Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(6.30~ Вывод выражения для м>(ы) в общем случае '). Здесь мы собираемся вывести общее выражение для Я(ы) — числа мод (нормальных колебаний) «а единичный интервал частот при известном законе дисперсии для фононов «ЧК). Число разрешенных значений К, для которых частоты фононов лежат в интервале между ы и ы+ г)ы, согласно (6.30) равно м>(ы)г)ы=(~ ) ~ с(зК. (6.31) зьси Здесь интеграл беретсв по объему слон (зьеп) в К-пространстве, ограничен'Ч Пг, „~„„„;„н ни 221 Плотность мод в трехмерном случае. Рассмотрим трехмерный случай, когда модель кристалла представляет собой куб со стороной Ь, содержащий Лгз элементарных ячеек, и применим периодические граничные условия.
Разрешенные значения К в этом случае определяются условиями; ехр [1(К,х+ Кзу+ К,з)) =— == ехр (1(К„(х+ Е) + Кз(у+!.) + К,(г+ 1))), (6.28) плэй Рис. 6.10а. Элементарная"площадка г(5„на поверхности постоянной !астоты в К-пространстве. Объем слоя между двумя поверхяостями постоянной гзстоты ю п са + гйа равен ~ г(5 Ыеэ((йгабдю) Рис. 6.106, Величина г)Кх есть расстояние меасду поверхностями постоянных частот ю и ю + с(ю, взятое вдоль нормали к ним, поверхности частота равна са, иа другой ю + г)ю.
Задача в сущности сводится к определению объема этого слоя. Пусть 35„— элемент площадв иа поверхности в К-пространстве (рис. 6.!Оа), на которой частота постоянна в равна ю. Элементом объема слоя между поверхностями постоянных частот га и ю + сгю будет прямой пилиндр с основанием т)5а н высотой с(Кх! следовательно, и'зК = ~ г(5 с(Кд (6.32) зьеи Здесь дКх — расстояние между поверхностямн ю = сопя( и ю+ г(ю = сопя(, взятое вдоль нормали к ним (рпс.
6.106). Значение 3Кх при переходе от одной точки поверхности к другой может изменяться, Градиент в К-прострап. стае частоты а, т.е. ртгю, тзкэке направлен вдоль нормали х поверхности и = сопз1, п поэтому величина ) т ~ ю ! с(К „= с(ю (6.33а) представляет собой разность значений частот в точках, где нормаль дКх пересекает поверхности, Итак, за элемент объема слоя моэкио принять произведение 65 с(К, =35 =35 Нв г(ю ° ((ткю( = (6.336) где о =((утгю( — вели'шнз групповой скорости фопона. Тогда (6.31) можно и записать в виде г й чаГ г(5е и! (ю) г1ю = 1Ч вЂ”,' ) и! — ~ г(ю.
2п ох (6.33в) Разделив на г(ю правую и левую части этого соотношения и вводя (объем крнсталла), для плотности мод получим: (6.34) В контпнуалыгом (дебаевском) приближении скорость звука считается постоянной; ю(К) = пК. Полное число йг мод с волновым вектором, меньшим К согласно (6.30) равно произведеникз ооъема сферы радиуса К на число мод, приходящихся на единицу объема, т. е. па (ь)2я)з) итак, для каждого типа поляризации имеем: й(= ( —.,',) — ',.'" К'= ( —,;„)' ';";„' = —,'„'",„,, (6,36) Следовательно, плотность мод Ы(со) для каждого типа поляризации равна Ы(ю) = — „' (6.36) Если образец содержит йг элементарных ячеек, то общее число мод акустических фопонов равно йг, и частота ао, па которой обрезается непрерывный спектр, определяется соотношением ,(6.35); (6.37) Г„зозы юз = й )/ 0(гэу Рис.
