Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рассмотрим однородное расширение а. = е„„= е„= 6/3, Для такой деформации плотность энергии (выражение (4.18)) кубического кристалла равна (/= — (Сп + 2СИ) 6». (4. 27) Объемный модуль упругости В можно определить с помощью соотношения (/ = — В6, (4.28) которое эквивалентно выражению — )тг(р/г/)», использованному в гл, 3. Для кубического кристалла имеем: =3( и+ 1 (4.29) т.жимпемость К определяется как величина, обратная В: К =— ми 1/В. Значения величин В и К даны в табл.
4,1, УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ Рассматривая силы, действующие на элемент объема в кристалле (рис. 4.7), мы можем получить уравнение движения для смешения в направлении оси х: д»и дХ» дху дХ» р (4.30) — — — + — +— др дх ду д» где р — плотность и и — смещение в направлении оси х. Аналогичные уравнения будут иметь место для осей у и х. Из соотношений (4.13) и (4.25) следует, что для кубического кристалла справедливо выражение 1» направления координатных осей х, у, х параллельны ребрам куба.
Используя выражения (4,6) и (4.7) для компонент деформации, имеем: (4.32а) где и, о, и — компоненты вектора смещения Я (см. выражение (4.4)). 159 Вдьелг гЬАуАг »в (су А~ ~егк(лу Рис. 47. На элемент объема Лх Лу Лх кубической формы действует вапряже- д»„ ние — Х (х) на грань х и Х„(х+ Лх)=Х„(х) + —" Лх иа параллельную грань х дх /дХх х+ Лх. Результирующая сила равна гч — 'Лх) Лу Ла. Йругне силы, действую- 'ч дх щие в направлении оси х, вьгзваны изменением внутри куба напряжений Хн и Х, которые на рисуккс не показаны Результирующая х-компонента силы, действующей иа куб, равна Г'дХт дХч ')Хг Х р.=~' — х+ — и+ ') Л..„Л, дх ду дз Сила равна массе иуба, умноженной на х-колгпоненту ускорении. Масса равна р Лх Лу Лз, а ускорение дггг/д(г Рис.
4.8. Если пружины Л я В растянуты одинаково, то результирующая сила, действующая па блок, расположенный мелкду нпмв, равна нул1о, Это служит иллюстрацией того, что результирующая сила, действующая на элемент объема п твердом теле в условиях лействия однородного напряжения Хх, равна пулю. Если пружина В растянута сильнее, чем пружина А, то блок расположенный между ними, будет двигаться с ускорением под действием силы Хх (В) — Хх (Л) Соответствуюшие уравнения двилкения для смешений о и гп получаются непосредственно нэ (4.32а) круговой перестановкой: д'я д'-- (4.
32 б) (4.32в) Найдем теперь простые решения этих уравнений для некоторых частных случаев. 160 Волны в направлении [!001. Одним из решений уравнешгя (4.32а) будет служить продольная волна и = и, ехр [! (Кх — оз!)1, (4.33) где и — это х-компонента смешения частицы. Волновой вектор и смешение частицы направлены вдоль ребра куба, совпадаюшсго по направлению с осью х. Здесь К = 2п/Х вЂ” волновой вектор и ы = 2пт — угловая частота.
Подставляя (4.33) в (4.32а), получим: гоор = СпК' (4. 34) следовательно, скорость распространения продольной волны в направлении [100] равна о, = м), = оо/К =- (Си/р) '. (4.35) Другим решением будет служить поперечная волна или волна сдвига с волновым вектором, направленным вдоль ребра куоа, совпадающего по направлению с осью х; смещение частицы о происходит в направлении оси у: о = оо ехр [! (Кх — оо1)). (4. 36) Это второе решение дает после подстановки в (4.32б) диспсрспонное соотношение оо'р = С,1К-, (4. 3?) из которого следует, что скорость поперечной волны оо/К в направлении [100) равна о, = (С„/р) ". (4.
38) Лналогичное выражение для скорости получается при движении частиц вдоль оси з. Таким образом, для волнового вектора К, параллельного направлению [100), две независимые волны сдвига имеют равные скорости. Этот вывод не справедлив, если волновой вектор имеет произвольное направление в кристалле.
