Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 39
Текст из файла (страница 39)
6.6. Граничное условие закрепления, т. е. требование, чтобы Мп зКа = 0 при з = 10, может быть удовлетворено выбором значений К = я/!Оп, 2л/10а.... .. „Ои/1Оп, где 1Оа — длина цепочки /.. На рисунке изображено одномерное К-пространство для цепочки. Здесь точки — не атомы, а допустимые значения К.
Из /т'+ 1 частиц цепочки перемещаться могут только Л' — 1 частиц и в наиболее общем случае их движение может быть описано при помощи всех М вЂ” ! значений К. Квантование К не имеет ничего общего с квантовой механикой; это просто классическое следствие граничных условий для случая зикреплевия конечных атомов цепочки. Лля каждого значения К имеются три тапа поляризации: два поперечных (одно — когда частицы перемещаются вверх и вниз в плоскости рисунка, другое — перпендикулярно к этой плоскости) н одно продольяое, когда частицы перемещаются влево и вправо вдоль цепочки, 216 и определяется граничными условиямп (в данном случае закреплением конечных частиц цепочки), а именно (см, рис.
6.5) получим следующий набор значений К: л 2л Зл !У вЂ” !)л (6.17) Функция, описывающая смещения и дающая решение для случая К=.-л//., имеет вид и, — з)п (зла/Л), (6.1 8) Она обращается в нуль прп з = 0 и при з = Лс, как того и требуют граничные условия.
Для случая К = Лсл/Л = л/а = К„,„„ имеем: и, Йп зл. (6.!9) В этом случае смещения ие допускаются ни для одного атома, поскольку з)п зч = 0 для люоого з. Итак, имеем согласно (6,17) Л' — 1 допустимых независимых значений К. Это число равно числу частиц, которые могут перемешаться.
Каждому такому значению К отвечает решение вида (6.16). В случае одномерной цепочки частиц (одномерная решетка с постоянной решетки а) имеется одно нормальное колебание (мода) иа каждый интервал значений К, равный ЛК = л/С, так что чнсло мод на единичный интервал значений К равно Л/л для К ( л/а и нулю для К ) л,'а.
Имеется и другой прием подсчета числа состояний, часто используемый и по существу вполне эквивалентный. Рассмотрим неограниченно протяженную среду, но потребуем, чтобы решения были периодическими иа больших, но конечных расстояниях Л, так что функция смещения и(за) = и(за+ Л). Этот подход известен под названием периодических граничных условий (см. рис. 6.6 и 6.7); он в случае больших систем ни в чем существенном не меняет физики задачи.
При этом решение в виде бегущей волны имеет вид сс, = и(0) ехр(с'(зКа — сок/)], а разрешенные значения К таковы: К=О, .4- —, .+ ь, ~ ' (6 20) 2л 4л бл Лсл Этот прием дает то же число состояний (по одному на способный смешаться атом), что и (6.18), ио теперь К принимает как положительные, так и отрицательные значения, а интервалы между соседними значениями К одинаковы и равны ЛК = 2лД.. В случае периодических граничных условий число мод на единичный интервал значений К равно А/2л для К в интервале — л/а < К ( л/а и нулю для всех остальных значений К Если для удобства расчета мы хотим ограничиться положительными значениями К, то опять придем к значению Ил.
Ситуация в случае двумерной решетки и,тлюстрируется на рис. 6.8. 2!7 Рнс, 6.6. Рассмотрим Л' частиц, расположенных по пруту на равном расстоянии друг от друга, причем нх движение ограинчено зтнм кольцом н сводится к колебаюшм относительно полозкенпй равновесия, как если бы онп были соединены упругнмц пружвнамн.
Случай нормальных колебаниИ отвечает перемещению и, атома з, описываемому Функцией з1п зКа или соз зКа; зтн колебания независимы. Вследствие периодичности вдоль кольца граничвое условие имеет вид: и, =и, т. е. ~игл» .УКа должно быть целым крат- У-~-3 м ным 2п. Лля сну чак У = 8 допустимые независимые значения К таковы: О, 2я/Яа, 4п/Яа, Ял/Яа, Вл/Ва. Значение К = 0 имеет смысл только для Функции соззКа, поскольку з!пзОа О. Значение К=Вп/Ва имеет смысл также только для соз зКа, поскольку з)п (зВяа/Ва) = Мп зп = О. Три остальных значения Л' годятся как для з)п, так н для соз н дают в целом восемь допустимых нормальных колебаний (мод) в случае восьми частиц.
Итак, периодические граничные условия приводят к тому, что число допустимых нормальных колебаний оказывается равным числу частиц, т, е, точно тот же резуль. тат, что и для грзничных условий закрепления концов цепочки (рис. 6.6). Если функции, опнсываюшие нормальные колсбання, записать в комплексной ФоРме: ехр (/зКп), то периодические граничные условия привели бы нас опять- таки к восьми нормальным колебаниям со следующими значениями К: О, .ьйп/Уа, -ь 4ч/уа, шбя/Уа, Вя/уа (для Л' = 8) — тот же результат, что и (6.20). Рис.