6.11. Плотность нод Я (ы). Если принять скорость фононов постоявной, то при интегрировании в К-про. странстве по сфере Дебая получим заштрихованную область; прн интегрировании по нервов зоне ьрнллюаиа (для моноатоиной простой кубической решетки) вместо разрыва при ы = ы, нолучим в этой области по~званную тонкой сплошной лидией кривуаэ, 223 Здесь ш~теграл берется по поверхности и = сопМ в К-пространстве. Этот резульгат относится к одной ветви дисперсаонно'о закона и может быть использован также в теории элентронцых энергетических эон (сн. главы 9 и 1О). Особенно интересен вклад в Ы(ы) от тех точек, для которых групповая скорость равна нулю. Такне кргп ические точки явля1огся особенностями функции распределения (они известны как сннгулярносгн ван Хоза (см.
[4), а также (5, 6)). Элементарное рассмотрение вопроса дано в Приложении С, где показано, что седловые точки поверхности ы(К) имеют особенно важное значение. Ро РР РР 1Р Чюспщпт. 77йтгп Рис. б.!2. Функция плотности состояний фононов Ы (т) в алюиипни (т=ы(2а). Графики (гистограммы) для каждой из трех ветвей получены вычисяенпеи Ы (ч) по точкам для 279! вотиовых векторов. (Из работы Уолкера [7[. О дальнейших резудвтатах для алюминия си.
работу Стедиана п др. [3] ) Для волнового числа Кр, соответствующего озр, имеем: (6.38) В модели Дебая исключены моды с волновыми векторами, длины которых больше Ко; число мод, имеющих К - Ко, исчерпывает число степеней своооды моноатомной решетки. Итак, в дебаевском приближении мы не только заменяем истинную плотность мод величиной (6.38), которая получилась как следствие линейного дисперсионного закона вз = пК, но н заменяем сферой область интегрирования в К-пространстве, которая, строго говоря, должна была бы быть зоной Бриллюзна.
Плотность мод (6,36) для дебаевского приближения изображена графически на рпс. 6.11; там лкс показан лод атой функции в случае «правидьпойв области интегрирования )зоиы Бриллюзна) для простой кубической решетки, но с сохранением прсдпологксния о постоянстве скорости звука. Если, например, о = = 6 10' сл!)Сск и Л~)!.а =!О" атомов на 1 сл!а, то с и = 1 10" ра:!ггсс!с Ко-2 10' см '=2 10ы и и !6.39) Ф) ПКДИЯ РЗСПРСДСЛИ1ПЯ ЧаСТОТ Я !И) МОГКС' СЫТЬ Таягне ВЫ- числ'па из ы!Спорил!снт !льны, данных илп пз достаточно рса.,Псисрси!1, Пайдсииото теорстггЧССКИ.
Однако затрат!я труда !го!От о газгться зна и!Тсльп !»и. п часто д..я рсшсппя задачи прп юга!от и помощи ЭВ.Т!. !1)жпо находить апас!синг. ы на узла.; о !сиь л:елкой трсхмсрпоп сотки в К-грсстрапс" ьс, а затем носссз" авить ю!стограмм ., Даюшую число го. чек в малы, одп!иковых интервалах з;л гений оь Пр! л!сргг» могут сл гнить расчеты д.гя алюминия, рнзультать! которых п грифпчсской фор.,!с прппсдсны на рпс. 6.12 г 613 (зфгрскггг, свпзапп!1 с спиг)лярпостял1п ван ХО!та, здесь Очсвплпы).
Рис, 8,)3. Поверхьости постоянной частоты для атпоыиння !для п роли тынах Фоно. ов). Г!о!газани сечение, параллельное плоскости !100) ойрагпой реьче тки, зяте!!ен!гые круги!г!г аелгат на одной и той тке спстспе седловых то гек. !По Уолкеру ) 8 Ч, Киттель 225 в (6.11). Тогда пол)чп;1: нд С,, =",, 1 )м ',""'"",=Оуй,Я'1,)х ь (6.46) Зпз:сгпя Е, С, и другие величины лебаепской теории оылп тзб1тт1С1овзпь1; Оии пппвслспы в спраиочнп!!ах ЛИ51лольтзлбгсриш.1йиа и У(пкс — Энде — Пбшс.
