Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для скорости электронов на поверхности Ферми пг из (7.17) получим: (7.22) Из условий для й, Аа, й, (?,12) вытекает, что каясдому разрешенному волновому вектору, т. е. каждои тройке квантовых чисел )гю )га, йю отвечает элемент объема в Й-пространстве величиной (2п/г.)а. Поэтому в сфере объемом бптггр/3 число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу я гаек ооъемом (2пге)а, п поэтому число разрешенных состояний равно ТАБЛИЦА Г! Параметры поверхности Ферми ряда металлов, вычисленные для модели свободных электронов )Все значения приведены лля кочнзтноО температуры за искгноченнем )>!а, К, ))Ь, Сз 1прн 5 'К) н Е! (прп 78'К)). )7оясиеиие: Концснтранпя электронов >7,)!> определяется произведением велсптности металла нз число атомов в 1 см! !и> табл 1.5). Еслп выра>кать Б>: з см-', тя — в см!сек, 1> — в си', то получи>г слелу>оит>гс соогчоме:ия: А„= 03л' у,'! ) '" =!29,609 Л',>К) ', с„= 5>ия/ п = 1,1>7рк! сц = '7> гни!:, илп, сслд ег зыРсзнть в эВ, го ен )эВ) = и,'>84 10 >о Я Т, !'К) =- 1,16 10'еп (эВ).
э > -" э 'э э Б ы В э 18п 6 15,30 11,49 11,63 10,35 8,60 1,75 1 65 1,5) А) Са 1п 13, !9 12,01 9,98 2,07 2,19 2,41 2,02 1тц 1,74 9,37 10,03 10,87 11,64 1,82 1,88 13,20 14,48 1,57 1,62 2,30 2,23 РЬ 8)) ') БеаРааиаРныа наРаиатР та=ге>ац, гда ац — боРоасю>й РаднУс )е,ззз 1з си), а г — радиус сферы, садержамай олин электРон. а 260 1.! Па К РЬ Са Си Аа Аи Ве МО Са Зг Ва Еп Сб 4,7ОХ10ы 2,65 ),1Э 1,15 г )>1 8,!5 5 и:> 5,93 24,2 8,60 4.63 356 3,2,') 13,10 9,28 3,23 3 93 4,86 5,2) 5,63 2,67 З,п2 3,:)! 1. 88 ч;„5> 3 и7 3 69 2.31 2,59 1 !!у!г>а 0,92 0,7о 6,7') 0.61 1,36 )':и) 1.20 1,37 1.1! 1,г>2 0,98 1,57 1, 10 1 29Х1Оа 1,07 0.56 0,81 0,75 1л5>7 1,39 1,39 2,23 1,58 1,28 1,18 1,13 1,82 1,62 4,72 3,23 2,1 2 1.85 1 эй 7,Г>0 5,!8 5,51 14,14 ?,13 4,68 3,9о 3,65 9,39 7,46 о э аа 0 э„ >" > 5,48Х !!)' 3,75 2,46 2,15 1,83 8.12 6,36 6,39 10,41 6,27 5,43 4'8 4,24 10,93 8,66 Значения 1гг, ог и вг, вычисленные для ряда металлов, приведены в табл.
7.1. Там же приведены и значения температуры Ферми Тг, определяемой отношением вгг)гз (велнчина Т, не имеет, разумеется, никако~о отношения к температуре электронного газа!). Выведем теперь выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал Ы(е), часто называемого плотностью состояний. Используем (7.21) для нахождения полного числа состояний с энергией мспьшей или равной ег', (7. 23) так что для плотности состояний при знерюги Ферми полу шм: (7. 24) Зтот результат можно получить из (?.23) в более простой форме: з юм 3 ие„ 1и У = — (п вг + сопз(; 2 М 2 а„ (7.25) откуда а) (е.) = — — ' ил зу наг 2гг (?.25) С точностью до коэффициента порядка единицы число состояний на единичный энергетический ннтсрвал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми.
Зти результаты верны также и для свободных электронов, для которых з пропорционально )гз. Мы можем исходить из об. щего выражения для е()г) и действовать в полной аналогии с расчетом, примененным при выводе (б.34), т. е. записать Ы(з) в виде 1Е)( ) е 2Г Г ЛЗ, (2пр 21 1 игарка а ~ (7.26) где множитсль 2 учитывает две возможные ориентации спина, )г — объем образца, г(5, — плошадь элементарной площадки на поверхности постоянной энерпш в.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА Проблема теплоемкости электронов проводимости на раннем этапе развития электронной теарии металлов оказалась для этой теории непреодолимо трудной. Классическая статистическая механика предсказывала, что на свободную точечную частицу к)<г) рис. 77. Пчотпость состояния ыл<е) как фхжишя з))оргии е для газа свободин)х :аектропов в трехмерном сл) ча)е. Заии)?иховаппзп область ограиисшвает сосгокиия, з)пятые )ри абсожои)ом и)лс <С З))српы)ж От О дО Ее).
