Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Резуль- 1 от' таты измсрений температурной зависимости параметра решетки (и соответственно плотности) для твердого аргона приведены на рпс. 6 20. стг(- "ч .иная шеч х б Ес ВВВ ч В сот с чу ВУ Втт Тее теуеегуее, 'М' Рнс 690, Менсатомное расстояние в решетке твердого аргона как функция температуры по данным ряда авторов 115). 234 ;:Ы г: ~, р,аВ '- Хбгз 71 вз 9т 17,9 19,9 199 "',5 .17 9 1,9 в Ге пг д!о \1у 9 Р1 3 11,7 19т.а 9 т 119 теплОпРОВОДНОбть Коэффициент теплопроводиости твердого тела К легче всего определить, рассматривая стационарный поток тепла Я~ в дли!и ном стержне, в котором создан градиент температуры дТУгйх.
Тогдг! !!моет место соотношение Я=К вЂ”, где !) — поток тепловой энерпш (это энергия, проходяшая через попере ише сечение стержня в единицу време! и), К вЂ” коэффициент тсглопроводпостп. Бпд соотношения (6.54), опрслеля!ощсго тсплопроиотпость, содеряхит в сеое утверждение, что процесс распргстршцпия тепловой энергии является случайным пиоцессом. Пел!зя сч !тп!и, что тепловая энергия просто поступает с одного хоииа сгеР;к !я и. ирг)следовая вдоль него, лохотит ло др)того вши!а..'Асхапи.; ! распространения эиеры!и сход!и с диффузиоипь!и, и эперп!я и-! своем и ти в оордзпс как бы !.'спытываст миогокоатиь'е стола!и!. гения.
Если Иы энергия распоостиаиялась оез отклочспий прям ! чгис! образец, то выражение лля тсчлового потока зависело бы и' от градиента температуры. е лишь от оезпости тсмперат' р ЛТ ни кош ах образца, при любой его злпнс. Градиент температуоы в выра кении лля т~и,тового потока и тля срслисй длин:! свобозиого прог!сга появляется и.!ецио потом, что тсплопроводность по своей природе является случайнь!!! процессом.
Из кинетической теории газов в известном прибли:ксиип легко получить для теплопроводности следую!цсе в! ражсиис: К = — Си), ! (6.55) где С вЂ” теплосмкость единицы объема, о — средняя скорость частипы, ( — средняя длгша свободного пробста между двумя последу!ошими столкновениями.
Для описания теплопроиодности твердых диэлектриков выражение (6.55) было впервые использовано Дебаем; при этом величина С рассматривалась как теилоемкость фоиониого газа, о — как средняя скорость Распространения фононов, а ( — как средняя длшш свободного пробста фонона. Б табл. 6.3 приведены для примера тшпшиые значения средней длины свободного пробега ( фопоиов в кварце и в каменной соли ()х)аС)).
Прежде всего приведет! вывод формулы (6.55), основанный на элементарной кинетической теории газов. Поток частиц (молекул), движущихся в направлении оси х, равен !!,н()а,!), где "— число молекул в единице объема; при равновесии потоки в прямом и обратном направлениях одинаковы, Угловыми скоб"ам'! (...) обозначено среднее значение Гели с — теплоемкость, "тнесенная к одной части! е, то прп движении из области объма с локальной температурой Т+ ЛТ в область с локальной 235 тАВлнцА аа Средняя длина свободного пробега фононов с, К, Джг1см грггн Втт1сззсгрняГ И!о см Крястапа г, 'с Кварц (параллельно онтнчесноа осп) 0,15 0,50 40 540 2,00 0,55 0 — 100 Каменная соль Мач,1 0,07 0,27 23 100 0 — 190 1,55 1,00 тсмпсратурой Т юстина потеряет энергию, равную сЪТ. Разность локалыгых температур лг па копна: интервала, разного с[уелней лтпце сВооодиого пробега, дастся Вы(зВжеяист!: отг гГ Т 57'= — — 1= — с т, гУ я г1 я (6,56) где т — среднее время между столкновениями.
Для полного потока энсрп:и (создаваемая.о потоками частиц в обоих направлениях), следовательно, имеем: еУТ 1 ., ДТ 1,1 = гг1сзп) ст — = —. и (стт ст —. яг ял 3 'г (6.57) П случае же фоиопов, когда ско(ость о постоянна, (6.57) можно переписать в виде = — СВ1 — „ 1 гтг 3 (6.58) где 1= ст, С = пс. 11так, выражение (6.55) получено: l( = = 'УУСВ!. 'Тепловое сопротивление решетки. Величина средней длины свободного пробега фоиоиов 1 определяется в основном двумя процессами; геометрическим рассеянием и рассеянием фононов на фоноиах, Если силы взаимодействия мследу атомами чисто гармонические, то никакого механизма фонон-фононных столкновений не сушествовало бы и средняя длина свободного пробега определялась бы только отражениями фононов от граничных поверхностей кристалла и рассеянием на дефектах решет1сн (это мы и назвали геометрическим рассеянием).
Возможны ситуации, для которых эти эффекты являются доминирующими. зпнчспяя г нм ~ зсненм по оорпупе галя, з рпчс . пяя с яр.гзято тппзыноо знячспаз СН'Р. Стн ЗНУПЗ, Ренпас а Ьтг С ССЕП. Пантяеннпа тЕКН З Пттсн ЗНЗЧЕННЯ Г От;жентеп К СПУ. ч о прап,ссоя персарссз, опр псз гачмч зяконоч созрапззпзг со; попого псзгторз Гяп.