График !1авпсимостп тсп.1осмко ти ог 1миошепия Т,'О дан па рис. 6.!4. Вили!, что при Т Ъ О тс1шос115юсть прпбл:1жаетс51 к классическому:и1а '1сиию Зй /'з, Закон Т! Дебая. Прп очс1'ь низких температурах прин!ли!5!сивое выра!1.сине для э!~Оргии Л1ожпо поз!учить пз (6.44), полок;ив е!рхп11и прслел и!ггеграла равным бссконе'!ности. Тогда ингег.
рал вьп1ислястся, и мы получим: ~ 51х, =~ г(хх' Ге "=-6 ~ —,, =- — ", (6.16) о 3=-1 1 где величина суммы з"! берется пз любых математических таолпц. 1Лтак, для Е имеем: З55!1У11 Т' Е,," при Т((О, а для теплосмкости Ск ф— „и1К/гз (- —,) = 23415!1!а ( В ) . (6.47) Это и ссть приближенный закон Т' Дебая. При достаточно низких температурах приближенный закон Дебая соблюдается вполне хорошо, поскольку в этой области температур возбуждены лишь колебания акустической ветви, отвечающие длишым волнам, Это именно те колебания, которые можно трактовать как упругие колебания непрерывной упругой среды (континуума), описываемой макроскопическими упругими постоянными. Энергии коротковолновых фоканов слишком велики, чтобы они в сколько-ниоудь заметном числе моглн согласно (6.П) заселять соответствующие уровни при низких температурах.
Закон Т' можно пояснить на основе следу1оших простых соображений (см. рнс. 6.15), При низких температурах возбуждаются в заметном количестве лишь те моды решетки, энергия которых й!о ~ Ь,Т. Характер возбуждения этих мод приближенно классический, посколькУ их энеРпш близки ккзТ, и описываются законом (6.9) (см. рис. 6.2). Объем К-пространства, содержащий точки, отвечающие этим возбужденным модам, занимает !5* 227 Рвс. 615 Наглядное пояснение за- кона 'Г' Левая. Прес!поло!кнм, по все вб фонояные моды с волноаыч вектороч, нТ длина которого меньше К, име!Ггт ю энергию, равную классическо!!у тея !звонуу зяачеяГ~!о йн7', а иоды с воляовыия вектораия в янтернале мазилу К и К яе возбузклаются вообшс.
'г ' 'О Из 3 У возмо киых мод дота возбу>хлен;ых равна (К -/К )' = (770!з, аз. скол,ку эта ае.шчнна равна отнои сяшс! ооъсма внутренней сферы ш!уса К кот!вез!у сферы радиуса К„з, для ввергая в этот! с.!учае и!!с«! Е Гг! Г Х ЗЛ' (770)'", а для теял:с,Г- косе! СГ, — диудг =а 4Л'lг (770)з, дол!О порядка (7(Г//хс), 1дс Кг — нОлповой вектор, Огцзедслясмый соотношением йвК! — — ФвТ, а Ко — величина волнового вектора, характеризующая дебаевское приближение и определяемая соотношением (6.38). Эта доля составляет (Т)0)а всего объема К-пространства.
Число возбужденных мод будет порядка Л (Т,'О)', а энергия каждого состояния йаТ. Тогда внутренняя зперш!я .Ггйн7'(7'/0)з, а теплоемкость -4ИГ!з(Т/0)з. Большой численный множитель, равный 234 в (ОА7), появляется по те"! :ке причинам, что и множитель (Опв)" в определении деоасвской температуры О в формуле (6.43). Методы выбора подходящего среднего значения скорости звука, нужного для вычисления О, обсуждаются в раооте БлекмаГш [9]'). Дс!я реальных кристаллов температуры, при которых спраьсдливо приближение, приводя!нее к закону Т', отиосзпся к области достаточно низких температур. Е!еобходимо поиизпп температуру ниже Т = О,'50, чтобы ход изменения теплоемкостГ! был достаточно близким к закону Тз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