П) И«И)рная «Говея со)гаегсгв)сг области ы)ери)и )и))р)и)оа К*Т, гле 1)лог!)остс сс?стоп)ияс раева )<е. Т)Т?)е), и ож)сывает харакир зип хтиеиия состоя. »11 ЗЛСКтРОиаии )И),О ГО! Ос! «ОЪ И)ОГ) ) С И "Ра Г) Р . Т ) и. 1)о г.и.оп, чгс) Ь Т:,%' с . )1!)п я човс, щсжи) тем пер;игры си(тех)с) от О по Т ср лиъ)) зпсрггя злскгрсжтв возгзс1аы зв счет тсряичел оги воют скле)п я .)ск)гыи в сы попас),1 1 в об»усы. '. а — — з ДОЛЯси,1 ПРИ«ОДВТ).СЯ ТЕПЛ<Н.МКОСть, Р»внаи З З!Сл, )ДС йс — ПО- стояниая !)Ольцмзиа.
Если каждый нз л' атсмои металла вогл»<яз в электронный газ один взлеигный электрон и эти элск- ТРОН!и СВОООДПО ДинжУТСЯ В МСТЗ.1ЛС, ТО ВКЛЗД ЗЛИ(ТРОНОВ В ТЕП- лосмкость металла в целом должен составлять з/аМ<в, Однако экспсрпмш))ы покззыВ»лп, ч)0 элсктропный Вклад В т<.илоемкосгь при комнатной температуре составляет ооычно ие Голее ! "1<!О от указанной величины.
Это вопиющее расхождение теории и опыта приводило в отчаяшге исследоаат(лей того Времени, и»пример .г!Орснт!и. )«зк з)о)),ет сыт!,, расс)?и;1»ли Они, что злскт)юны, )'часта).!ошно В Гц)оцсссах электрической проводимости тз!и как будто Они свободно движутся, в то же Время фактически не имеют вклада и теплоемкосгьр Ответ на этот вопрос мог Гьпл дап лишь после открытия ирш)ципа Г)аули и функции расир(деления Ферми. Ферм)1 пол)чил позннльное Выражение и поэтот!? с г)одным огиоианисм Писал: «Мо?кио утверждать, что )еплосмкость при »исолк?п!ом пуле обращается в пуль, з при низких темисрзтура. Нропорцнонзльиа абсол)отной температуре».
)(огг<з мы Нагрев»с)1 образец от абсолютного нуля, ис кая(- лтяй влек!рои в н(1)1 приобретает энсрпио йиТ, кзк следовало бы согласно классической т<ории газок испытывают тепловое вс) )буждснис и, следовательно, зриооре)ают зисрпио лишь электроны, находящиеся В состояи)шх с энергиями в интер!)зле 7)вТ вблизи урипия Ферми. Ко)ячество приобретаемой этими электронами избыточной зпергпн само порядка )свТ, как и показано нз рис. 7.7. Это сразу позволяег дать качественное решение проблемы теплосмкости газа электронов проводимости.
Если йг — полное число электронов, то тепловое возбуждение ири повышении температуры от О до Т может испытывать лишь часть нх порядка отношения Т/Тж потому что приблизительно именно такая их доля обладает энергиями в энергетическом интервале йаТ в верхней части энергетического распределения, Каждый 262 видно, что электронная теплоемкость прямо пропорпиональнз температуре Т, в полном соответствии с результатах4и экспериментов (оосужденис будет дано в следующем разделс) . Г! рц комнатной темпсратурс вели пша С,~ согласно (7.27) много мсньше значения Чзй4йв, давасмого классической теорией, причем составляет примерно 1)100 этого значения илп мсньше, сслп положить Тг 5 10' град (см. табл. 7.1: тппичнос значснис отношения сг!йа -=- Тг 5.104'К).
Подучим теперь более точнос выражение для электронной теплоемкости, справсдлииое для области низких температур; низкими будем считать тсмпературы, удовлетворяющие условпк4 йа7' « ег. Путь расчета прост, но остроумен. Полное измеисниг ЙЕ (увеличение) энергии системы ЙГ электронов (см.
рнс. 7,7) при повьцпснии температуры от 0 до Т состоит пз двух частей: 4Е )зЕ = ~ ) (е) еЫ (е) г!е — ~ е с)(а) г!е . (7. 28) Здесь !'(а) — функция распределения Ферми — Днрака (7.7), Ы(а) — число состояний на единичный энергетический интервал. Ч44сло частиц Л' = ~ ) (е) Я (а) г)в о умножпм на аг; получим: вгйг == аг ~ ) (е) Ю (е) г)а.
ь Тег4срь продифферепцируем (7.28) и (7,29) по Т: См= —.— — ) аЖ(е) —, г(е, дли Г д! дТ з дТ о дЗг д! 0 = ев — = ) ег!6 (в) — 4)е дг- 3 дТ о (7. 29) (7. 30) (7.3 1) 263 г из МТ1Тг электронов обладает избыточной тепловой энергией порядка йвТ, а полная энергия ЛЕ теплового возбу4кден44я электронов составляет величину порядка ЙЕ ж —, ЬВТ. 4УТ в ° Электронну4о тсплоемкость См получим обычным путем, взяв производную по абсолютной температуре: дан т С4 = '.
Йг!г„—; (7.271 я и вычтем (7.3!) из (7.30); тогда для электронной теплоемкости получим: Се! = = ) (в — ве) — Ы (е) с(в. (7.32) а При низких температурах (!евТ/ее (0,0!), для которых и ведется рассмотрение, производная д!!ОТ велика только при энергиях е, близких к ее, и поэтому вместо функции Ы(е) можно взять се значение при е = ее п вывесп! ее из-под знака интеграла; получит!! Се. = й! (е„)) (в — ег) — 1(е. .Г д! дГ О (7.33) Изучение графиков на рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