(4. 39) Волны в направлении [!!01. Особый интерес представляст случай распространения упругих волн в направлении диагонали грани куба в кубическом кристалле, так как в этом случае довольно просто определить все три упругие постоянные, если известны скорости распространения трех типов волн в этом направлении. Рассмотрим волну сдвига, распространяющуюся в плоскости ху; смешение ш частицы направлено вдоль оси г: ш = гио ехр [1(К,х + К„у — оо!)); тогда, используя (4.32в), получаем: оо р См(Кх + Ку) = СмК (4.40) б ч, Квпьаь 1б! Полученный результат не зависит от направления распростране. ния волны в плоскости хйч Рассмотрим другие волны, распространяющиеся в плоскости хр; смешение частицы происходит в этой же плоскости: и = ив ехр (!'(К,х+ Кяу — Ы)], о = по ехр (1(К,х+ Кяу — оз!)).
(4,41) Из (4.32а) и (4.32б) получаем: го ри = (С, !К, + СмКи) и + (Сы + Си) КхКяв, (4. 42) от'ро = (СпК'„'+ С!,К',) о+ (С~ + С,) КхК„и. Эти два уравнения имеют особенно простое решение для волны, распространяющейся в направлении [110]; для этого поправления К„= Кя = К/.~~2. Услош!ем стшес!вовапия нетривиальных рсшсний является равенство пул о определителя, составленного из коэффициентов при и и и в уравнениях (4.42): — ызР+ =-[Си+Со!К 1 — [с +с )к 1 3 2 — !со+ с,) к 1 2 ' — ю о + — [Сы+ Сзб К , 2 з 2 (4.43) Это квадратное относительно юзр уравнение имеет корпи з 1 1 ю-р = — 2 (Сп + С!з+ 2С4,) К-', ого = — — „(Сп — С~з) Кз.
(4.44) Псрвып корень описывает продольпу!о волну, второй поперечную, Для потучснпя направления смешения частицы [а71 [11б) а1 Рнс. 4.9. Эффективные упр!и по постояокыс, определяемые из измерения скоростей трех типов упругих воли, распростраияюитпхся и главных ваправлениях в кубических кристаллах. а) Волна и направлении [100], измеряются Сы для и и Сы для Т; б) волна в направлении [1101, изнерюотся 'тз(Си+ с~я+ 2Сзт) для Е, Сы для Т, и та1Сы — См) для 1з1 и) волна н направлении [111], нзиерюотся '/з (Со + 2См+ 4Сы) для Ь н ~/з [С~1 См + Сы) для Т' Для направлений [100] и [11!] наблюдается двукратное вырождение поперечных волн. 1б2 Т АБ Л И11А 4.О Значения аднабатических постоянных упругой жесткости кубических кристаллов при низких температурах н при комнатной температуре ряда По«тояаные упр>гаи жесткости, 1О' днн,'сит (1О 141лл ) Пяотность, лтсмт У, 'К К рнстадд с, 19,317 16,696 Та 9,018 Сп ! 0,635 19,488 2,733 А! 11,599 РЬ 8,968 12,132 6,05! Е!Г 2,038 Вара 4,886 Величины постоянных прв О "К получены акстраподяцией измерений, выподиенных при 4'К.
Данные ддя табдицы собраны с помоною проеессора Смкта. Ссылки на исход ные работы даян в ста~ье Кнттедн о сборнике !4!. 6,326 5 233 2,663 2,609 1,762 1,634 1,315 1,240 2,016 1,923 1,143 1,068 0,0416 0,0370 0,555 0,405 2,612 2,508 2,341 2,27! 2,324 2,280 1,246 1,1! 2 0,483 0,403 0,98! 0„89! 2,049 2,045 1,582 1,574 1,249 1,214 0,973 0,937 1,697 1.631 0,619 0,607 0,034! 0,0314 0,454 0,423 1,508 1,600 1,76! 1,?6! 1,194 1, 567 0,424 0,420 0,054 0,066 0,448 0,400 1,631 1,60? 0,874 0,818 0,818 0,754 0,511 0,46! 0 454 0,420 0,316 0,282 0,028Г> 0,0188 0,194 О,! 49 1,317 ] 23ос 0,712 0,717 0,460 0,426 0,649 0,628 0,066 0,063 0,254 0,254 0 300 0 300 0 300 0 300 0 300 0 300 4 295 0 300 0 300 0 300 0 ЗОО 0 300 4 300 0 300 ТАвлицА 45 значения аднабатнческнх постоянных упругой жесткости ряда кубических крнстаддоа при комнатной температуре (300 сК) Посгаввиые упругой жесткости, 70 дии?см (70 Н?м') Крнстадд с, Прнвогмжые в гаван ге знаве~г,га ванты гзвваым оерззааг из раоогы Хантингтона 171; си.
