Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Критп1сскпе значения волнового вектора К. а„= -~лг5а удовлетвортиот условию Брэгга 2б5 з1п 0 = пг.. если положить 0 = — и!2, Г( = а, К = 2л15., п = 1, так что Х = 2а. Для рентгеновских лучей п может равняться и друюгм целым числам, а ие только 1, так как понят!1с амплитуды волны из!ест смысл в пространстве между атомамп, а понятие амплитуды смешегшя упругой волны имеет смысл только вблизи самих атомов.
! рупповая скорость. Скорость волнового пакета является групповой скоростью. Б физической оптике для групповой скорости приводятся следующие выражения: оп= —, пли пя = ига!(» ы(К) (5.29 а) ГСн Хч Кл й! у ' 2 (5.29б) 1лаш основной результат (5,22) показывает, что па краю золы Бриллюэиа групповая скорость равна нулю. А этот результат как раз и справедлив для стоячей волны. Область больших длин волн, или континуальное приближение. Для рКа <( 1 получаем: сов РКа = 1 — !1я(рКа)я, и дисперсионнь!й закон примет вид: ыя=К'( —;,) ~ р'С„. (5.30) р>о 187 в двух или трех измерения»о где дгаб» есть градиент по К.
Групповая скорость — это скорость переноса энергии в среде. Для диспсрсноиного соотношения (5.23) групповая скорость (рпс. 5.14) равна уа е й Рпс. 5.15. Межплоскостные силовые постоянные дли продольных волн н папраалеппи !100) и синице при 100'К (нз работы (2!) ь По горизонтальной оси отложено расстонппе от исходной плоскости !10" дип!сы = = ! Н!'и.) о ж л 57 Тсдеполз д $7 1Е 7!7 75 Ртрпглдже, 4 7л т),'г РФ бгГ ггю 7~7 /Гл/7гг / упругая зкесткость ч ИЗ гл. 4 мы знаем, чтО азз= ах' Х 1ч ~~„~~~„, ). Член Рз при суммировании в (5.30) будет стремиться дать дальнодействующие силовые компоненты, играющие важную роль при определении макроскопических упругих постоянных.
166 Рис. 5.16. Зааисимость иеличнны Мыз от )ча)2п длн продольной ветви и напрлалепин )100) а свинце. 1!оказаны эмпирически подоб!танные кривые дли даеиадцати плоскостей !хоропзан шзпрокснмацнн) и пятя плоскостей. Начерчены также первые пять фурье-компонент. Вычисление силовых постоянных из экспериментально найденного дисперснонного закона. Во многих металлах результпруюшие силы могут быть достаточно дальнодействуюшимп.
Были наблюдены явления, в которых обнаруживалась связь между атомными плоскостямп, разделенными друг от друга двадцатью межатомными расстояниями [19). Область действия сил довольно просто можно определить из дпсперспонного закона для ы, Решим уравнение (5.21) относительно Ср, умножив правую и левую его части на соз гКа, где г — целое число, и интегрируя по К в пределах псовой зоны Бриллюэна; А! ~ с(К еже соз гКа = 2 ~Ч Ср ~ с(К (1 — соз рКа) соз гКа = -и/а р>0 -п>а = — 2пС,/а.
(5.3!а) Все интегралы равны нулю, за исключением шпеграла, для ко- торого р = г. Таким образом, па Ср —— — — ' ) г(К юкт соз рКа. Мо (5.3!б) Это соотношение является важным результатом '): жает силовую постоянпую от р-й атомной плоскости нус-преобразование Фурье е>а как функцию К. Это справедливо только для моноатомных решеток.
оно выра- через коси- выражение РЕШЕТКА С ДВУМЯ АТОМАМИ В ПРИМИТИВНОЙ ЯЧЕЙКЕ ') Этот результат получен Фореманом н Ломером (20). Его связь с экспериментально установленным дисперсиоииым законом для свинка (рнс. 6.16 и 6.16) рассматривается Брокхаузом и др.
(2!). Г!роисхождеяие дальнодействующих сил в нескольких металлах обсуждается в работах !22, 23). Впервые этот вопрос был рассмотрен для натрия в 1966 г, в работах Тойч (Т. Тоуа). 189 В кристаллах, которые имеют несколько атомов в примитивной ячейке, спектр колебаний обладает новыми особенностями. Рассмотрим кристаллы, имеющие два атома в примитивной ячейке, как в структурах )ЧаС! и алмаза.
Для каждого вида смещений (как для продольного, так и для поперечного) прп данном направлении распространения в дисперсионном законе, т. е. в зависимости ю от К, возникают две ветви, называемь>е акустической и оптической ветвями. Лналогично называются соответствующие фононы. Обозначим через ЕА продольные, а через ТА поперсчныс акустические фононы, а через Т.О и ТО, соответственно, — продольные и поперечные оптические фононы (см.
