С (К) е'к' л имеют все вид й+ О, где 0 пробегает все векторы обратной решетки. 2. Имеются такие области значений энергии, для которых решения волнового уравнения в виде функций Блоха не существуют. Эти значения образуют запрещенную область; прн этих значениях энергии волновые функции затухают в пространстве, а соответствующие значения К являются комплексными (как показано на рис.
9.11). Существование диэлектриков, например, обусловлено именно наличием у иих запрещенных областей энергии. 3. Энергетические зоны часто могут быть получены приблвженно, путем введения для описания поведения электронов одной или двух плоских волн. Например, вблизи границы зоны Бриллюэна '/вО волновую функцию можно приближенно ') Зкачепяя влектросопротявлеиия пркведеяы в табл. 7.3. ззм дгу «;~С,зр ) л рр "р нрг ".23 дсу с ай д ну дем сл0енннн нссюз лгьг -,ав Рпс. 9.!1. Интервалу знергетнческой щели отвечают решения залпового уравнения, соответствующие комплексным волновым векторам.
На грапнпе парван зоны Бриллюэна вещественная часть волнавага вектора равна Чзбь Мпптгая часть показана на рисунке пунктиром в приближении двух плоских волн для случая (3 = 0,0!йзб-'12гп. (К. Са1ш.) записать в виде т)~Л (Х) ~ (' (М) и'ат ) С; (М Ст) Ет(Ь-С)з Энергетические зоны можно описывать на основе любой из трех ванных схем: расширенной (по Брп.ллюэну), приведенной и периодической. 4. Число состояний (орбпталей) в энергетической зоне равно 2,'т(, где Л' — число элементарных ячеек в образце.
ЗЛДАЧН 333 9.1. Квадратная решетка, энергии свободных электронов. а) Показа гь для простой кубической решетки (з случае двух измерений), что кинетическая энергия свободного электрона в углу первой зоны вдвое больше, чем в середине бокового ребра зоны Брплшоэна. б) Определить соответствую;цее разгшчнс кппетп ~ескпх энергий в случае трехмерной простой кубической решетки (т. е. для угле зоны и центра грани). в) Как отразится результат (б) на величине проводимости двухвалснтного металлнр 9.2. Число состояний. Имсеы кристалл в форме куба, структура решетки — простая кубическая, число элементарных ячеек равно Л". Г'ри помаши аккуратного расчета показать, что чнсло незавпснзгых значений волнового вектора й в зоне Бриллюэпа рвано точно .Чз.
Указание: Если одну точку зоны Бриллюэпа лшжно соединить с р другими точкалш векторами обратноп Решетки, то все зти р+ 1 точки можно считать одноп. 9 3. Комплексные волновые векторы запрещенной энергетической зоны (зггергетической щели). Найти выражение для инимой части волнового вехтора в запрещенной зоне на границе первой зоны Брнллюэна, воспользовав шись приближением, которое привела нас к уравнению (9Л9). Представить Результат в виде зависимости функции 1пт (й) от а, где а — энергия, отсп:- тываемая ат центра энергетической щели. Для малых а н малых 1гп(й) результат имеет следующий вид: йз ( з э — [1ш (й)]т = 2(и 1гтйз)2ш Эта зависимость графически изображена на рпс.
9,П, Такая запись важна в теории туннелированпя Зинера при описании переходов электронов из одной энергетической зоны в друг)чо при наличии сального электрического поля (см. книгу Займана [5)). Зксперименталаное подтверждение правильности предсказаний, вытекающих из вы шсленного выражения для 1ш(й), имеется в работе Паркера п Мида [6); см. также работу Кертина и др. [7).