закиы ',нп подставляем первый корень в уравнение (4А2); получаем: 1 2 1 .р 1 — (С,4 + Сгт+ 2СН) К'и = —,, (Сп + См) К"и+ — (СГ, + См) Кяо, (4.45) откуда получаем, что и =- о. Таким образо54, смешение частию,! происходит вдоль направления 1!10) параллельно вектору К (рис. 4.9). Подставляя второй корень в уравнение (4.42), получаем: 1 2 1 — (Сп — С42) К'и = — (Сп + См) Кти+ — (С„+ Сги) К'о, (4.46) откуда и = — о.
Направление смещения частицы совпадает с направлением 1110] и перпендикулярно к вектору К Значения адиабатических постоянных упругой жесткости Сг, Сза н С44 ряда кубических кристаллов при низких температурах и при комнатной температуре приведены в табл, 4.2. Отметим обтцую тенденцию для постоянных упругой жесткости: они уменьшаются с увеличением температуры. Температурная зависимость постоянных упругой жесткости серебра показана иа рис. 4.10, а Ваге — на рис.
4.11. Постоянные упругой жесткости для других кубических кристаллов при комнатной температуре приведены в табл, 4.3. 164 Лныаз Ка 1.! бс 81 ба36 !036 5100 КвС1 Рьпг НЬ1 Свпг С51 10,76 0,073 0,135 1,285 1,66 0,885 0,672 2,83 0,487 0,317 0,256 О,ЗОО 0,246 1,25 0,062 0,114 0,483 0,633 0,404 0,367 0,8? 0,124 0,042 0,03! 0,078 0,067 5,76 0,0!2 0,088 0,680 0,796 0,433 О,:302 1,48 0,12о 0,033 0,023 0,076 0,062 :[ 7.УКР ез ь' йзгтг 7[7Ю с У 7З)7 гап Теклехгтл14тгг, 'К 7[Ж7 Ю 7гтр гну у717 7емплпог~урн, К Рнс. 4.10.
Температурная завпсимость постоянных упругой жесткости серебра [б[: а) '/з (Сы + Сы+ 2Сы); б) Сзп а) '/з [Сы — Сд), Эти комбирапии постоянкых находятся из измерения скоростей трех типов упругих волн, распространяющихся в направления [!10[. Рис. 4.11.
Температурнзя завнскмость постояаных упругой жесткостк ВаЕт [6[. Полезные таблицы упругих постоянных приведены в работах [7, 9, 10). Для волнового вектора К, имеющего данную величину и данное направление, в кристалле имеются три вида собственных колебаниг!. Вообще говоря, направление этих колебаний (их поляризация) не строго параллельно или перпендикулярно К.
Для частных направлений распространения упругих волн в куоическом кристалле — направлений [100[, [[11[ и [!1О[ — два вида собственных колебаний (из трех) таковы, что для данного волнового вектора К направление колсбшшя строго перпендикуляр. ио к К, а в третьем направление колебания строго параллель. но К. Лпаг!изпровать характер распространения упругих волн в кристал,тах В зтн! частик|к иг!Прап:!синях намиг,'!о проню, чем в произвольных направлениях (см. [11[). ЭКСПЕГИЕПЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУШ!Х ПОСТОЯННЫХ 1С!асси:!осипе методы измерения упруп!х постоянных кристаллов описаны в обзоре Хпрмоиа [12[. После появлсния этого обзора пол; шл широкое распространение метод ультразвуковых пмп) льсов (с', например, работы [13, 14[), ко!орь:й отл!и!антса большпмп )дооустваын и может бь!ть использован в самых разнообразных эксперимента.!ьпь!х )слов:!нт. 1!сн!ользуются, однако, п мноп!е друп!е, ис менее подходя!цие .зстоды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