рис. 5.!7а). К 'а Рис, 5.17а. Оптические и акустические фононвые ветви дисперсяопного закояа для двухатомной линейной решетки. Показаны предельные значения частот при К = 0 и К = Кмах = и/а, где а — постоянная решетки. [ 1 71 КУ й ' Дз [уйй1 777~ К вЂ” ь Рнс, 5.17б. Экспериментальные двсперснонные кривые зависимости т от К для алмаза в направлениях [100] и [111], где К вЂ” приведенный волновой вектор в едииипах п(а.
Обращает на себя вниманне существование оптической и акустической ветвей, характерное для кристалла с двумя атомамн [даже одиваковымн] на примитивную ячейку. Правая половина рисунка относится к фонанам, распространяющимся в направлении [1001, левая — к распространяющимся в направлении [111], В указанных направлениях распространения поперечные моды являются дважды вырожденными: имеются два независимых направления поляризации для каждой точки кривых ТА н ТО [24]. Если примитивная ячейка содержит р атомов, то в днсперсионном законе для фононов возникнут Зр ветвей: 3 акустические ветви и (Зр — 3) оптические ветви. Так, алмаз, у которого примитивная ячейка содержит два атома углерода, имеет шесть фононных ветвей: одну 7.А, одну ЬО, две ТА, две ТО (рис, 5,17б).
190 пз-г гтз оз нзы озчт 1чг Рнс. 5.!тв. Днухзтомнзя крнстзллнческвя структура, атомные массы которой равны Лг, н Л!и смежные плоскости в этой структуре связаны посредством силовой постоянной С. Смегцепня втомов Лй обознзчепы нз >, и„нз > и втомоп Мз — о, и оз, озч., Через о обознзчеп период повторяемости в направлеонн волнового век. тора К.
Атомы поквзняы в рзвновесных (несмещенпых) познцнях. (5.33) 191 н = и е "ка е->н> з о = о е"к' е '"". 3 Рассмотрим кубический кристалл, в котором атомы с массой М, образуют одну систему плоскостей, а атомы с массой Мз— другую систему плоскостей, которые расположены между плоскостями первой системы (рис. 5.17в). Не существенно, равны эти массы илп нет; существенно, что эти два атома базиса действительно не эквивалентны либо по их силовым постоянным, либо по их массам. Обозначим через а период решетки в направлении нормали к рассматриваемым плоскостям решетки. Рассматриваем только волны, распространяющиеся в симметричном направлении, для которого каждая отдельная плоскость содержит только один тип ионов; такими направлениями являются направление [111] в структуре !чаС! и направление (1001 в структуре СзС!. Запишем уравнения движения в предположении, что каждая плоскость взаимодействует только с ближайшими соседними плоскостями и что силовые постоянные одинаковы для всех пар плоскостей, являющихся ближайшими соседями.
Пользуясь схемой рис, 5.17в, получим: М,— „,; =С(о,+о,,— 2и,), М,— „; =С(и,,+из — 2о). (5.32) Решения этих уравнений будем искать в форме бегущей волны с различными амплитудамн и и о для чередующихся плоскостей: Подставляя (5.33) в (5 32), полу пмы — швМ,И = Сп (1+ е-'к') — 2Си, — ювМтп = Сн (еУке -1- 1) — 2Сп. (5.34) Эта система однородных линейных уравнений относительно двух неизвестных и и и имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если детерминант, составленный нз коэффициентов прп и и и, равен нулю: ап — М,ы — С(1+е ~~') ~ ~ка) йс 1,1 т или М,М ю" — 2С (М~ + Мт) ма + 2С' (1 — соз Ка) = О. (5 36) Мы можем решить это уравнение точно относительно ша, но проще сразу рассмотреть предельные случаи Ка « 1 и Ка = = ~п у границы зоны.
В первом случае (для малых значений Ка) имеем: соз Ка ж 1 — ')еК'а'+ ..., и получаем дна корня уравнения (5.36): г 1 ше — 2С гх — + 1 (оптическая ветвь), (и, М,Г 1/ О шт =, ' К'ат (акустическая ветвь). (5.38) а Область значений К в первой зоне Бриллюэна описывается нс. равенством — и/а -= К = л/а, где а — период решетки; второй случай отвечает границам первой зоны, где значения К макспМааьнь| Г Е Кш х = ~ЛУП тОГДа ИМСЕМ КОРНИ ше= 2С)Мь еут = 2С/Ме (5. 39) Зависимость ю от К показана на рпс.
5.17а для случая М~ ) М . Колебания частиц в поперечной акустической (ТА) н поперечной оптической (ТО) ветвях показаны на рис. 5.18. Для оптической ветви при К = 0 из (5.34) и (5,37) можно найти: и м. (5.40) с М, Этот результат показывает, что атомы при оптических колебаниях движутся навстречу друг другу, причем так, что центр пх масс в ячейке остается фиксированным. Если ионы зарягкеньг противоположно, то движение ~акого типа можно возбудить электрическим полем световой волны '); по этой пРичине верхняя ветвь кривой на рис. 5.17а и была названа оптической ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