йА. Потенцвальная энергия а решетке со структурой алмаза. а) Показать, что в случае структуры алмаза компонента Фурье Ио потенциала кристалла, воспринимаемая электроном, равна нулю при 6 = 2А, где А — базнсный вектор обратной решетки, отнесегигый к какой-либо подходящей кубической ячейке. б) Показать, что обычное решение волнового уравнения для электроцз в периодической решетке в первом прибли>кеншг пряводит к отсутствн о внергетнческой щели па границе зоны Бриллюэна в виде плоскости, перпсн. дикулярной к вектору А (причем конец вектора А лежит на этой плоскости), Показать также, что во втором и более высоких приближениях имеется энергетическая щель. Г л а в а 1О. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ. Н 33,» 34О 343 349 Строепне поверхности Ферзи Электроны, дырки и открытые орбиты дыр Эффективная масса электронов в кристалле .
фязп~еская ~тптерпретаппя аффектяепоа массы )аое), Волновые функции прн нулевом волновом векторе .......... 352 Нлп яяе р пятка яя пер~я ая и я мст лл. х )ваа). Псевдопотенцналы 358 Экспериментальные методы исследования поверхности Ферми..... 361 Ццк)отроппысз резосапс а мсталлат )МП. Зкстреяааьяые орбиты Мб)). эффект ве Хааза — аая Лльфепа )ЗОЕ).
Пртиор: ззоаерхззост ферма ьзетал.теяесктзто зо. лота ( 72). Поверхиость Ферми в мста")зжх с гранецецтрированпой кубической структурой Резюме, Задачи , Литература, Прттложеттия, огносягчлеся к т)пино)1 плане: О, Двпткезп)е частицы н г-пространстве и в й-пространстве при наличии внешних электрического н магнитного полей........., ..
737 Ы, Переходы Мола 740 1, Векторный потенциал с юшульсом поля, калибровочное преобразование н квантовапне орбит 743 «И)пересно установить, какие (электронные) волны особенно подпер)кены влнянюа тех аномалий„которые обусловлены ноявлевием селективвых брэгговскнт отражений. Мы построим обратную реп)етку христалла...» ,7. Брпллюап, )ВЭО г, СТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ФсРМИ В случае металлов мы уже встречались с поверхностью Фер. ми, как поверхностью постоянной энергии ер в й-пространстве.
Поверхность Ферми отделяет незаполненные состояния (орби- тали) от заполненных при абсол)отном нуле. Большинство электронных свойств металлов определяется именно формой поверхности Ферми, поскольку ток возникает при изменении числа занятых состояний вблизи поверхности Ферми, Форма поверхности 335, ср Рис. 1О.1. а) Построение в А-прас сранстае первых трех заи Брилщоэна для случая плоской квадратной решетки. Три нанменыиих вектора ооратиой решеызи обозначены чсрсз би бз н бз. Проведены пряные через середины векторов бь бз, бз перпендикулярно к ним. 6) Проводя, кроме указанных в (и), псе эквивалентные им по симметрии прямые линни, мы получим области Ли ространства, образующие первые три зоны Бриллюэна.
Числа 1, 2, 3 написаны на участках, отйосящихся к соответствующей по номеру зоне. Одновременно эти числа (в порядке возрастания) отвечают векторач б, ба. бз возрзстзюшсй длины, прп помощи которых построены внешние трачниы областей. Ферми может выглядеть очень сложной, но тем не в)енсе, исходя из сферической поверхности Ферми и пользуясь схемой приведенной зоны, ей можно дать весьма простую интерпретацию. На рис. 9.6 (стр.
323) приведена зависимость и от волнового гектора й для свободных электронов в одномерном случае в схеме приведенных зон. Результаты данного там рассмотрения мы распространим на случай двух измерений (рис. 10.1). Формула Брэгга (2.40), определяющая границы зон, имеет вид 2Й О+ба=0. Эта формула удовлетворяется значениями й, оканчивающимися па плоскости, нормальной к вектору 6 и проходящей через его середину. Первая зона Бриллюэна плоской квадратной решетки получается как область, заключенная между взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через середины кратчайших векторов обратной решетки кзз и еще трех векторов, эквивалентных ек, по симметрии; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