6.7. Допустимые значения волнового числа К для периодических граничных условий в случае линейной цепочки данной Л (одномерной решетки) прн Л' = В (из восьми атомов). Решение К = 0 отвечает однородной моде. Точки =~-Уя/Л отвечают одному и голу же решению (ем" совпадает с е "Я!); поэтому нмеетсн восемь разрешевных мод; смешепве атома с номером з описывается функциямн: 1, ехр (ш/ла/4), ехр (ш/лз/2), ехр (ш/Знз/4), ехр (!яз). Нам необходимо знать функцию Ы(ш) — число мод на единицу длины интервала частот.
Число состояний Ы(ш)с(оз в интервале с(оз вблизи ш можно записать в виде Ь г/К Л Ым Ы(ю) Й»= — — с(ю= — — ° и уы и уы/л'К ' (6.21) Групповую скорость ~/г»/дК мы можем получить из закона дисперсии аз(К). Функция Ы(со) имеет особенность и тех слу- .218 О О о а а о о~ о а о о чаях, когда график функции со(К) пдст горизонтально, т. е, на горизонтальном участке групповая скорость равна нулю. В приближении Дебая, когда среду можно считать непрерывной, полагают ш(К) = оК. так что дгго(с(К = и — постоянная скорость звука.
В одномерном случае из (6.21) для Ы(ш) по лучам: Ы(ш) = — при го» (— (6.22) и Ы(ш) = — 0 в остальных случаях. Спектр обрезается при шо — — ьл(а, чтобы полное число нормальных колсбаний было правильным, т. е, равным Л' — числу частиц. Выражение (6.22) есть плотность мод для каждого типа поляризации. Если для каждого значения К имеется три моды (для трех типов поляризации), то и (6.22) надо просуммировать по трем поляризациям, используя соответствующие значения скорости звука о для капы!ого типа поляризации. Для Л' эйнштейновских осцилляторов, имеющих частоту шя, получим: !У)(ш) = Л' б(ш — ше)г (6. 23 а) где б — дельта-функция Дпрака, Она обладает тем свойством, ,что ! с(х !"(х) б (х — а) = !'(а) (6.23б) для любой функции у(х)'.
В пределе дельта-функцию Дирака можно рассматривать как функцию с единственным очень ост- рым пиком, 2!9, Рис. 6.8. Разрешенные значения фононного волнового вектора К в фурье- пространстве для плоской квадратной ешетки с постоянной решетки о ериодические граничные условия применимы здесь только внутри квадрата со стороной ь = !Оп. Однородной моде отнечаег значение К, помеченное двойным кружком. Элементу поверхности с плошвдыо (2л/1Оа)з = (2л!ь)' огне чает одно разрешенное значение К так по пнутри круга с площадьш лКз имеется округленно лКз (Ц2л)з разрешенных точек.
а а а -Ь о Ь а а о а о а о О О о о 01 К а о а о о о! о ! а 1а о о о о о о/ о l Дисперсионный закон для цепочки одинаковых атомов при учете взаимодействия лишь ближайших соседей обязателшю имеет вид (5.23) для взаимодействия параллельных слоев; ! ш = ш,„~ з!и — Ка~, 2 (6.24) где а — межатомнос расстояние, ш ,„ — максимальная частота.
Разрешив (6.24) относительно К мы получим К как функцию ш: К = — агсейп —, 2 . О (6.25) а Ы~пат откуда аК 2 1 (6.26) аы а (ыз,,х — ы )ь Согласно (6.22) для плотности мод получим; ~ (ш)— (К И. ! Мах (6.27) пб, .4 (~ 6Р уа х" ' 2 ~/азааа Рпс. 6.9. 11лотность мод Ж(в) для фоионов н случае модели цепочки одинаковых атомов с учетом взаимодействия лишь блшкайших соседея (см.
формулу (6.27)). Пунктиром показана для сравнения плотность состояний в дебаевском (континуальном) праближевии, рассчитанная из (6.22) для той же скорости звука в пределе низких частот. Видно, что для цепочечной модели имеет ыесто особенность, которая в дебаевском приближение отсутствует. ахебаевский спектр должен быть обрезан на частоте ы =пыш, /2, поскольку общее число разрешенных состояний должно быть равно числу атомов. 220 График этой функции приведен на рис. 6.9. Функция имеет особенность (разрыв) вследствие обращения в нуль производной с(ш)с(К при К = Ыа. Дпсперснонный закон для линейной попочки (одномерной решетки), составленной из атомов двух сортов, имеет вид (5.36), г(ри этом предполагается учет взаимодействий соседей, следующих за ближайшими.
Лля акустической ветви функция плотности мод будет подобна (6.27); для оптической ветви (той же цепочки) функция плотности мод имеет особенности на предельных (верхнем и нижнем) значениях частот. Если масса одного сорта ионов много больше массы ионов другого сорта, из (5.36) легко заметить, что частота колебаний оптической ветви приближенно не зависит от волнового числа. Здесь производная пш/г(К близка к нулю, и плотность мод на оптической ветви можно для соответствующего интервала частот аппроксимировать дельта-функцией. Именно в этом случае мы имеем пример возможности использования модели Эйнштейна.
Тепловая энергия акустических мод может быть аппроксимирована моделью Дебая, а энергию оптических мод можно трактовать на основе модели Эйнштейна. Энергии и, следовательно, теплоемкости этих двух типов мод аддитивпы. откуда получим: Следовательно, на объем (2п/х'.)з в К-пространстве приходится одно разрешенное значение К, и поэтому число разрешенных значений К на единицу объема в К-гзространстве (для каждой ветви и данной поляризации) равно где )г = й' †объ кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