Бели же силы взаимодействия апгармонические, например п>па (8.48), то между фононами имеется взаимодействие, которос ограничивает возможные значения средней длины свободного пробега. В этом случае точные моды ангармонпческой системы уже непохожи на обычные фононы. Прежде всего мы рассмотрим тепловое сопротивление, обусловленное взаимодействиями в решетке. Построение теории, обьяспяющей влияние аигармоничсской связи на тепловое сопротивление, является сложной проблемой.
Приближенное решение было дано Деоаем [!8]; позднее Пайерлс (19] рассмотрел эту задачу весьма детально '), Бы:и> показано, ;то величина 1 при высоких температурах пропорциональна 1>'Т, что согласуется с результатами мною>х эксперимен>ов. Это можно обьяснить, исходя пз следующей картины. Некоторое число фононов взаимодействует с данным фоноиом; прп высоких температурах полное число возбужденных фононов, согласно (6.9), пропорционально Т. Частота столкнопенп>й данного фонона должна быть пропорциональна числу фоноиов, с которыми ои может столкнуться, следовательно 1 1,'Г.
Чтобы теплопроводность могла вообще осуществиться, в кристалле дожкен существовать механизм, который ооеспечивал бы установление локального теплового равновесна в распределении фононов. Без тако~о механизма нельзя говорить о тепловом равновесии фононов при температр ре Т> на одном конце кристалла и тепловом равновесии при температуре Т, на противоположном конце. Для осуществления тсплопроводности недостаточно иметь лишь механизм ограничения средней длины свободного пробега, нужен еще х>еханпз» установления истинно равновесного распределения фоноиов.
Столкновения фононов со статическими дефектами нли границами кристалла сами по себе еще нс обеспечивают установления теплового равновесия, носко:>щЧ такие столкновения не изменяют энергии отдельных фононов: час>ота о>а рассеянного фонона равна частоте а» падающего (исходного). Заметим также, по трехфонопные процессы, когда прп столкновении волновой вектор сохраняется, т. е.
(б 89) К~+ Ко=К, не приводят к устаповлсншо равновесия, но причина эгого довольно тонкая: при таких столкновениях полный импульс фононного газа не изменяется. Равновесное распределение фононов при температуре 'Г совместимо с перемещением кристалла, ') См. также работы Херрннта 120], Каллауэя [2>], т>в>элтона (221 н обзоры в списке литературы к данной главе. В 121, 221 было установлено, что Рассматриваемый эффект влияют однонременно н ре>ватка, н рассеяние ва пРимесях; см. ганжа работы Холланда (231 н Эрве>па (24]. 237 г. „„-. - « .« "-г А ' а — з-~- нз -а.
~ »'/з,>«7 г .''."-' , зт:"З.',. 7~ ".". гс Рпс 6.21п. Скецп потока мплеку.! газа н ллнппой сткрь;тпй трубе (т!те и е у стсгоз сгсугс!вует! уг!рзп1е стплкипзснпя чапеку.! гзз.! Пе.ь;у сепия !,е папе:ппот и ~!песе !шьу ъса и зьергпп потока гата, песке.!ьку !Чи! ка!ьпст! ! толк ыве п. скор >сп, ьеп.рз 'мсс стз>ьспза~сгцпхсч часпш и и( ппльаз ж сркпнц трупы к празпму !ы за счет градиента те !пера!!'!. ! С.!"'1зватс.! пе, ' 'и и чс спи>юпз гс> .е саз1 с ьул!с и !еплзппп!>г>дпзсть б *-.г-с!'О че'пь1. по прп этом третфононн11е столкногсипп типа (61.О9) пс пспытыпа>от во.>и> гцснпп '), При таких столкповс1п!ях полный ПУЛЬС СПС!ЕМЫ фОПОПОВ Х=~: йК, (6.60) сгкранястся, г!оскольку прп столкновениях пзмсиеппе Х обуслов.
спо полной суммой Х(з — Кз — К = О. Здесь и г есть число фононов с во,тйг>вызт вектором К. Для распределения с Х =Ф 0 столкновения типа (6.59) не способны к установлению полного тсплоьо!о равповеспя, так как они оставляк>т Х неизменным. Если мы создаю>м в стержне распределение «горячи: » фоионов с Х ~ О, то это распределение будет распространяться вдоль стержня прп неизменном Х. Следовательно, никакого теплового сопротивления нс возникает. Проблему можно плл1острпровать схемами на рис. 6.21а— 6.21г.
где столкновения между фононами в кристалле имитируются сголкновснияз1П молекул газа в длинной прямой трубе с абсолютно гладкими стенками (пет трения). Процессы переброса. Пайерлс показал, что для теплопроводпостп существенны трсхфононпые процессы пе типа (6.59), т. е. К1 + Кз =' Кз, а тппа К1+ Кз Кз+ а, (6.61) где аа — вектор обратной решетки (рис. 6.22). Напомним, что вектор 6 может появляться во всех законах сохранения импульса, относящихся к кристаллической решетке.
В главах 2 и 5 мы уже встречалнсь с такимн процессами взаимодействия волн в кристаллах, при которых полное изменение волнового вектора не обязательно равно нулю, а может оказаться равным вектору ') сн, книгу пааерлса [25). тпт же результат справедлив для процессов стплкнпвен с участнен любого числа фоканов, 238 Ггрчэъгу >та>гул Рпс 6.2)б Гхе>щ, >щлюсгриру>оща:> осы шое опрслслеьие теплопроволгост:> гази и сл) чпщ >.оглп перекос мессы о сутствует. Злесь обз коица трубы закрыты; молсщ.>ы ьс яокялп,т (руб>" и»с появл -тся там извне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
